1、27.1.327.1.3圆的认识圆的认识华师大版九年级下册华师大版九年级下册回回 忆忆1.什么叫圆心角什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。那么它们所对应的其余两个量都分别相等。探探 究究.OA问题：将圆心角顶点向上移，直至与问题：将圆心角顶点向上移，直至与 O相相交于点交于点C?观察得到的观察得到的ACB有什么
2、特征？有什么特征？C顶点在圆上顶点在圆上两边都与圆相交两边都与圆相交这样的角叫这样的角叫圆周角圆周角。B问题探讨：问题探讨：判断下列图形中所画的判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理是否为圆周角？并说明理由。由。PPPP不是不是是是不是不是不是不是顶点不顶点不在圆上。在圆上。顶点在圆上，顶点在圆上，两边和圆相两边和圆相交。交。两边不和两边不和圆相交。圆相交。有一边和圆有一边和圆不相交。不相交。 红烛课件网提供!类比圆心角类比圆心角 探知探知 圆周角圆周角 在在同圆同圆或或等圆等圆中中,同弧或等弧所对的同弧或等弧所对的圆心角圆心角相等相等.在在同圆同圆或或等圆等圆中中,同弧或等弧所对的同弧
3、或等弧所对的圆周角圆周角有什么有什么关系？关系？n 为了解决这个问题为了解决这个问题,我们先探究我们先探究同弧同弧所对的所对的圆周角圆周角和和圆心角圆心角之间有的关系之间有的关系.你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?1、分别量一量图、分别量一量图23.1.10中弧中弧AB所对的两所对的两个圆周角的度数比较一下个圆周角的度数比较一下.再变动点再变动点C在在圆周上的位置，看看圆周角的圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化度数有没有变化.你发你发现其中有什么规律吗？现其中有什么规律吗？图 23.1.10 2、分别量出图、分别量出图23.1.10中弧中弧AB所对的圆周角
4、和圆心角的度数，所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？比较一下，你发现什么？探究探究同同一条一条弧所对的圆周角和圆心角弧所对的圆周角和圆心角的关系的关系 红烛课件网提供!圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系n教师提示教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系注意圆心与圆周角的位置关系.图 23.1.11（1）折痕是圆周角的一条边，折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部折痕在圆周角的外部 为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点和圆周角的顶点C， 红
5、烛课件网提供!如图如图,观察圆周角观察圆周角ABC与圆心角与圆心角AOC,它们的大它们的大小有什么关系小有什么关系?说说你的想法说说你的想法,并与同伴交流并与同伴交流.OABCOABCOABC问题解决：问题解决：你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？你能证明你的发现你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度（即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半）数等于这条弧所对的圆心角的一半）吗？吗？ABCOABCOABCO 红烛课件网提供!圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 1 1.首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(O)(O)在在圆周
6、角圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系.nAOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，nAOC=B+A.AOC=B+A.nOA=OBOA=OB，OABCnA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC=AOC.ABC=AOC.21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗?同弧所对的同弧所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对的的圆心角的一半圆心角的一半.老师期望老师期望:你可要理你可要理解并掌握解并掌握这个模型这个模型 红烛课件网提供!如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结
7、果结果会怎样会怎样?2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部的内部时时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大的大小关系会怎样小关系会怎样?n老师提示老师提示:能否转化为能否转化为1 1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:O ABC=AOC.ABC=AOC.21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗?同弧所对的同弧所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对的的圆心角圆心角的一半的一半.ABCDnABD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,2121圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系OAB
8、C 红烛课件网提供!圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上,结果结果会怎样会怎样?3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外的外部时部时,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的的大小关系会怎样大小关系会怎样?n老师提示老师提示:能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得:O ABC=AOC.ABC=AOC.21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗?同弧所对的同弧所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对的的圆心角圆心角的一半的一半.DnA
9、BD=AOD,CBD=COD,ABD=AOD,CBD=COD,2121ABCOABC问题解决：问题解决：综上所述：我们得到：综上所述：我们得到：同弧所对的同弧所对的圆周角度圆周角度数数等于这条弧所对的等于这条弧所对的圆心角的一半圆心角的一半ABCOABCOABCO圆周角定理：在同圆或等圆中在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。都等于这条弧所对的圆心角的一半。练习：练习：如图，点如图，点A、B、C、D在同一个圆上，在同一个圆上，四边形四边形ABCD的对角线把的对角线把4个内角分成个内角分成8个角，个角，这些角中哪些是相等的角？这些角中哪些是相
10、等的角？D12345678ABC14273658解：解： 红烛课件网提供!BOADC如图所示，如图所示，ADB、ACB、AOB 分别是什么角？分别是什么角？它们它们 有何共同点？有何共同点？ADB与与ACB有什么关系？有什么关系？同弧同弧 所对的圆周角相等所对的圆周角相等.(等弧等弧)思考思考:相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等吗吗?在同圆或等圆中在同圆或等圆中都等于都等于这条弧所对的圆心角的一半这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理圆周角定理:结论：结论：图 23.1.10 ACB=；ADB=；=.如图：则有如图：则有AOB21AOB21ACBADB 在同圆或等圆中，同弧或等弧所
11、对在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。相等。练习一：练习一：BAO.70 x1.求圆中角求圆中角X的度数。的度数。AO.X1202、如图，在直径为如图，在直径为AB的半的半圆中，圆中，O为圆心，为圆心，C、D为半为半圆上的两点，圆上的两点，COD=500，则则CAD=_3512025例例1.如图：如图：OA、OB、OC都是都是 O的的半径，半径，AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.证明：证明：ACB=AOB12BAC=BOC12AOB=2BOCAOBCAC
12、B=2BAC分析：分析：练习：练习：1.如图，已知圆心角如图，已知圆心角AOB的度的度数为数为100，求圆周角，求圆周角ACB的度的度数。数。OABC答案：答案：1302.一条弦所对的圆心角为80度，它所对的圆周角是多少度？答案：答案：40或或 140练习二：练习二：如图，如图，P是是ABC的外接圆上的一点的外接圆上的一点APC=CPB=60。求证：。求证：ABC是等是等边三角形。边三角形。APBCO证明：证明：ABC和和APC 都是都是 所对的圆周角。所对的圆周角。ACABC=APC=60(同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）同理，同理，BAC和和CPB都是都是 所对所对的圆周角，的圆周角，BC BAC=CPB=60。ABC等边三角形。等边三角形。
