1、圆的有关性质31.1.1 31.1.1 圆圆31.1.2 31.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径31.1.3 31.1.3 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角31.1.4 31.1.4 圆周角圆周角我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了大约我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了大约在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子子圆的木轮很早之前，人们将圆的木轮固定在木圆的木轮很早之前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样就成了最初的车子架上，这样就成了最初的车子2000多年前多年前，墨子给，墨子给出圆的定义出圆的定义“一中同长也一中同长也”，意思是说，
2、圆有一个圆心，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等这个定义比古希腊数学家欧几圆心到圆周的长都相等这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年里得给圆下的定义要早很多年31.1.1 圆圆如图，在一个平面内，线段如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端绕它固定的一个端点点 O 旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做所形成的图形叫做圆圆rOA固定的端点固定的端点 O 叫做叫做圆心圆心；线段线段 OA 叫做叫做半径半径；以点以点 O 为圆心的圆，记作为圆心的圆，记作O，读作，读作“圆圆O”圆的概念圆的概念同心圆同心圆等圆等圆圆心相同，半径不同圆心相同，半
3、径不同确定一个圆的两个确定一个圆的两个要素：要素：一是一是圆心圆心，二是二是半径半径半径相同，圆心不同半径相同，圆心不同O动态动态：在一个平面内，线段：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端绕它固定的一个端点点 O 旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做所形成的图形叫做圆圆静态静态：圆心为：圆心为 O、半径为、半径为 r 的圆可以看成是所有到的圆可以看成是所有到定点定点 O 的距离等于定长的距离等于定长 r 的的点的集合点的集合经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径，如图中的如图中的 AB连接圆上任意两点的线段叫做连接圆上任意两点的线段叫做弦弦，如图，如图中的中的
4、 AC与与圆有关的概念圆有关的概念弦弦COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做一条弧都叫做半圆半圆COAB弧弧圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧以以 A、B 为端点的弧记作为端点的弧记作 ，读作，读作“圆弧圆弧 AB”或或“弧弧 AB”AB与与圆有关的概念圆有关的概念劣弧与优弧劣弧与优弧小于半圆的弧（如图中的小于半圆的弧（如图中的 ）叫做）叫做劣弧劣弧AC大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做叫做优弧优弧ABCCOAB与与圆有关的概念圆有关的概
5、念在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧等弧等弧1.判断判断下列说法的正误：下列说法的正误：（1）弦是直径；）弦是直径；（2）半圆是弧；）半圆是弧；（3）过圆心的线段是直径；）过圆心的线段是直径；（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；（4）半圆是最长的弧；）半圆是最长的弧；（6）半径相等的两个半圆是等弧）半径相等的两个半圆是等弧如图，如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦
6、的距离）为拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥，求赵州桥主桥拱的半径（精确到拱的半径（精确到 0.1 m）31.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条对的两条弧弧DOCAEB知二推三知二推三下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图图1图图2图图3图图4OAEBDOCAEBACDBO如图，已知在两同心圆如图，已知在两同心圆 O 中，大圆弦中，大圆弦 AB 交小圆交小圆于于 C，D，则，则 AC 与与 BD 间可
7、能存在什么关系？间可能存在什么关系？DOCAB变式变式1 如图，若将如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？还成立吗？DOCAB变式变式2 如图，连接如图，连接 OA，OB，设，设 AO=BO，求证：求证：AC=BDDOCAB变式变式3 连接连接 OC，OD，设，设 OC=OD，求证：求证：AC=BDDOCAB内容：内容：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧对的两条弧构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心
8、距等问题的方法是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线重要思路：（由）垂径定理重要思路：（由）垂径定理构造直角三角形构造直角三角形（结合）勾股定理（结合）勾股定理建立方程建立方程归纳归纳小结小结 教学目标教学目标：1.了解了解圆心角的概念；圆心角的概念；2.掌握掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等其余各组量也相等 教学重点教学重点：同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系同圆或等圆中弧、弦
9、、圆心角之间的关系31.1.3 弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角思考思考圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆是中心对称图形，圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心，它的对称中心是圆心，它具有旋转它具有旋转不变性不变性N把圆把圆 O 的半径的半径 ON 绕圆心绕圆心 O 旋转任意一个角度旋转任意一个角度15O性质性质把圆把圆 O 的半径的半径 ON 绕圆心绕圆心 O 旋转任意一个角度旋转任意一个角度NO15N30性质性质把圆把圆 O 的半径的半径 ON 绕圆心绕圆心 O 旋转任意一个角度旋转任意一个角度NO30N60性质性质把圆把圆 O 的半径的半径 ON
