1、2022年12月28日1第三章 自动控制系统的时域分析2022年12月28日2n典型输入作用和时域性能指标n一阶系统的瞬态响应n二阶系统的瞬态响应n高阶系统分析n稳定性和代数稳定判据n稳态误差分析本章主要内容2022年12月28日3第一节 典型输入作用和时域性能指标2022年12月28日4什么是时域分析?指控制系统在一定的输入信号作用下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态性能和稳态性能。时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观和准确的优点。由于系统的输出量的时域表达式是时间的函数，所以系统的输出量的时域表达式又称为系统的时间响应。系统输出量的时域表示可由微分方程得到，
2、也可由传递函数得到。在初值为零时，可利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统的瞬态和稳态过程来评价。系统的瞬态和稳态过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。时域分析时域分析2022年12月28日5典型初始状态典型初始状态这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。典型初始状态:规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 时 0t0)0()0()0(ccc2022年12月28日6典型输入作用 脉冲函数：阶跃函数：tA)(tx0,0,0)(tAttxA阶跃幅度，A=1称
3、为单位阶跃函数，记为1（t）。其拉氏变换后的像函数为：sAtxL)(斜坡函数（速度阶跃函数）：0,0,0)(tBtttxB=1时称为单位斜坡函数。t)(txBttx)(其拉氏变换后的像函数为：2)(sBtxL典型输入作用典型输入作用2022年12月28日7典型输入作用典型输入作用提示：上述几种典型输入信号的关系如下：21)(1)(23322AtdtdAtdtdtAdtdtA抛物线函数（加速度阶跃函数）：0,210,0)(2tCtttxC=1时称为单位抛物线函数。t)(tx221)(Cttx 其拉氏变换后的像函数为：3)(sCtxL正弦函数：，式中，A为振幅，为频率。tASintx)(其拉氏变换
4、后的像函数为：22sinnnstAL2022年12月28日8 分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。讨论系统的时域性能指标时，通常选择单位阶跃信号作为典型输入信号。2022年12月28日9典型响应典型响应典型响应：单位脉冲函数响应单位脉冲函数响应：1)()(sGsC 单位阶跃函数响应单位阶跃函数响应：ssGsC1)()(单位斜坡函数响应单位斜坡函数响应：21)()(ssGsC 单位抛物线函数响应：单位抛物线函数响应：31)(
5、)(ssGsC提示：上述几种典型响应有如下关系：单位脉冲单位脉冲函数响应函数响应单位阶跃单位阶跃函数响应函数响应单位斜坡单位斜坡函数响应函数响应单位抛物线单位抛物线函数响应函数响应积分积分积分积分积分积分微分微分微分微分微分微分2022年12月28日10线性微分方程的解 时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和性能指标。设微分方程如下：)(.)()()(.)()(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtyatyatyammmmnnnn式中，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。)()()(tytytyph)(tyh 我们知道，微分方程的解可表示为：，其中，为对应的齐次方程的通
6、解，只与微分方程（系统本身的特性或系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时间趋于无穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根可以分析系统的稳定性。)(typ 为特解，与微分方程和输入有关。一般来说，当时间趋于无穷大是特解趋于一个稳态的函数。线性微分方程的解线性微分方程的解2022年12月28日11 系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。综上所述，对于稳定的系统，对于一个
7、有界的输入，当时间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。线性微分方程的解线性微分方程的解某系统单位阶跃响应曲线如下：瞬态过程稳态过程yt瞬态过程稳态过程2022年12月28日12瞬态过程的性能指标（衰减振荡）瞬态过程的性能指标（衰减振荡）瞬态过程的性能指标（一）衰减振荡：具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：瞬态过程的性能指标（衰减振荡）瞬态过程的性能指标（衰减振荡）延迟时间 ：dt输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。)(ydt2)(y 上升时间 ：rt输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的
8、90%所需的时间。通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。rt2022年12月28日13 最大超调量(简称超调量)：%100)()(%maxyyy式中：输出响应的最大值；maxy)(lim)(tyyt稳态值；瞬态过程的性能指标（衰减振荡）瞬态过程的性能指标（衰减振荡）输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。峰值时间 ：pt)(yptmaxy瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。调节时间或过渡过程时间 ：st当 和 之间的误差达到规定的范围之内一般取 的5%或2%，称允许误差范
9、围，用D表示且以后不再超出此范围的最小时间。即当 ，有：)(ty)(y)(ystt)52(%)(|)()(|或DDyyty)(02.0)(05.0yy或st2022年12月28日14瞬态过程的性能指标瞬态过程的性能指标 振荡次数N：srpttt,在上述几种性能指标中，表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中 和 是两种最常用的性能指标。N%,%st)(y在调节时间内，y(t)偏离 的振荡次数。0trtptstymaxy)(y2)(y)(05.0y)(02.0y或或td2022年12月28日15瞬态过程的性能指标瞬态过程的性能指标（二）单调变化单调变化
10、响应曲线如图所示：这种系统就无需采用峰值时间和最大超调量这两个指标。此时最常用的是调节时间这一指标来表示瞬态过程的快速性。有时也采用上升时间这一指标。y)(y2)(yttstd)(05.0y)(02.0y或或tr2022年12月28日16主要是稳态误差。式中：e(t)=给定输入值-实际输出值（单位反馈）；E(s)是系统的偏差。)(lim)(lim0ssEteestss稳态过程的性能指标稳态过程的性能指标稳态过程的性能指标对一个控制系统的要求 系统应该是稳定的；系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差的要求；系统在瞬态过程中应有好的快速性。简称为：稳、准、快对一个控制系统的要求对一个控制系统的要求2022年12月28日17小结q典型输入作用极其之间的关系q典型响应及其之间的关系q线性微分方程的解q瞬态过程和稳态过程q瞬态过程的性能指标(有衰减振荡和单调变化之分)q稳态过程的性能指标(稳态误差)q对一个控制系统的要求(稳、准、快)
