1、第七节第七节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程设空间曲线的方程 )1()()()(tzztyytxx(1)(1)式中的三个函数均可导。式中的三个函数均可导。;),(0000ttzyxM 对应于对应于设设.),(0000tttzzyyxxM 对应于对应于MM xzyoMM zzzyyyxxx 000的方程为的方程为割线割线MM xyozt 上式分母同除以上式分母同除以t t t,000zzzyyyxxx ,0,时时即即当当 tMM处的切线方程处的切线方程曲线在曲线在M.)()()(000000tzzztyyy
2、txxx 切向量：切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量。切线的方向向量称为曲线的切向量。法平面：法平面：过切点且与切线垂直的平面。过切点且与切线垂直的平面。)(),(),(000tztytx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx1 1、空间曲线方程为、空间曲线方程为 ,)()(xzzxyy,),(000处处在在zyxM;)()(100000 xzzzxyyyxx .0)()()(00000 zzxzyyxyxx法平面方程法平面方程为为 特殊地：特殊地：切线方程切线方程为为 )(),(,1(00tzty 切向量切向量2 2、空间曲线方程为、空间曲线方程为 ,0),(0),(zy
3、xGzyxF切线切线和和法平面方程法平面方程分别为分别为 ,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx .0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy,),(000处处在在zyxM),(000zyxzyxzyxGGGFFFkji 切向量切向量.01,cossin2,cos:30处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程在在求曲线求曲线 tezttyuduexttu例例1 1、例例2 2、.42,32 zyxtztytx点的切线平行于平面点的切线平行于平面使在该使在该上的点上的点求曲线求曲线例例3 3、.)1,2,1(2,4
4、22处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程在点在点求曲线求曲线xzxy 例例4 4、.)1,2,1(6,0222处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程点点在在求曲线求曲线 zyxzyx二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 设曲面方程为设曲面方程为 0),(:zyxFnTM,)()()(:tzztyytxx的曲线的曲线通过通过在曲线上任取一条在曲线上任取一条M),(),(),(000tztytx 处的切向量处的切向量曲线在曲线在M0)(),(),(),(tztytxFzyxF所以所以上上恒在恒在因为因为,有有处求导处求导对上式两边在对上式两边在,)(0ttM(*)0)(),()(),
5、()(),(000000000000 tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 记记.0(*)n式即为式即为.,的切平面的切平面个平面称为曲面在点个平面称为曲面在点这这的切线都在同一平面上的切线都在同一平面上的一切曲线在点的一切曲线在点故曲面上通过故曲面上通过垂直垂直处的切线都与同一向量处的切线都与同一向量它们在它们在的任意一条曲线的任意一条曲线由于曲线是曲面上过由于曲线是曲面上过MMMnMM切平面方程切平面方程为为 0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程法线方
6、程为为 ),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量法向量。.),(000称为曲面在该点的法线称为曲面在该点的法线而垂直于切平面的直线而垂直于切平面的直线通过通过zyxM处的法向量为处的法向量为曲面在曲面在M特殊地：空间曲面方程为特殊地：空间曲面方程为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方
7、程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令则则)1),(),(0000 yxfyxfnyx参数方程的情形：参数方程的情形：),(),(),(:vuzzvuyyvuxx),(00vuvvvuuuzyxzyxkjin 法向量为法向量为 ,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx),(00yxffyy 其中其中为为可得法向量的方向余弦可得法向量的方向余弦角为锐角时角为锐角时轴正向所成轴正向所成即与即与当法向量的方向向上当法向量的方向向上,z例例5 5、.)0,2,1(32切平面及法
8、线方程切平面及法线方程处的处的在点在点求曲面求曲面 xyezz例例6 6、.)4,1,2(122切平面及法线方程切平面及法线方程处的处的在点在点求曲面求曲面 yxz例例7 7、.0642132222的各切平面方程的各切平面方程平行于平面平行于平面求曲面求曲面 zyxzyx例例8 8、.)22,21,21(cossinsincossin处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程在点在点求曲面求曲面Mzyx 例例9 9、.:截距之和为常数截距之和为常数切平面在各坐标轴上的切平面在各坐标轴上的上任何点处的上任何点处的曲面曲面证明证明azyx 三、等量面与等高线三、等量面与等高线 等量面等量面：Czyx
9、F),(:),(),(000的等量面方程为的等量面方程为过点过点函数函数zyxMzyxF),(),(000zyxFzyxF 等高线（等量线）：等高线（等量线）：CyxF),(.),(面上的投影曲线面上的投影曲线的交线在的交线在与平面与平面它表示曲面它表示曲面xoyCzyxFz .)(点的法向量点的法向量的等量面在的等量面在表示过表示过MMMF 如图，梯度为等高线上的法向如图，梯度为等高线上的法向量并指向等高线的高值方向。量并指向等高线的高值方向。oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线 ),(yxgradf梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量 P答案：答案：),
10、(),(yxFFyxF yxFFdxdy?),(),(系系处的梯度与斜率有何关处的梯度与斜率有何关上点上点等高线等高线yxCyxF 练练 习习 题题 .86,)1,1,1(632.2.85222 0523.12222222的方向导数的方向导数处沿方向处沿方向在点在点求函数求函数法向量法向量处的指向外侧的处的指向外侧的在点在点是曲面是曲面设设相切之切平面方程相切之切平面方程且与曲面且与曲面求过直线求过直线 nPzyxuPzyxnzyxzyxzyxL作业作业习题习题6-76-7：1 1（2 2）（）（4 4）、）、2 2（2 2）（）（3 3）（）（4 4）、）、4 4、8 8.:.5.,)5,2,1(030.4.0222.32323232322222aazyxbayxzzayxbyxzyxyxz距平方和等于常数距平方和等于常数切平面在各坐标轴上截切平面在各坐标轴上截上任意一点处的上任意一点处的曲面曲面试证试证之值之值求求的平面上的平面上相切于点相切于点在与曲面在与曲面设直线设直线的切平面方程的切平面方程平行于平面平行于平面求曲面求曲面
