1、S D第二章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 NewtonS D一、导数概念的引入一、导数概念的引入二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系第一节第一节 导数的概念导数的概念 第二章 S D一、一、导数概念的引入导数概念的引入1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则 到 的平均速度
2、为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落体运动S D xyo)(xfy C2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx S D两个问题的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx l
3、im0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题S D二、导数的定义二、导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数 定义定义1.设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 x
4、f xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义,在点0 x处可导可导,在点0 x的导数导数.S D0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在,在点 不可导.0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.S D2、求导数举例、求导数举例步骤步骤:;)()()1(x
5、xfxxfxy 求增量比求增量比.lim)2(0 xyyx 求极限求极限例例1解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.)()(的导数的导数 为常数为常数 求函数求函数 CCxf 即即.0)(CS D例例2解解hxhxxnnhn )(lim)(01 nnx更一般地更一般地)(x例如例如,12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 即即!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx.)(1 nnnxx)(.)(1Rxx m mm m m mm m.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn x1S D例例3解解hxhxxhsin)sin(lim)(
6、sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x 44cos)(sin xxxx.22.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数即即.cos)(sinxx 同理可得同理可得-sinx)(cosx hhhxh2sin)2cos(2lim0 S D例例4解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax)1,0()(的导数的导数.求函数求函数 aaaxfx即即.ln)(aaaxx .)(xxee 特别有特别有S D例例5解解hxhxyaahlog)(loglim0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(logli
7、m10 axexaln1log1 即即.1)(lnxx .)1,0(log的导数的导数求函数求函数 aaxyahxhxah loglim0 axexxaaln1log1log 特别有特别有hxhaxhx)1(limlog10 S D2.右导数右导数:3.单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 左导数和右导数统称为单侧导数左导数和右导数统称为单侧导数S D例例6解解xy xyohhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hh
8、hfhfhh 00lim)0()0(lim.1 ,)0()0(hhhfhf .0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy),0()0(ff即即S D三、导数的几何意义三、导数的几何意义)()(0 xfyxf 表示曲线表示曲线切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy oxy)(xfy T0 xM处的处的在点在点)(,(00 xfxM即即切线的斜率切线的斜率,)(,tan)(0为倾角为倾角 xfS D例例7.,)2,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出
9、在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1(xx2121 xx.4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy.044 yx即即.01582 yx即即S D例例8.)4,0(23的切线方程的切线方程的通过点的通过点求曲线求曲线 xy解解设切点为设切点为(x0,y0),则切线的斜率为则切线的斜率为所求切线方程为所求切线方程为),(23000 xxxyy 002323)(0 xxxfxx 230023,xyxy 故有故有上上切点在曲
10、线切点在曲线故有故有切线通过点切线通过点),4,0()0(234000 xxy 得切线方程为得切线方程为代入前式代入前式解得解得,8,400 yx043),4(4238 yxxy即即S D四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x S D连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf注意
11、注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.000)()(,)(.1xxfxfxf则称点则称点若若连续连续函数函数 .)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx .,)(函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数xfS D例例9,)(3xxf)(.)(,)()(limlim,)(.2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx .0处不可导处不可导在在 x3xy ,31)(32xxf )(0 xfx时时S D,0,00,1sin)(xxxxxf例如例如,011/1/xy.,)()(
12、.30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf.0处不可导处不可导在在 xS Dxyoxy0 xo)(xfy )(xfy .)()(,)(.4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf S D1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;函数的变化率函数的变化率;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.小结小结S D)(0 xf )(0 xf 4练习题练习题S D3132 x32x 6561 x24x22x01 yxS D)0(01sinlim)(lim,000fxxxfkkxx 时时当当解解处连续处连续在在0)(xxf01sinlim001sinlim0)0()(lim,11000 xxxxxxfxfkkxkxx时时当当处可导处可导在在0)(xxfS DS DS D
