1、 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 传递函数矩阵的矩阵分式描述是复频率域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。采用矩阵分式描述和基于多项式矩阵理论使有可能对线性时不变系统的复频率域分析和综合建立简便和实用的理论和方法。矩阵分式描述(matrix-fraction description，MFD)实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表为两个多项式矩阵之“比”。内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 本章主要内容 右MFD和左MFD MFD的特性8.1 矩阵分式描述8.2 矩阵
2、分式描述的真性和严真性8.3 从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述8.4 不可简约矩阵分式描述8.5 规范矩阵分式描述 不可简约MFD 不可简约MFD的基本特性 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 给定 有理分式矩阵 ，存在 和 多项式阵 和 ，使 成立，则称 为 的一个右 。8.1 矩阵分式描述一、定义1.右MFDqp()G sppqp()D s()N s1()()()G sN s Ds1()()N s Ds()G sMFD2.左MFD 给定 有理分式矩阵 ，存在 和 多项式阵 和 ，使 成立，则称 为 的一个左 。qp()G sqqqp()LDs()LNs1
3、()()()LLG sDs Ns1()()LLDs Ns()G sMFD 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.1 矩阵分式描述二、MFD的求取1.右MFD找出G(s)各列的最小公分母写出G(s)的右MFD222221(2)(3)(3)()(1)(3)(3)sssssG sssss221()(2)(3)cdsss22()(3)cdss122221(2)(3)()(1)(2)(3)ssssG sssss 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.1 矩阵分式描述2.左MFD找出G(s)各行的最小公分母写出G(s)的左MFD222221(
4、2)(3)(3)()(1)(3)(3)sssssG sssss221()(2)(3)rdsss22()(3)rdss12222(2)(3)1(2)()(3)(1)sssssG ssss 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.1 矩阵分式描述三、MFD的特性1.MFD的次数11()()()()()LLG sN s DsDs Ns=degdet()MFDD s右的次数=degdet()LMFDDs左的次数2.MFD的不惟一性不惟一不惟一(),()N s D sdegdet()D s12222222221222(1)(2)(2)(1)(2)()(1)(2)(2)(2)
5、00(1)(2)(2)2sssssssssG ssss ssssssssssss 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.1 矩阵分式描述3.右MFD扩展构造 对 传递函数矩阵 ，设 为 的一个右 ，为任一 非奇异多项式矩阵，且 ，则 也为 的一个右 ，且 。qp()G s()W s()G s()()()N sN s W s1()()N s Ds()G sMFDpp()()()D sD s W s1()()N s DsMFDdegdet()degdet()D sD s证明：1111()()()()()()()()()N s DsN s W s Ws DsN s D
6、sG s由()()()D sD s W sdegdet()degdet()degdet()D sD sW sdegdet()degdet()D sD s当W(s)为单模阵，等号成立。内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.1 矩阵分式描述4.最小阶MFD（不可简约MFD）1()()degdet()N s DsMFDD s为最小阶右最小 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.2 矩阵分式描述的真性和严真性1.MFD的真性一、基本概念 中的元素 满足 ，称 为真，为真。()G s()()ijijn sdsdeg()deg()ijijn
7、sds()G sMFD2.MFD的严真性 中的元素 满足 ，称 为严真，为严真。()G s()()ijijn sdsdeg()deg()ijijn sds()G sMFD3.另一种定义形式0lim()sG sGlim()0sG s（非零常阵）G(s)为真G(s)为严真 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.2 矩阵分式描述的真性和严真性二、判据 1.为 的右 ，为列既约，则 为真的充要条件是 ，为严格真的充要条件是 。()G s()G s()D s1()()N s DsMFD()()cjcjN sD s()()cjcjN sD s()G s证明：只限证明真性，严
8、真性可类似证明。必要性：已知 为真，欲证1()()N s Ds()()cjcjN sD s由1()()()G sN s Ds()()()N sG s D s表 的元为()N s()ijn s 的元为()D s()ijds 的元为()G s()ijgs111()()()()()()()jpijiipikkjkpjdsn sgsgsgs dsds 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.2 矩阵分式描述的真性和严真性111()()()()()()()jpijiipikkjkpjdsn sgsgsgs dsds 为真有理分式，分子次数必小于或等于分母次数。()ikgsd
9、eg()max deg()ijkjn sds等价地，可以导出()()cjcjN sD s充分性：已知 ，欲证 为真。1()()N s Ds()()cjcjN sD s利用列次表达式表示D(s)和N(s),1()()()()()()hccCLhcCLccD sD S sDsDDs Ss S s1()()()()()()hccCLhcCLccN sN S sNsNNs Ss S s 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.2 矩阵分式描述的真性和严真性1()()()()()()hccCLhcCLccD sD S sDsDDs Ss S s1()()()()()()hc
