1、解：1、2)1()(limlim11xxfxxy12021x1)(xxf2、2)1(11)(limlimlim1211xxxxgxxx11)(2xxxg(1,2)从图象上看，在 处“连续”，在 处“间断”。1x1x)(xg)(xf2、，1、)1()(xxf11)(2xxxg引例 求下列函数在处的函数值和极限，并作出图象。1x2)1(f不存在)1(g图象：图象：yx01122(1,2)函数的连续性 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)为函数y的增量 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量
2、DxDyu 函数的增量 u 函数的改变量（增量）设有函数 ，在函数定义域内，当 从变到 时，函数 相应地从 变到 称为函数 在 处的改变量（增量）。)(xfy xxxD0y)(0 xf)(0 xxfD)()(00 xfxxfyDD)(xfy 0 x0 x 当变量 由初值 变到终值 时，称终值与初值的差 为变量 的改变量（增量），记为 ，即 x0 x1x01xx xD01xxxDx一、函数连续性的概念那么称函数 在点 处连续，点 称为函数 的 连续点。)(xf0 x0 x)(xf2、函数在一点处的连续性 定义 如果（1）函数 在 处及其近旁有定义；)(xfy 0 x（2）存在；)(lim0 xf
3、xx（3）)()(0lim0 xfxfxx提示:0lim0DDyx设xx0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此 设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续 0lim0DDyx 或0lim0DDyx 或)()(lim00 xfxfxx Dyf(x0Dx)f(x0)0lim0DDyx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 2、函数在一点处的连续性 讨论:如何用ed 语言叙述函数的连续性定义？e 0 d 0 当|xx0|d 有|f(x)f(x0)|e 提示:)()(lim00 xfxfxx
4、 设函数 yf(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 yf(x)在点x0处连续 0lim0DDyx 或0lim0DDyx 或)()(lim00 xfxfxx 2、函数在一点处的连续性 左连续与右连续结论 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续 如果)()(lim00 xfxfxx 则称 yf(x)在点0 x处左连续 如果)()(lim00 xfxfxx 则称 yf(x)在点0 x处右连续 设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续 0lim0DDyx 或0lim0DDyx 或)()(lim00 x
5、fxfxx 2、函数在一点处的连续性（2）函数的左连续、右连续：设函数 在 处 及其左（或右）近旁有定义，如果 （或 ），那么称函数 在 左连 续（或右连续）。)(xfy 0 x)()(0lim0 xfxfxx)()(0lim0 xfxfxx)(xf0 x（1）如果函数 在开区间 内每一点都连续，称函数 在 内连续。)(xf)(xf),(ba),(ba3、函数在区间上的连续性 如果 在开区间 内连续，且在右端点 处左连续，在左端点 处右连续，那么称函数 在闭区间 上连续。)(xf),(baba)(xf,ba连续函数的图象是一条连续不间断的曲线。函数 y=sin x 在区间(-+)内是连续的 这
6、是因为 函数y=sin x在(-+)内任意一点x处有定义 并且sin)sin(limlim00 xxxyxxDDDD0)2cos(2sin2lim0DDDxxxx 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续连续函数举例3、函数在区间上的连续性xD1例1、设 ，求适合下列条件的函数的改变量（增量）。（1）由1变到1.2 （2）由1变到0.8（3）由1变到xxx12)(2xxf（2）)1()8.0(ffyD)112(1)8.0(22272.0（3）)1()1(fxfyDD)112(1)1(222Dx解：（1）)1()2.1(ffyD)112(1)2.1(2228
7、8.02)(2)(4xxDD练习1、求函数 ，当 ，时的改变量。xxy2121x5.0Dx解：的初值为1，终值为1.5x)1()5.1(ffyD)211(5.121)5.1(22125.125.225.225.2例2 讨论函数 2,22,)(2xxxxxf在 处的连续性，并作出函数的图象。2x解：根据定义的三个步骤进行验证：（1）的定义域是 ，故 在 及其附近有定义，;)(xf),()(xf2x4)2(f（2）)(lim2xfx22limxx4)(lim2xfx)2(lim2xx4所以 4)(lim2xfx（3）)2()(lim2fxfx 因此 在 处连续。)(xf2xx041 2 3-1-2