10、 绕圆心绕圆心 O 旋转任意一个角度旋转任意一个角度NO60Nn性质性质把圆把圆 O 的半径的半径 ON 绕圆心绕圆心 O 旋转任意一个角度旋转任意一个角度NOnN由此可以看出，由此可以看出，点点 N仍落在圆上仍落在圆上性质性质把圆把圆 O 的半径的半径 ON 绕圆心绕圆心 O 旋转任意一个角度旋转任意一个角度性质性质NOnN性质：性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合的圆重合把圆把圆 O 的半径的半径 ON 绕圆心绕圆心 O 旋转任意一个角度旋转任意一个角度性质性质NOnN我们把顶点在圆心的角叫做我们把顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角如如NO
11、NNON是是圆圆 O O 的一个圆心角的一个圆心角把圆心角等分成把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是份，则每一份的圆心角是 1，同时整个圆也被分成了同时整个圆也被分成了 360 份份则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做 1的弧的弧1的圆心角对着的圆心角对着 1的弧，的弧，1的弧对着的弧对着 1的的圆心角圆心角n的圆心角对着的圆心角对着 n的弧，的弧，n的弧对着的弧对着 n的的圆心角圆心角性质：性质：弧的度数和它所对圆弧的度数和它所对圆心角的度数心角的度数相等相等性质性质这样，这样，1的弧的弧1n的弧的弧n探究探究如图，将圆心角如图，将圆心角AOB 绕圆心绕圆心 O 旋转到旋转到A
12、 OB 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？AOB=A OBABOBAAB=A B AB=A B同样，还可以得到：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角等，那么它们所对的圆心角_，所对的弦所对的弦_；在同圆或等圆中，如果两条弦相在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角等，那么它们所对的圆心角_，所对的弧所对的弧_这样，我们就得到下面的定理：这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等对的弦也相等 相等
13、相等相等相等相等相等相等相等定理定理同圆或等圆同圆或等圆中，两个圆心角、中，两个圆心角、两条弧、两条弦两条弧、两条弦中有一组量相等，中有一组量相等，它们所对应的其它们所对应的其余各组量也相等余各组量也相等因为因为 AB=CD，所以，所以AOB=COD又因为又因为 AO=CO，BO=DO，所以所以AOB COD又因为又因为 OE 、OF 是是 AB 与与 CD 对应边上的高，对应边上的高，所以所以 OE=OF巩固巩固AOB=CODAB=CD如图，如图，AB、CD 是是 O 的两条弦：的两条弦：（1）如果）如果 AB=CD，那么，那么_，_；（2）如果）如果 =，那么，那么_，_；（3）如果）如果
14、AOB=COD，那么，那么_，_；（4）如果）如果 AB=CD，OEAB 于于 E，OFCD 于于 F，OE 与与 OF 相等吗？为什么？相等吗？为什么？AB CDAB=CDAB=CDAOB=CODAB=CD相等相等ABCDEFOAB=AC，ABC 等腰三角形等腰三角形又又ACB=60，ABC 是等边三角形，是等边三角形，AB=BC=CAAOB=BOC=AOC例题例题例例1如图，在如图，在 O 中，中，=，ACB=60求证：求证：AOB=BOC=AOCAB AC证明：证明：AB AC =ABCO例例2 如图，如图，AB 是是 O 的直径，的直径，=，COD=35，求，求AOE 的度数的度数AO
15、BCDE解：解：CDBCDEBOC=COD=DOE=35AOE=180-335=75CDBCDE=例题例题（1）本节课学习了哪些内容？）本节课学习了哪些内容？（2）圆心角、弧、弦之间有哪些关系？）圆心角、弧、弦之间有哪些关系？课堂课堂小结小结 教学目标教学目标：1.了解了解并证明圆周角定理及其推论；并证明圆周角定理及其推论；2.经历经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之 间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的 思想方法思想方法 教学重点教学重点：圆周角定理圆周角定理31.1.4 圆周角圆周角 思考思考和练习
16、和练习图中图中ACB 的顶点和边有哪些特点？的顶点和边有哪些特点？AOBC顶点顶点在圆上，并且在圆上，并且两边两边都和圆相交的角叫圆周角都和圆相交的角叫圆周角如：如：ACB图中图中ACB 和和AOB 有怎样的关系？有怎样的关系？探究探究BCOAAOBACB21探究探究BCOABCOA（1）在圆上任取）在圆上任取 ，画出圆心角，画出圆心角BOC 和圆周角和圆周角BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？，圆心角与圆周角有几种位置关系？BCBCOA（2）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？所对的圆心角的一半？证明证明猜想猜想BCOAOA=O
17、C，A=C又又BOC=A+C，BOCBAC21我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学们完成证明们完成证明（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？所对的圆心角的一半？D证明证明猜想猜想BCOA证明：如图，连接证明：如图，连接 AO 并延长交并延长交 O 于点于点 DOA=OB，BAD=B又又BOD=BAD+B，BODBAD21CODCAD21同理，同理，BOCCADBADBAC21证明证明猜想猜想 圆周角定理：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等
18、于它所对的圆心角的一半思考：思考：一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等探究探究ADBCO思考：思考：半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？半圆（或直径）所对的圆周角是直角，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周的圆周角所对的弦是直径角所对的弦是直径探究探究C1AOBC2C3如图，如图，O 的直径的直径 AB 为为 10 cm，弦，弦 AC 为为 6 cm，ACB 的平分线交的平分线交 O 于点于点 D，求，求 BC，AD，BD 的长的长应用应用解：连接解：连接 OD，AD，BD，ACBDO22ACAB 22610 AB 是是 O 的直径，的直径，ACB=ADB=90在在 RtABC 中，中，BC=8（cm）如图，如图，O 的直径的直径 AB 为为 10 cm，弦，弦 AC 为为 6 cm，ACB 的平分线交的平分线交 O 于点于点 D，求，求 BC，AD，BD 的长的长应用应用ACBDOCD 平分平分 ACB，ACD=BCD，AOD=BOD AD=BD 在在 RtABD 中，中，AD2+BD2=AB2，AD=BD=AB22=（cm）25谢 谢
