1、 第九章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值多元函数的极值多元函数的极值回顾：回顾：一元函数 y=f(x)的极值概念：1x 1x 1x2xxy0()yf x1(,)x U x 总有1()(),fxf x,1称为极小值点x ,)(1称为极小值xf1111(,)(,)xxxx（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（）（极值存在的必要条件）若 f(x)在极值点处可导，则导数一定为 0，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）设设0()0,fx存在，则有0()fx（1）如果0()0fx
2、0()f x（3）如果0()0fx，则为 f(x)的极小值；（2）如果0()0fx0()f x，则为 f(x)的极大值；，定理失效。定义定义：设 z=f(x,y)的定义域为 D，000(,)PxyD总有),(),(00yxfyxf总有是 D 的一个内点，则称),(00yxf是 f(x,y)的极大值；则称),(00yxf是 f(x,y)的极小值。),(),()1(0PUyx当若存在点 的一个去心邻域0P00()(,)|0|U PP x yPPD),(),()2(0PUyx当),(),(00yxfyxf 极大值和极小值统称为极值；一、一、多元函数的极值多元函数的极值 xyz例如:在点(0,0)有极
3、小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.2243yxz22zxy yxz xyzxyz 使函数取得极值的点称为极值点；同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念 极值点必是D 的内点；结论：结论：二元函数的极值点是其曲面在某个领域的最高（低）点问题：问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？0),(,0),(0000yxfyxfyx定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数，且在点(x0,y0)有极值，则有：证明:如果取y=y0，则函数f(x,y0)是x的一元函数 0),(,),(),(000000yxfyxfyxfxxx的极值是，时同理有0),
4、(00yxfy极值点的几何意义极值点的几何意义：若曲面z=f(x,y)在点 处有切平面，则切平面使函数的各偏导数同时为0的点，称为驻点.),(000zyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx成为平行于xoy坐标面的平面00 zz说明：具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。极值点也可能是偏导数不存在的点。极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生.例如,有驻点(0,0)yxz 例：例：22(,)1f x yyx解：解：20,xfx得驻点(0,0)(0,0)1,f,0,0时当xy2(,0)11f xx,0,0时当yx2(0,)11fyy(0,0)1,f
5、不是极值该函数无极值。)0,(x),0(yxy0(0,0)f(0,0)f20,yfy时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令 1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC则f(x,y)在(x0,y0)处取得极值的条件如下：问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？求极值的步骤求极值的步骤第一步 解方程组0),(0),(0000yxfyxfyx得
6、一切驻点;第二步 对所求的驻点),(00yx求出二阶偏导数),(),(00 00 yxfyxfxyxx、),(00 yxfyy和.),(00，是极大值还是极小值是否是定判由充分条件定理的符号，定出第三步yxf极值 ACB2例例1.1.求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 求二阶偏导数及判别求二阶偏导数及判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,
7、1(f,0Axyxyxyxf933),(2233在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2)处不是极值;6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC例例2.讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0,0(z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,
8、0)xyzo并且在(0,0)都有 02 BAC33yxz可能为0)()0,0()0,0(222yxz0422204222yyxxzzzyzzzx解解例例3 3令令0,0,xyzz代入上式，解得驻点为 得得,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 例例3 3解解,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,)(Pf为极小 值)(Pf为最小 值(大大)(大大)依据 求可微函数最大值和最小值的一般方
9、法：（1）求函数在 D 内的所有驻点；（2）求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上 的最大值，最小者就是最小值。在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点。把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,Acos2224xx x224(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大.)0,120:(2
10、xD为问怎样折法才能使断面面例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x解：解：sin24)sin2cos(sin2xxA20,120:xD得唯一驻点,3,8x,348)3,8(A（2）在 D 的边界上,120,2:xD,224)2,(2xxxA0424)2
11、,(xxAx,6 x72)2,6(A348所以当当,3,8时x断面的面积最大。x 0D把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,积最大.问怎样折法才能使断面面例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,解解xyo6 yxDD如图,222(,)2(4)0(,)(4)0 xyfx yxyxyx yfx yxxyx y)4(),(2yxyxyxf,2|64 xxy(4,2)64,f)4(),(2yxyxyxf xyo6 yxD解：设箱子的长、宽、高分别为x、y、z,容量为V，则V=xyz,设箱子的表面积为S，则 S=2(xy+yz+zx)例例6.要造一个容量一定的长方形箱子，问选择怎样的尺寸，才能使用的
12、材料最少？)(2yVxVyx ,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy解得唯一驻点),(33VV 根据实际问题可知S一定存在最小值，并一定在D 内部取得，所以当S 取得最小值，此时用料最省。3xyzV22222(1)2()0,(1)xxyx xyzxy22222(1)2()0,(1)yxyy xyzxy解解由111(,),222z111(,),222z 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数)