10、cCLhcCLccN sN S sNsNNs Ss S s11111()()()()()()()()()hcCLccchcCLcG sN s DsNNs Ss S s Ss DDs Ss()()cjCLcjcNsS s1lim()()0CLcsNs Ss()()cjCLcjcDsS s1lim()()0CLcsDs SsD(s)为列既约，即 存在。1()hcDs1lim()hchcsG sN D()()cjcjN sD s由已知hcN为非零常阵1lim()hchcsG sN D常数矩阵，即 为真。1()()N s Ds 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.2
11、矩阵分式描述的真性和严真性222214()7374261ssN sssssss 例：322021()242sssD ssss D(s)为列既约11()2()2ccN sD s22()2()3ccN sD s为真1()()N s Ds 2.为 的一个右 ，为非列既约，引入单模阵 ，使 为列既约，则 为真的充要条件是 ，为严格真的充要条件是 。()G s()D s1()()N s DsMFD()()cjcjN sD s()()cjcjN sD s()W s()()()D sD s W s()()()N sN s W s1()()N s Ds1()()N s Ds 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8
12、章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.3 从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述1()()()G sN s Ds为非真1()()()()()spG sN s DsQ sGs()spGs为严真部分为多项式()Q s()()()()()()()()spN sQ s D sGs D sQ s D sR s()()()()R sN sQ s D s为多项式且 为严真1()()R s DsMFD22()(1)(2)(2)N ssss例：(2)(1)1()21sssD sss为非真1()()N s DsMFD解：内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.3 从非真矩阵分式描述导出
13、严真矩阵分式描述22()(1)(2)(2)N ssss(2)(1)1()21sssD sss322122475265()()()4553(26)()()spsssssG sN s DsssssssQ sGssss2(2)(1)1455()()()4812spssssR sGs D sssssss11(2)(1)1()()4812sssR s Dssss严真 为MFD 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.4 不可简约矩阵分式描述一、定义 称 的一个右 为不可简约，当且仅当 和 为右互质。()G s1()()MFD N s Ds()N s()D s1()()LLM
14、FD Ds Ns 称 的一个左 为不可简约，当且仅当 和 为左互质。()G s()LNs()LDs二、基本特性1.不可简约MFD的不惟一性 对 传递函数矩阵 ，其右不可简约 和左不可简约 均为不惟一。()G sMFDqpMFD2.两个不可简约MFD间的关系 设 和 为 传递函数矩阵 的任意两个右不可简约 ，则存在 单模阵 使 成立：()G sMFD()U s111()()N s Ds122()()Ns Dsqppp12()()()D sD s U s12()()()N sNs U s 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.4 不可简约矩阵分式描述12()()()
15、D sD s U s12()()()N sNs U s证明：（1）构造矩阵U(s)111122()()()()N s DsNs Ds由11221()()()()N sNs Ds D s取121()()()U sDs D s有12()()()N sNs U s112212()()()()()()D sD s Ds D sD s U s且由D(s)非奇异知U(s)非奇异。（2）证明U(s)为多项式矩阵 由 和 右互质，存在多项式矩阵 和 ，使成立：2()D s2()Ns()X s()Y s22()()()()X s D sY s NsI由121()()()D sD s Us121()()()NsN
16、 s Us有1111()()()()()()X s D s UsY s N s UsI11()()()()()U sX s D sY s N s为多项式矩阵。内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.4 不可简约矩阵分式描述（3）证明U(s)为单模阵 由 和 右互质，存在多项式矩阵 和 ，使成立：1()D s1()N s()X s()Y s11()()()()X s D sY s N sI由有22()()()()()()X s D s U sY s Ns U sI122()()()()()UsX s D sY s Ns为多项式矩阵。12()()()D sD s U
17、s12()()()N sNs U s故：U(s)为单模阵3.不可简约MFD的广义惟一性 若 为 传递函数矩阵 的右不可简约 ，且取 ，为任一单模阵，则 也为 的右不可简约 。()G sMFD()U s()()()D sD s U s1()()N s Dsqp()()()N sN s U s()G s1()()N s DsMFD 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.4 不可简约矩阵分式描述4.右不可简约MFD和右可简约MFD的关系 的任一右不可简约 和任一右可简约 ，必存在非奇异多项式矩阵 ，使成立：()G sMFD()T s1()()N s DsMFD1()(
18、)N s Ds()()()D sD s T s()()()N sN s T s证明：（1）由右可简约 找出一个右不可简约 MFDMFD1()()()D sD s Rs 由 和 非右互质，即 和 的最大右公因子 为非奇异但非单模。()D s()N s()D s()N s()R s基此，取1()()()N sN s Rs1111()()()()()()()()N s DsN s Rs R s DsN s Ds则 也为 的一个 。()G sMFD1()()N s Ds 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述()()()()00()R sID sU sR sN s 8.4 不
