1、-1 第十章第十章 第二节第二节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二类曲线积分第二类曲线积分二、第二类曲线积分的二、第二类曲线积分的概念与性质概念与性质一、向量场一、向量场三、第二类曲线积分的三、第二类曲线积分的计算计算-2一、向量场一、向量场机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 画向量场画向量场xyo2Fij xyo Fxi xyoFxiyj Fyixj xyo-5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结
2、束结束 Fzk Fyixj -6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 梯度场和保守场梯度场和保守场-7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:22(,)2(3)f x yxyixyj -8二、对坐标的曲线积分二、对坐标的曲线积分定向曲线与切向量：定向曲线与切向量：定向曲线：带有确定走向的一条曲线。定向曲线：带有确定走向的一条曲线。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则 L 的切向量为：的切向量为：)(,)(,)(tztytx -9ABL1 nMiM1 iM2M1MkzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),()
3、,(分割分割.,110BMMMMAnn .ABFW 解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 “分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”求变力沿曲线所作的功，利用求变力沿曲线所作的功，利用,),(1iiiiiiMMFW 近似近似例：例：求变力求变力 F 沿曲线沿曲线 L 所作的功。所作的功。已知常力已知常力 F 沿直线所作的功沿直线所作的功变变力力设设曲曲线线,:BAL),(iii -10求和求和:取极限取极限:niiiiiiiiiiiiizRyQxPW10),(),(),(lim 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 niiiiiiMMFW1
4、1),(niiiiiiMMFW110),(lim ,)()()(1kzjyixMMiiiii kRjQiPFiiiiiiiiiiii),(),(),(),(向量形式向量形式坐标形式坐标形式ABL1 nMiM1 iM2M1M),(iii 则则-11对坐标的曲线积分的定义：对坐标的曲线积分的定义：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -12上式也称为第二类曲线积分的上式也称为第二类曲线积分的向量形式向量形式。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二类曲线积分也称为第二类曲线积分也称为向量场的线积分向量场的线积分。-13说明说明：机动机动 目录目录 上页
5、上页 下页下页 返回返回 结束结束 -14基本性质基本性质机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 性质性质1 1：rdMGkMFkBA )()(21rdMGkrdMFkBABA )()(21性质性质2 2：rdMFrdMFABBA )()(性质性质3 3：rdMFrdMFrdMFBCCABA )()()(-15第二类曲线积分的坐标表示第二类曲线积分的坐标表示设设,),(kkkyxA,),(kkkM 则则,11 iiiiyyxxiiiAAr1 ,iiyx 记记 niiirMF1)(niiiiiiiyQxP1),(),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
6、 令令的的弧弧长长为为其其中中iiiiiAAss1,0max 若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在记为记为rdyxFL ),(LdyyxQdxyxP),(),(上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。-16（2）若若 ),(),(),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 rdzyxFL ),(dzzyxRdyzyxQdxzyxPL),(),(),(上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。-17的的参参数数方方程程为为
7、：设设有有向向曲曲线线弧弧 L0(,)cos,cos,cos,Lx y z 在在点点处处单单位位切切向向量量battzztyytxx :,)(,)(,)(0LFds 则则,(,)LFP QLx y 若若是是有有向向平平面面曲曲线线弧弧，在在点点处处的的0cos,cos,单单位位切切向向量量则则0(coscos)LLLPdxQdyFdsPQds 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、两类曲线积分之间的关系三、两类曲线积分之间的关系(coscoscos)LPQRds LPdxQdyRdz ,FP Q R 其其中中-18证明：证明：的的参参数数方方程程为为设设 Lbattz
8、ztyytxx :,)(,)(,)(,)1(ba 若若：的切向量为的切向量为则则 L)(),(),(tztytx dttztytxrd222)()()(|又又，也也是是切切向向量量则则dttztytxdzdydxrd)(),(),(,ds|0rdrd 则则dsrd cos,cos,cos 于是有于是有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0d rds -19即即0LLPdxQdyRdzFds ,)2(ba 若若,tu 可可令令bau :则则,ba 而而此此时时,cosdsdx ,cosdsdy dsdz cos 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
9、平面曲线的情况完全类似推导。平面曲线的情况完全类似推导。故故(coscoscos)LPQRds-20解解1：,Fx y 设设，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0 是是指指定定方方向向的的单单位位切切向向量量，0F 因因为为，LIxdxydy 则则00F 所所以以，0LFds 0 xyo01,y xa 事事实实上上，容容易易求求得得：-21解解2：,Fx y 设设，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0 是是指指定定方方向向的的单单位位切切向向量量，222:L xyax 两两边边关关于于求求导导得得LIxdxydy 则则0LFds 0 xyo0
