1、 在定积分中,我们总是假定积分区间是有限的,而被积函数(若可积)一定是有界的.但在理论上和实际应用中都有需要去掉这两个条件限制的情形,需要把定积分概念拓广为:1.无限区间上的积分;2.无界函数的积分.本章就讨论这两种情况下的广义积分.第十章第十章 反反 常常 积积 分分(广义积分广义积分)引言引言10.210.2无界函数的无界函数的瑕积分瑕积分)第十章第十章 反反 常常 积积 分分(广义积分广义积分)引引 例例一、无穷积分的一、无穷积分的概念概念二、无穷积分的二、无穷积分的性质性质 三、三、无穷积分无穷积分与数项级数的关系与数项级数的关系四、四、无穷积分无穷积分收敛性判别法收敛性判别法 引例：
2、引例：问题：21,1yxxx求曲线轴及直线，右边所围成的“开口曲边梯形”的面积。0 xy1b21yx即这是积分区间为即这是积分区间为1，+）的积分。）的积分。解：解：由于这个图形不是封闭的曲边梯由于这个图形不是封闭的曲边梯形形,而在而在x轴的正方轴的正方 向是开口的，向是开口的，b1211111xbdxxb 显然当显然当b改变时，改变时，曲边梯形的面积也随之改变，曲边梯形的面积也随之改变，b121111limlim=lim(1)1xbbbbdxxb即则所求曲边梯形的面积为则所求曲边梯形的面积为1.1.b 故时，1,bA 故则曲边梯形 的面积为一、无穷积分的概念一、无穷积分的概念.定义定义:设函
3、数 f(x)在区间a,+)上连续,任取b a,如果极限存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a,+)上的广义积分广义积分,记作 即,)(adxxfbabadxxfdxxf)(lim)(1)bablimfxdx（）这时记号 不再表示数值了。adxxf)(adxxf)(例如：bbdxxdxx020211lim11bbx0arctanlimbbarctanlim2oyxb211xy1这时也称广义积分 收敛;若上述极限不存在,就称广义积分 发散,adxxf)(类似地,设函数 f(x)在区间(,b上连续,取a 1时，1(),)1ppf xxax当且时，();()aaf x dxf x dx绝对收敛收
4、敛 即dx+af(x)从某值起保持定号,f(x)发散.()limli.m()1pxxpf xxf xlx若,),faa A设 定义在，且在任何有限区间上可积，,(0)();alif x dx 则当时，p1收敛()(),0.1apliif x dx 当时发散，4.极限形式极限形式:例例4：.1sin12的收敛性判定dxxxx解：解：，因为23211sinxxxx21sin.1xdxxx所以积分绝对收敛参考函数参考函数例例5：.1的收敛性判断dxexx解：解：因为对于 固定的，由柯西判别法的极限形式知，+22x+xlimlim=0exxxxx e（），该积分收敛.解：解：加加.讨论讨论 的收敛性，
5、的收敛性，20sin1xdxx22sin1,0,)11xxxx由 于20112dxx且收敛，根据比较判别法根据比较判别法.绝 对 收 敛20sin1xdxx例例6：.ln2的敛散性讨论积分xxdx1limlnpxxxx;,110积分收敛时即及上述极限值为p11,;p上述极限值为+及即时 积分发散.|lnlnln,122积分发散时xxxdx解：解：故故.1,1时发散当时收敛该积分当1limlnpxxx0,pp由柯西判别法极限形式第二中值定理第二中值定理（作用相当于级数中的阿贝尔变换）（作用相当于级数中的阿贝尔变换）fxab设（）在，上可积，gxab（）在，上单调，ab则在，上存在，使得bbaaf
6、x g x dx=g afx dx+g bfx dx（）（）（）（）（）（）+afxgxdx关于形如（）（）的无穷积分敛散性有阿贝尔判别法有阿贝尔判别法判判别法与别法与狄利克雷判别法狄利克雷判别法两种判别法证明需要用如下中值定理两种判别法证明需要用如下中值定理特别地特别地gxga0若（）单调增加，且（），bbafxgxdx=gbfxdx（）（）（）（）有；则，使gxgb0若（）单调减少，且（），baafxgxdx=gafxdx.（）（）（）（）则有，使利用第二中值定理可以证明利用第二中值定理可以证明A-判别法和判别法和D-判别法判别法*.阿贝尔判别法阿贝尔判别法f xa 若（）在，上可积，.收
7、敛）（）（则积分dxxgxfa了解内容了解内容g x（）单调有界，例例8：证明：证明：+1sinx arctanxdx01x证明：积分（）收敛.+1sinxdxx收敛，arctanx1+在，单调有界，由由A-判别法知，所讨论级数收敛判别法知，所讨论级数收敛.*.狄利克雷判别法狄利克雷判别法了解内容了解内容(),)g xa 在上，0 x 当时单调趋于，()()af x g x dx则收敛.,)a 在上有界：()()AaF xf x dx若afxdxAK即（），例例7：+1sinxdx.x证明：积分收敛，但非绝对收敛证明：证明：1sinxdx=cos-cos12AA，10 x+x 又（）且单调，+
8、1sinx-dx.xD由判别法知收敛先证明此积分收敛先证明此积分收敛2sinxsin x=1cos2x-xx2x2x，+1cos2xx.dx-2D由判别知收敛法11cos2xdx=sin2-sin212AA（，10 x+2x 又（单调）+1dx2x由于发散，+1sinxdx.x发散再证明此积分收敛非绝对收敛再证明此积分收敛非绝对收敛例例9：证明：证明：+2200sinx dxcosx dx.证明：积分和都收敛+220sinx dxt=x对积分作代换，+2001sintsinx dx=dt2t，00sintdt2AA，110+0 t+tt 且在，内单调，（），+0sint-dttD由判别法，得收敛，+20sinx dx.也收敛+20cosx dx同样可得收敛.+0+fxdxlimfx=0.x 若（）收敛，未必有（）作业：作业：p 64.2（单）（单）8（双）（双）此例同时表明一个重要事实：