19、可简约矩阵分式描述由gcrd构造定理，有右乘1()Rs11()()()()()0()()()ID sD s RsU sU sN sN s Rs 和 的最大右公因子为单模阵，即 和 为右互质，为 的右不可简约 。()D s()D s()N s()N s1()()N s Ds()G sMFD（2）证明 的存在性和非奇异性()T s()()()N sN s U s由 和 为不可简约，存在单模阵使1()()N s Ds1()()N s Ds()()()D sD s U s 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.4 不可简约矩阵分式描述()()()N sN s U s()
20、()()D sD s U s运用 和 ，导出1()()()D sD s Rs1()()()N sN s Rs()()()()()()()()N sN s R sN s U s R sN s T s()()()()()()()()D sD s R sD s U s R sD s T s()()()T sU s R s即由U(s)为单模和R(s)为非奇异，知T(s)为非奇异。5.不可简约MFD在史密斯形和不变多项式意义下的同一性G(s)的所有右不可简约MFD ，成立1()()()iiG sN s Ds（1）具有相同的史密斯形()iN s（2）具有相同不变多项式()iD s 内蒙古工业大学电力学院自
21、动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.4 不可简约矩阵分式描述6.左不可简约MFD和右不可简约MFD的关系 的任一左不可简约 ，右不可简约 ，必成立()G s1()()LLMFD Ds Ns1()()MFD N s Dsdegdet()degdet()LDsD s7.不可简约MFD的最小阶性 的一个左 和右 ，则()G s1()()LLMFD Ds Ns1()()MFD N s Ds为最小阶 左不可简约 1()()LLDs NsMFD1()()N s DsMFD为最小阶 右不可简约证明：充分性：已知 为不可简约，欲证 为最小阶。1()()N s Ds1()()N s Ds 内蒙古工业大
22、学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.4 不可简约矩阵分式描述表 为 的任一右可简约 ，有1()()N s Ds()G sMFD()()()D sD s T s()()()N sN s T sT(s)为非奇异矩阵degdet()degdet()degdet()D sD sT sdegdet()degdet()D sD s即不可简约 的阶次最小。1()()N s Ds必要性：已知 为最小阶，欲证 为不可简约。1()()N s Ds1()()N s Ds采用反证法，反设 为可简约，1()()N s Ds()R s为 和 的()N s()D sgcrd()()()D sD s R
23、 s()()()N sN s R s1()()()D sD s Rs1()()()N sN s Rs为右不可简约1()()N s DsMFD 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.4 不可简约矩阵分式描述1()()()D sD s Rs1()()()N sN s Rs为右不可简约1()()N s DsMFD又degdet()degdet()degdet()D sD sR sdegdet()degdet()D sD s可找到 使其阶次较 低1()()N s Ds1()()N s Ds1()()N s Ds反设不成立，即 为不可简约。内蒙古工业大学电力学院自动化系第
24、8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.5 确定不可简约矩阵分式描述的算法理论依据 基于最大公因子的算法()R s为 和 的()N s()D sgcrd1()()()D sD s Rs1()()()N sN s Rs 为任一可简约 1()()N s DsMFD为右不可简约1()()N s DsMFD例：222(1)()(1)(1)ss sN ss ss s2222(1)(2)0()0(1)(2)ssD sss 为一可简约 1()()N s DsMFD 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.5 确定不可简约矩阵分式描述的算法122102()11(1)(1)(2)sR
25、ssss21(1)()(2)0sR ss确定 和 的()N s()D sgcrd120()()()sN sN s Rsss2120(1)(2)()()()(2)2ssD sD s Rsss为右不可简约1()()N s DsMFD 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.6 规范矩阵分式描述 传递函数矩阵MFD具有不惟一性，MFD惟一化得途径是对MFD的分母矩阵限定为规范形而得到规范MFD。1、列埃尔米特形MFD 为G(s)的列埃尔米特形MFD，具有如下形式1()()HHNs Ds()HDs11212212()()()()()()()HppppdsdsdsDsdsd
26、sds其中：（1）为首1多项式，（2）()iids1,2,ipdeg()deg()1,2,1iiijdsdsji 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 其中：（1）为首1多项式，1,2,iq()Liids8.6 规范矩阵分式描述2、行埃尔米特形MFD 为G(s)的行埃尔米特形MFD，具有如下形式1()()LHLHDs Ns()HDs11121222()()()()()()()LLL qLL qLHLqqdsdsdsdsdsDsds（2）deg()deg()1,2,1LiiLjidsdsji 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 8.6 规范矩阵分式描述3、结论 对 传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右MFD均具有相同列埃尔米特形MFD ，其所有不可简约左MFD均具有相同行埃尔米特形MFD 。1()()HHNs Ds1()()LHLHDs Nsqp 内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述 再见！