10、1,y xa ，220,xyy ,xyy 1,xy /,y x 取取逆逆时时针针方方向向00F 所所以以，-22解：解：10:,22,22 ttztytxL：22cos,21cos,21cos 2)()()(222 tztytx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 于是于是 Lxdzzdyydx Ldsxzy222121dtttt2222221222110 4221 -23四、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的计算，且，且存在存在线积分线积分则曲则曲且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数为端点的闭区间为端点的闭区间及及在以在以终点终点运动到运动到沿沿的起点的起
11、点从从点点时时变到变到单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为上连续上连续在有向曲线弧在有向曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttbattBLALyxMbattytxLLyxQyxP),(),(,0)()(,)(,)(,),(,)()(,),(,),(22 定理（平面曲线的情形）定理（平面曲线的情形）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -24dttttQtttPdyyxQdxyxPbaL)()(),()()(),(),(),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明：证明：则则切切向向量量处处的的单单位位在在是是设设,),(cos,c
12、os0 yxLdsyxPdxyxPLL cos),(),(则则若若,.)1(ba )()()(,)()()(22220tttttt -25则则即即,)()()(cos22ttt dsyxPdxyxPLL cos),(),(dttttttttPba 2222)()()()()()(),(dttttPba )()(),(则则若若,.)2(ba 22)()()(costtt 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -26dsyxPdxyxPLL cos),(),(dttttPab)()(),(dttttPba )()(),(综综上上所所述述，不不论论ba 还还是是ba ，都都有有
13、 dttttPdxyxPbaL )()(),(),(其其中中，等等式式右右端端的的定定积积分分的的下下限限 a对对应应于于 L的的起起点点，上上限限 b对对应应于于 L的的终终点点。同同理理可可证证：dttttQdyyxQbaL )()(),(),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -27dttttQtttPdyyxQdxyxPbaL)()(),()()(),(),(),(于于是是 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意：注意：a 未必小于未必小于 b。其其中中，等等式式右右端端的的定定积积分分的的下下限限 a对对应应于于 L的的起起点点，上
14、上限限 b对对应应于于 L的的终终点点。-28特殊情形特殊情形则则，终终点点为为起起点点为为,)(:)1(baxxyyL dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL )()(,)(,则则终终点点为为起起点点为为,)(:)2(dcyyxxL dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL ),()(),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -29(4)若曲线若曲线 L 的方程为极坐标方程：的方程为极坐标方程：,)(:先化成参数方程：先化成参数方程：,sin)(cos)(yx :然后用公式计算。然后用公式计算。-30，且，且存在存在则曲线积分则曲线积分一阶连续导数一阶连续导数为
15、端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及以以在在的参数方程为的参数方程为上连续上连续向曲线弧向曲线弧在空间有在空间有设设 LRdzQdyPdxbatttbattztytxLLzyxRzyxQzyxP,)(,)(,)(,:,)(,)(,)(:,),(,),(,),(定理（空间曲线的情形）定理（空间曲线的情形）dtttttRttttQttttPRdzQdyPdxbaL)()(),(),()()(),(),()()(),(),(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -31注意：两类曲线积分之间注意：两类曲线积分之间区别区别（1 1）第一类第一类曲线积分是数量函数对弧长的积分；
16、曲线积分是数量函数对弧长的积分；第二类第二类曲线积分是向量函数的各分量函数曲线积分是向量函数的各分量函数 对坐标的积分。对坐标的积分。（2 2）第一类第一类曲线积分与路径的方向无关，化成曲线积分与路径的方向无关，化成 定积分时，定积分时，下限总小于上限下限总小于上限；第二类第二类曲线积分与路径的方向有关（方向曲线积分与路径的方向有关（方向 改变，积分值变号），化成定积分时，改变，积分值变号），化成定积分时，下下 限未必小于上限。限未必小于上限。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -32机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 （2 2）对于第二类曲线积
17、分，当积分弧）对于第二类曲线积分，当积分弧 L 是垂直于某坐是垂直于某坐标轴的直线段标轴的直线段 AB 时，对该坐标的积分为零，即时，对该坐标的积分为零，即;0),(ABdxyxPxAB轴轴时时，当当;0),(ABdyyxQyAB轴轴时时，当当空间曲线上的第二类曲线积分也有类似的性质。空间曲线上的第二类曲线积分也有类似的性质。说明：说明：（1 1）在第二类曲线积分中，由于涉及积分曲线的方向）在第二类曲线积分中，由于涉及积分曲线的方向问题，因此要慎用对称性。一般情况下，应在曲线积分问题，因此要慎用对称性。一般情况下，应在曲线积分化为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。化为定积分后再考虑能否利