8、123y 符合定义的三个步骤。在 处连续。例3 适当选取 的值，使函数a0,0,)1()(1xaxxxxfx0 x解：（1）的定义域是 ，在 及其附近有定义 。)(xf),(0 xaf)0(（2）)(lim0 xfxxxx10)1(lime)(lim0 xfx)(lim0axxa即 ，此时欲使 在 处连续，须有)(xf0 x)()(limlim00 xfxfxxea exfx)(lim0（3）)0()(lim0fxfx所以 时，在 处连续。ea)(xf0 x练习2 用定义讨论函数0,0,1)(xexxxfx在 处的连续性并作图。0 x解：由定义的三个步骤进行验证：（1）1)0(),(fx（2）
9、1)(,1)(000limlim_exfxfxx所以，1)(lim0 xfx（3）)1()(lim0fxfx函数 在 处连续。)(xf0 x1-1xy0二、函数的间断点 如果函数 在 处不连续，那么称函数 在 处是间断的，并称点 为函数 的间断点或不连续点。)(xfy 0 x)(xf0 x0 x)(xf 由函数 在 处连续的定义知，当函数有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。)(xf0 x)(xf)(xf0 x（1）在 近旁有定义，但在 处没有定义。0 xx 0 x（2）虽在 处有定义，但 不存在。0 x)(lim0 xfxx（3）虽在 处有定义，且 存在，但0 x)(lim0 xfxx)(
10、)(0lim0 xfxfxx定理1 基本初等函数在其定义域内都是连续的。通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点v间断点的类型注:.)(,)()(,)(lim0000的可去间断点为则称或有定义但无定义在点而若xfxAxf，xxfAxfxx不相等者称为跳跃间断点 注:.)(),(lim)(lim,)(0000的跳跃间断点为函数则称点但右极限都存在的左在点若函数xfxxfxfxxfxxxx无穷间断点和振
11、荡间断点显然是第二间断点（2）函数 在 处有定义，但 不存在。所以，是该函数的间断点。0,10,1)(xxxxxf0 x1)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx0 x例如：（1）函数 在 处无定义 所以 是该函数的间断点。24)(2xxxf2x2x2-22yx0)(xfy 1-1xy0(3)函数 ，在 处有定义，且 ，但所以 是该函数的间断点。1,211,)(xxxxf1x21)1(f1)(lim1xfx)1()(lim1fxfx1xxy12101间断点举例 例1 例例 1 正切函数 ytan x 在2 x处没有定义 所以点2 x是函数 tan x 的间断点 因为xxta
12、nlim2 故称2 x为函数 tan x 的无穷间断点 例例 2 函数xy1sin在点 x0 没有定义 例2 当x0时 函数值在1与1之间变动无限多次 所以点x0是函数的间断点 所以点x0称为函数的振荡间断点 间断点举例xy1sin所以点x1是函数的间断点 如果补充定义 令x1时y2 则所给函数在x1成为连续 所以x1称为该函数的可去间断点 例3 例例 3 函数112xxy在 x1 没有定义 因为11lim21xxx2)1(lim1xx 间断点举例112xxy所以x1是函数f(x)的间断点 如果改变函数f(x)在x1处的定义 令f(1)1 则函数在x1成为连续 所以x1也称为此函数的可去间断点
13、 例4 例例 4 设函数1 211 )(xxxxfy 因为1lim)(lim11xxfxx)1()(lim1fxfx 21)1(f 间断点举例 因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象 我们称x0为函数f(x)的跳跃间断点 例5 例例 5 设函数0 10 00 1)(xxxxxxf 所以极限)(lim0 xfx不存在 x0 是函数 f(x)的间断点 不存在 x0 是函数 f(x)的间断点 间断点举例 因为1)1(lim)(lim00 xxfxx 1)1(lim)(lim00 xxfxx )(lim)(lim00 xfxfxx 例4 已知函数 问函数 有无间断点。0,sin0,2)(2xxxxx
14、xf)(xf解：点 处可能间断，分三步验证。0 x（1）在 及其附近有定义，且)(xf0 x2)0(f（2）2)2()(200limlimxxfxxxxxfxxsin)(limlim001 不存在)(lim0 xfx所以，函数 在 处间断。)(xf0 x三、初等函数的连续性1、定理：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。2、由函数连续的定义，如果函数 在 处连续，有)(xf0 x)()(0lim0 xfxfxx3、分段函数只可能在分段点处间断。例5 求2221)1ln(2limxexxxx)2()(lim2fxfx22221)12ln(22e2255454ee解：设 因为 是初等函数，其定义域
15、为 ，而 根据初等函数连续性的定理 得到函数在 处连续，)(xf),1(),1(22x2221)1ln(2)(limxexxxfxx练习3 讨论下列函数在给定点处的连续性。（1）在 处0,0,)(xxxxxf0 x（2）在 处0,10,1)(xxxf0 x解：，Rx0)()(,0)0(limlim00 xfxffxx解：0)0(,fRx0)(,1)(limlim00 xfxfxx所以 ，在 处连续0)0()(lim0fxfx)(xf0 x所以，不存在，在 处间断。)(lim0 xfx0 x)(xf 求下列 函数的间断点（3）11)(2xxxf（4）1,11,11,1)(2xxxxxxf解：为初