13、,(yxfz)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz例：例：求表面积为2a解：解：设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,体积为V ,则问题可描述为：求体积 Vxy z在约束条件22()xyyzzxa下的最大值22()xyy zz xa由解出222()ax yzxyzyxV 所以222x yax yxy转化为无条件极值问题。而体积为最大的长方体体积(1)若z=f(x,y)在 取得极值，则有),(00yx(1)0),(00yx(2)若在 的某一邻域内，f(x,y)与均有连续的一阶偏导数，而),(00yx),(yx0),(00yxy,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日
14、乘数法.),(的极值求函数yxfz 由隐函数存在定理可知，确定一个单值可导且具有连续导数的函数0),(yx),(xy.)(,xxfz得,0),(yxf将其代入 所以，z=f(x,y)在 取得所求的极值，即相当于函数 取得极值，由一元函数取得极值的必要条件,有),(00yx0)(,xxxxfz在0dd),(),(dd000000 xxyxxxxyyxfyxfxz而 ，用隐函数求导公式，有0),(yx),(),(dd00000yxyxxyyxxx(2)0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx代入上式得：(3)令)3(),(),(0000yxyxfyy由(1)、(2)、
15、(3)式得:为待定常数 0),(0),(),(0),(),(0000000000yxyxyxfyxyxfyyxx(2)0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx此即在此即在 取极值的必要条件取极值的必要条件处),(00yx（1）构造拉格朗日函数（Lagrange）：(,)(,)(,)L x yfxyxy 其中其中 为参数，称之为拉格朗日乘子（2）联解方程组，求出问题问题的所有可能的极值点。求函数 z=f(x,y)在约束条件 (x,y)=0 下的极值。(,)xLx y(,)(,)0 xxfx yx y(,)yLx y(,)(,)0yyfx yx y(,)Lx y(,)
16、0 xy （3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法：推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可能点.例如例如,求函数下的极值.在条件),(zyxfu,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F20F例例8.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水
17、箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz思考思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知,30Vzyx2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等.例例9 9：在椭球面12222zyx上，求距离平面62zyx的最近点和最远点。解：设(
18、x,y,z)为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为222)1(12|62|zyxd6|62|zyx问题问题1 1：在约束条件22221 0 xyz 下，求距离d的最大最小值。由于d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题问题1 1 转化为下面的等价问题：（1）作拉格朗日函数2222(,)(26)(21)L x y zx yzxyz 4(26)40 xLxyzx 2(26)20yLxyzy（2）联解方程组2(26)20zLxyzz222210Lxyz 求得两个驻点：1111(,),222M2111(,)222M对应的距离为11111|26|2226d 632 2463d问题问题2 2：在条件下，求
19、函数2(,)(26)f x y zx yz 的最大最小值。22221 0 xyz 例例9：在椭球面22221xyz上，求距离平面26xyz的最近点和最远点。解：解：问题1：在约束条件222210 xyz 下，求距离 d 的最大最小值。求得两个驻点：1111(,),222M2111(,)222M126,3d 对应的距离为246,3d（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以最近距离为最近距离为,6321 d最远距离为,6342 d解：解：例例10：求uxyz在条件1111xyza下的极值，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。（1）作拉格朗日函数1111(,)()L
20、x y zxyzxyza（2）联解方程组20,xLyzx20yLxzy20,zLxyz11110Lxyza 由对称性知，x=y=z，代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点3,xyza 例例10：求xyzu 在条件解：解：azyx1111 下的极值，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。这是唯一可能的极值点,azyx3 （3）判断：设条件1111xyza所确定的隐函数为(,),zx y代入目标函数中得(,),ux yx y它有唯一驻点(3 a,3 a),经计算可得(3,3)|6,xxaaAua(3,3)|3,x yaaBua(3,3)|6,y yaaCua,02722aBAC,06aA且所以，
21、(3a,3a)是函数 u=x y (x,y)的极小值点从而原条件极值问题有极小值点(3a,3a,3a)对应的极小值为327.ua解解可得即30ax 30by ，30cz 例例12 求坐标原点到曲线C：的最短距离。121222zyxzyx解：解：设曲线C上点（x,y,z）到坐标原点的距离为d，,2222zyxd)12()1()(),(222222zyxzyxzyxzyxFF设)5(012)4(01)3(022)2(022)1(0222222zyxFzyxFzzFyyFxxFzyx解得010 xyz 和和45350 xyz综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最
22、短距离，可知最短距离为1。另外，由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法,),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.),(y
23、xfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F提问提问解答解答已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为(x,y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103,0,0(21yx)0,0(14922yxyx则 ACABS2110321yx设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.)491()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646.1S,54,53yx2
24、,3.5,DESS点击图中任意点动画开始或暂停备用题备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组0cosx,得32zyx故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示提示:sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数目标函数:cos2cos22222dcdcbaba约束条件约束条件:dcba,abcd答案答案:,即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以高数A