18、用对称性来化简计算。-33.)0,()0,()2(;)1(:,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点绕行的上半圆周绕行的上半圆周针方向针方向、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例3:3:解解:0:,sincos:)1(ayaxL)0,(aA)0,(aB daa 022)sin(sin原式原式)(cos)cos1(023 da .343a 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,:,0:)2(aaxyL aadx0原式原式0-34。，其中，其中有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的
19、一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算)1,1(),0,1(),0,0()3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 例例4 4：2xy )0,1(A)1,1(B解：解：.)1(的的积积分分化化为为对对 x,10:,:2 xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx.1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -35)0,1(A)1,1(B2yx .)2(的的积积分分化化为为对对 y,10:,:2 yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy.1)0,1
20、(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式,上上在在 OA,10:,0 xy OAdyxxydx22 102)002(dxxx.0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,上上在在 AB,10:,1 yx 102)102(2dyydyxxydxAB.1 10 原式原式.1-36 一般情况下，一般情况下，第二类曲线积分的值，不仅与积第二类曲线积分的值，不仅与积分路径的起点或终点有关，而且与积分路经本身有分路径的起点或终点有关，而且与积分路经本身有关。即被积函数相同，起点和终点也相同，但路径关。即被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结
21、果不同。不同积分结果不同。例例3说明：说明：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在有些情况下，在有些情况下，第二类曲线积分的值，仅与积分第二类曲线积分的值，仅与积分路径的起点或终点有关，而与积分路经本身无关。路径的起点或终点有关，而与积分路经本身无关。即被积函数相同，起点和终点也相同，路径不同积即被积函数相同，起点和终点也相同，路径不同积分但结果相同。分但结果相同。例例4说明：说明：-37例例5.5.求求,)(LxdyydxxyI其中其中 L 是双纽线的右半支是双纽线的右半支,)()(222222yxayx ,0 x逆时针方向。逆时针方向。解解:L 的极坐标方程是：的极
22、坐标方程是：44:,2cos22 aL 的参数方程是：的参数方程是：,sin2coscos2cos ayax44:,2cos3sin ax ,2cos3cos ay daI 444)3coscos3sinsin(cossin2cos0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 奇函数奇函数-38ozyx例例6.6.求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI 其中其中,2122 zyxyx从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解:取取 的参数方程的参数方程,sin,costytx )02:(sincos2 tttz 02 Itttcos)sincos22(tt
23、tttd)sin)(cossin(cos ttttd)cos2sin2cos41(220 )sin)(cos2(tt 2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -39例例7.7.解解:zxoyABzk222zyxkzjyixzk ABzyxzzzyyxxk222ddd:AB22 tx22 ty1 tz)10:(t 101d3ttk2ln3k )1,2,2(A动到动到,)2,4,4(B向坐标原点，向坐标原点，其大小与作用点到其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比。面的距离成反比。沿直线移沿直线移rFWABd F)(0r 1,2,2 ABr求求 F 所作的功所作的功 W。已
24、知已知 F 的方向指的方向指一质点在力场一质点在力场F 作用下由点作用下由点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -40例例8 8：解：解：BAzyx10cosxt 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如图如图5zt 10sinyt L：:06t(,)0,0,(8010)F x y zg dLWFr 90Lgdz 60590gdt 则则2700()g J-41例例9 9：解：解：10cos,xt 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5,zt 10sin,yt L：:06t(,)0,0,(90)3tF x y zg dLWFr
25、 (90)3Ltgdz 605(90)3tgdt 则在则在 t 时刻：时刻：2670()g J 单位时间流出的油漆为：单位时间流出的油漆为：26kg-421.1.定义定义 kkkknkyQxP ),(),(limkk10 LyyxQxyxPd),(d),(2.2.性质性质(1)(1)L L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧),1(kiLi LyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)(2)L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意
26、积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -43,)()(:tytxL 3.3.计算计算 LyyxQxyxPd),(d),(tttQttPbad )(),()(),()(t )(t 对有向光滑弧对有向光滑弧机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 bat:若曲线若曲线 L 的方程为极坐标方程：的方程为极坐标方程：,)(:先化成参数方程：先化成参数方程：,sin)(cos)(yx :然后用公式计算。然后用公式计算。-44zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(battztytx :,)()()(bat
