1、天体力学基础天体力学基础第三章第三章限制性三体问题限制性三体问题Bernoulli移位移位(shift)我们给出一映射：我们给出一映射：nnxx21（mod 1)111/21nxnxmnxnx2-m若初值误差为若初值误差为2-m,则经过则经过m次映射后，误差放大到次映射后，误差放大到1，即我们已，即我们已经不能判断加了误差的初始值，经不能判断加了误差的初始值，m次映射后轨道位于何处！次映射后轨道位于何处！(1)混沌的概念混沌的概念3.6 限制性三体问题中的混沌运动限制性三体问题中的混沌运动将初始值将初始值x0转化成二进制表示：转化成二进制表示：132102.0jjjaaaax则：则：.0432
2、1aaax.05432aaax 一次相当于映射于一次移位，故称为一次相当于映射于一次移位，故称为Bernoulli移位，在该移位，在该映射下，第映射下，第n位有效位数经过位有效位数经过n次映射后被掩盖了。这是映次映射后被掩盖了。这是映射中射中轨道对初值敏感性轨道对初值敏感性的体现。这样的轨道，如果不是周的体现。这样的轨道，如果不是周期轨道，称为期轨道，称为混沌轨道混沌轨道（这里都是有界轨道）。（这里都是有界轨道）。3.6 限制性三体问题中的混沌运动限制性三体问题中的混沌运动混沌系统的例子混沌系统的例子83Lorenz101028xxyyxyxzzzxy 系统：简化的大气模型简化的大气模型耗散系
3、统耗散系统 ，奇异吸引子，奇异吸引子初值敏感性蝴蝶效应初值敏感性蝴蝶效应3.6 限制性三体问题中的混沌运动限制性三体问题中的混沌运动1Logist Map:(1)nnnxxxx3.6 限制性三体问题中的混沌运动限制性三体问题中的混沌运动1212121,1,1,1,2mmam mnm mGT 质量单位长度单位时间单位此时2212222122222222J12211,2,1.Jacobi221111.222xyxyxyzmxyrrrxyzrxyzzzxyzxyCrr 以圆型限制性三体问题为例,介绍混沌现象.圆型限制性三体问题中的运动方程为：其中该运动方程存在积分：如果仅讨论平面模型,因此可将上式中
4、关于 的项舍去.3.6 限制性三体问题中的混沌运动限制性三体问题中的混沌运动J.Jacobi,Poi,0,ncare0CCyy讨论平面模型,系统是二自由度的,因此其相空间是四维的因为存在积分 可利用它定义截面：3,10此处及以后 都取对应太阳-木星-小天体这样的三体系统.3.6 限制性三体问题中的混沌运动限制性三体问题中的混沌运动1.周期轨道周期轨道J0003.12,0.2693,0,0Cxyx3.6.1 轨道分类轨道分类2.拟周期轨道：不变环面拟周期轨道：不变环面J0003.12,0.29,0,0Cxyx3.6.1 轨道分类轨道分类2.拟周期轨道：周期岛屿拟周期轨道：周期岛屿J0003.12
5、,0.26,0,0Cxyx3.6.1 轨道分类轨道分类3.混沌轨道混沌轨道J0003.06,0.29,0,0Cxyx3.6.1 轨道分类轨道分类3.混沌轨道混沌轨道:对初值的敏感性依赖对初值的敏感性依赖J000J0003.12,0.29,0,03.06,0.29,0,0CxyxCxyx3.6.1 轨道分类轨道分类 00000.LyapuLnoln,limliyamnvpu ov.tttx x txtx efxf xtxtx初始值的微小偏差在系统演化过程中随时间指数增长:称为最大而系统这样的行为称为.指数可以通过同时计算动力系统和轨道附近的变分方程系统获得.指数混沌 0t 1t 2t 3t3.6.2 Lyapunov指数指数
