1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 第七节 曲 率 一 弧微分 设函数f(x)在某区间(a,b)内具有连续导数连续导数,如图,设曲线f(x)上由起点M0计算弧长M0M的长度为s(x).求弧长的导数和微分.给弧长s一个xxx+xyyxydsf(x)M0 x0MM任意增量MM=s,点MM的坐标为(x,y)(x+x,y+y).我们得到正负号的规定:是把曲线上的点依x增大的方 向作为曲线的正向.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系00sM MM MMM 22222()()()()sMMMMMMxxxMM222222()()()()1
2、()()MMxyMMyxxMMMM 22()1()sMMyxxMM 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系0lim,xyyx 故当两边取极限 我们得到20lim1xsyx 0,lim1,MMMMxMMMM 21()dsy dx为单调增加函数高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系二,曲 率 及 其 计 算 公 式 1曲线弯曲程度的两个要素(1)与转角有关 由图可知,弧M1M2比较平直,当动点沿这弧段从M1移到M2时,切线转过角度不大,弧段M2M3弯曲得比较厉害,转角就比较大.M1M2M3ABA1B1ss1y=f(x)ABsM0高等数
3、学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(2)与弧长有关 由图可知,两段曲线弧AB,A1B1,尽管切线转过的角度相 同,但弯曲的程度并不一样,短弧段比长弧段弯曲得厉害2曲率(1)条件:曲线y=f(x)为光滑的,在曲线上取一点M0为弧的 基点,设曲线上A点对应于弧s,它切线的倾角为,B点对 应于弧s+s,它的倾角为+当动点从A到B时,切线 转过的角度为|,既然弯曲程度与转角和弧长有关高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系skkss00limlim称曲线f(x)在A点的曲率(2)平均曲率sKs比值 为单位弧段上切线转过的角度大小,我们称为平均
4、弯曲程度,即平均曲率,记作K我们把转角和弧长之比称为平均曲率当dsdss0lim极限存在时,曲率可用 表示dsdk高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例如直线,它的切线与它本身重合,k=0.如圆,设其半径为R,圆上任意两点切线的 夹角等于它所对的圆心角RskRsRss1lim10（圆半径）（所对弧长）圆心角这表示同一圆上各点的曲率一样,等于半径的倒数.半径小的曲率大,它弯曲更厉害.ddsRd高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系.,1ytgytg如果(4)式是用直角坐标表示的曲线y=f(x)求曲率公式.如果曲线由参数方程下面我们
5、推导计算曲率的公式22111ydxydxyyd dxyds21232)1(|yydsdk)4()1(232yyk 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系).(),(tytxtrytrxsin,cos例如)()()()()(,)()(3tttttyttyxxx 2322)()(|)()()()(|ttttttk trytrxcos),sin(trytrxsin,cos rrrk132高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例1 确定正弦曲线y=sinx的一拱(0 x)上曲率最大的点.当x=/2时,分子最大,分母最小.即点(/2,1)曲
6、率最大.例2 求摆线的一拱上的任一点的曲率)4()1(232yyk xyxysin,cos 解:20),cos1(),sin(ttayttax解：232)cos1(sinxxk高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系;sin ),cos1(taytaxtt2322)()(|)()()()(|ttttttk taytaxttttcos ,sin 232222sin)cos1(sinsincos)cos1(tatattaatatak232222222sincoscos21()sin(coscos tttattata2332)cos22(1cos tatatacos12
7、21 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系三 曲 率 圆 与 曲 率 半 径Mxxyy=f(x)TD 设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为k过点M作与f(x)有公切线的圆D,它的半径R=1/k,且圆心在过点M有相同凹向的一侧我们称圆D为曲线f(x)在点M的曲率圆.圆心D为曲线f(x)在点M处的曲率中心,半径R称为在M点的曲率半径高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系即曲率和曲率半径互为倒数.曲率半径大的曲率小,曲线就平直,相反曲率大的曲线就比较弯曲 由于曲线f(x)与曲率圆D在M处有相同的曲率k(=1/R),所以我们常用
8、一小段圆弧来近似代替一小段曲线弧,使问题简化.另在有些实际问题中,|y|与1比较而言相对很小|)1(,112322yyyky 这就是二阶导数的几何解释.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例3 (弯道模型)设一段直铁路线位于负横坐标并在原点o处拐弯到点M(x1,y1),并过度到曲率半径为R的其他曲线.问过渡曲线oM应该如何选取,使火车的向心力在原点不产生突变?x1xyy=f(x)M(x1,y1)Rlo解:不产生突变应满足4个条件高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系;0)0()1(y工程上常常采用立方抛物线作为过渡曲线切线为水平
9、Rlxy63计算后得到;0)0()2(y0)0(0)0()3(yk11)()4(yxy;23dcxbxaxy.0,0)0()1(dy,0,0)0()2(cy00)0(0)0()3(byk331131111)()()4(xxyxfaxyyxy高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系Rlxy63OM的弧长,在x=0处,K0=0.曲率半径为无穷大(直线).M点的曲率x1xyy=f(x)M(x1,y1)RloRlxyRlxy,22R表示点M处曲线L的曲率半径，L表示立方抛物线234222223224232)4(8)41()1(xlRxlRlRxRlxyyk 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系这样火车从直线段过渡其他曲线,离心力从0增加到mv2/R,避免了离心力的不连续,火车在过渡段上不产生震动.,.lxRl23422322342222)4(8)4(8llRlRxlRxlRk2322232223222)41()4(8)4(8 RlRRlRRRRlR1)41/(1 2322