16、等函数，在定义域内连续 ，定义域为 间断点为)(xf012x1x,1|Rxxx1x解：不是初等函数，分段点 且)(xf1x1)1(,fRx;0)(,0)(,0)(limlimlim111xfxfxfxxx因为 所以，在 处间断。)1()(lim1fxfx1x)(xf （5）求极限xexx1lim1解：初等函数在定义区间内连续，函数 定义域为 所以，xexfx1)(,1|Rxxx2)1(1lim1efxexx 小结小结(1),函数的连续性函数的连续性;(3),函数的间断点函数的间断点;(2),函数左连续与右连续函数左连续与右连续;(4),初等函数的连续性初等函数的连续性.作业作业 P73:2,3
17、,4,5,6,7.v定理1 (局部有界性)v定理2 (局部保号性)内有界在则连续在点若函数);()(,)(00dxUxfxxf).)()();(),;(),(0()(0)0)(0)(,)(0000000rxfrxfxUxxUxfrxfrxfxfxxf或有使得或则或且连续在点若函数dd一、连续函数的性质v定理3 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数 在点x0也连续 f(x)g(x)f(x)g(x)()(xgxf(当0)(0 xg时)例1 因为sin x和cos x都在区间()内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc
18、x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的(连续函数四则运算法则)v定理4 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数yarcsin x 在区间1 1上也是连续的 例2 例 2 由于 ysin x 在区间2,2上单调增加且连续 同样 yarccos x 在区间1 1上是连续的 yarctan x 在区间()内是连续的 yarccot x 在区间()内是连续的(反函数的连续性)反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义
19、域内都是连续的v定理4 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数yarcsin x 在区间1 1上也是连续的 例2 例 2 由于 ysin x 在区间2,2上单调增加且连续 (反函数的连续性)注:(1)把定理中的xx0换成x 可得类似的定理(2)定理的结论也可写成)(lim)(lim00 xgfxgfxxxx 提示:93lim23xxx61 函数uy在点61u连续 v定理5 例3 例 3 求93lim23xxx 解 93lim23xxx93lim23xxx61 解 设函数yfg
20、(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 gfDxU)(0 若0)lim0uxgxx 而函数 yf(u)在0u连续 则)()(lim)lim000ufufxgfuuxx 93lim23xxx93lim23xxx6193lim23xxx93lim23xxx61 932xxy是由uy与932xxu复合而成的(复合函数的连续性)设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x)在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfj(x)在点x0也连续v定理5 v定理5 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合
21、而成 gfDxU)(0 若0)lim0uxgxx 而函数 yf(u)在0u连续 则)()(lim)lim000ufufxgfuuxx(复合函数的连续性)(复合函数的连续性)sin u 当u时是连续的 例4 例例 4 讨论函数xy1sin的连续性 解解 函数xy1sin是由 ysin u 及xu1复合而成的 x1当x0 和 0 x0 f(1)2二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)0二、零点定理与介值定理v定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)0推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 v定理4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b)那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)C 小结小结(1),最大值与最小值定理最大值与最小值定理;(3),零点定理零点定理;(2),有界性定理有界性定理;(4),介值定理介值定理.作业作业 P81:9,10,12,13,14,15,17,18.