27、ttP)(,)(),()(t )(t )(t )(,)(),(tttQ )(,)(),(tttR td 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -45区别：区别：第一类第一类曲线积分与路径的方向无关，化成定曲线积分与路径的方向无关，化成定积分时，下限总小于上限；积分时，下限总小于上限；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二类第二类曲线积分与路径的方向有关（方向改曲线积分与路径的方向有关（方向改变，积分值变号），化成定积分时，下限未变，积分值变号），化成定积分时，下限未必小于上限。必小于上限。4.4.两类曲线积分的
28、联系与区别两类曲线积分的联系与区别 sQPLdcoscos zRyQxPddd sRQPdcoscoscos 联系：联系：LyQxPdd-46作业作业 习题习题9-2(P250)1(3)(6)(7)(8)；2(2)(4);3;5；7第三节 目录 上页 下页 返回 结束-471 1、的的弧弧段段。到到上上从从为为求求)1,1()1,1(,2BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对 x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1,1(A)1,1(B机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的
29、定积分，的定积分，化为对化为对 y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy.11:y 1142dyy.54 备用题备用题-48xyzo34)5,4,3(B)0,0,2(A)0,4,3(C解：解：的参数方程为：的参数方程为：AB10:,5,4,2 ttztytx的的参参数数方方程程为为：BC01:,5,4,3 ttzyx BCAB原原式式dtttt 10)5)2(454(dt 015321915249 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -49)0,0,1(A)0,1,0(B)1,0,0(Coxyz3.已知已知 为折线为折线 ABCOA(如图如图),
30、),计算计算 zyyxIddd提示提示:I0 01d)1(yy 10dx2 )211(1 21 01d2 x1 yx1 zyyxABdd zyyBCdd OAxd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -50 F原点原点 O 的距离成正比的距离成正比,4 4、设一个质点在设一个质点在),(yxM处受处受恒指向原点恒指向原点,)0,(aA沿椭圆沿椭圆此质点由点此质点由点12222 byax逆时针移动到逆时针移动到,),0(bB),(yxMxyo)0,(aA),0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcos tbysin 20:t,yxOM F 的大小与的大小与M
31、 到原到原F 的方向的方向力力F 的作用的作用,求力求力F 所作的功所作的功.,yxkF F,xyk 思考思考:若题中若题中F 的方向的方向 改为与改为与OM 垂直且与垂直且与y 轴夹锐角轴夹锐角,则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -515.5.将积分将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积化为对弧长的积分分,0222 xyx).0,2()0,0(BO到到从从解解1 1：yxy 1 yyxQxyxPLd),(d),(故故 syxQyxPLd),(),(y)1(x 其中其中L 沿上半圆周沿上半圆周机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束
32、结束 求导得求导得两边对两边对方程方程xxyx0222 oyxB 处的切向量为处的切向量为上任一点上任一点则则),(yxL,1y 1,1yx 1,/xy 0 -525.5.将积分将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积化为对弧长的积分分,0222 xyx).0,2()0,0(BO到到从从解解2 2：,22xxy xxxxyd21d2 sdxyd12 xxxd212 sxddcos ,22xx syddcos x 1 yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x 其中其中L L 沿上半圆周沿上半圆周机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返
33、回 结束结束 oyxB-536 6：设在力场设在力场作用下作用下,质点由质点由沿沿 移动到移动到),2,0,(kRB)0,0,(RA。BA)2(解解:(1)(1)zzyxxydddttkR 2022d)(2)(2)的参数方程为的参数方程为kttzyRx 20:,0,ABzzyxxyddd ktt 20dBAzyx试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功.;,sin,cos)1(tkztRytRx )(222Rk 222k 其中其中 为为),(zxyF rdFW rdFW机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 -547.7.设曲线设曲线 C 为曲面为曲面2222azyx
34、与曲面与曲面axyx 22,)0,0(的交线的交线 az从从 ox 轴轴(1)(1)写出曲线写出曲线 C 的参数方程的参数方程 ；(2)(2)计算曲线积分计算曲线积分。zxyzxyCddd222 解解:(1)(1)222)2()2(ayax 222yxaz taaxcos22 taysin2 2sintaz 20:t机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 正向看去为逆时针方向。正向看去为逆时针方向。-55(2)(2)ta33sin8 tttad2cos)cos1(823 20 tu令令uuauacos2cos2sin82333 )d(2sin)cos1(823uuua 利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”0322auuudcos2cos1 34a 32sincos22att 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ，taaxcos22 ，taysin2，2sintaz 20:t。zxyzxyCddd222
