1、1一、微元法一、微元法二、平面图形的面积二、平面图形的面积第六节第六节 定积分的几何应用定积分的几何应用三、旋转体的体积三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的四、平行截面面积已知的 立体的体积立体的体积2回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、定积分的元素法一、定积分的元素法曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 3面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下iiixfA )(iix （3）求和求和，得，得A的近似值的近似值.)(1iin
2、ixfA （4）取极限取极限，得，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(4ab xyo)(xfy 提示提示 若若用用A 表表示示任任一一小小区区间间,xxx 上上的的窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积，则则 AA，并并取取dxxfA)(，于于是是 dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxx dA面积元素面积元素5当当所所求求量量U符符合合下下列列条条件件：（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部
3、分分区区间间，则则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf)(；就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量U6元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间为积分变量，并确定它的变化区间,ba；2)设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任 一一小小区区间间并并记记为为,dxxx，求求出出相相应应于于这这 小小区区间间的的部部分分量量U 的
4、的近近似似值值.如如果果U 能能近近 似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的 值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U 的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU)(；73)以所求量以所求量U的元素的元素dxxf)(为被积表达式，在为被积表达式，在 区间区间,ba上作定积分，得上作定积分，得 badxxfU)(，即，即 为所求量为所求量U的积分表达式的积分表达式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积，体积。平面图形的面积，体积。经济应用。其他应用。经济应用。其他应用。8二、平面图形的面积
5、二、平面图形的面积,d)(dxxfS 面积微元面积微元:(1)由连续曲线由连续曲线 y=f(x)(f(x)0),直线直线 x=a,x=b(ab)及及x轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积)(xfy byoxaxxxd baxxfSd)(面积面积9若若f(x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为.d|)(|baxxfS)(xfy|)(|xfy xyoab10，若若)()(xgxf xyoab)(xfy)(xgy baxxgxfSd)()(xxxd,d)()(dxxgxfS 面积元素面积元素:(2)由连续曲线由连续曲线 y=f(x),y=g(x),直线直线 x=a,x=b
6、(ab)所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积:11cxyoab)(xfy)(xgy baxxgxfSd|)()(|一般地，一般地，12 dcyySd|)(|(3 3)由由曲曲线线0)(yx、直直线线)(,dcdycy dcxyo)(yx 及及y轴轴围成的平面图形的面积为围成的平面图形的面积为.d)(dcyyS)(yx xyodc一般地，一般地，yyyd 13 dcyyySd|)()(|(4 4)由由曲曲线线)(yx 、)(yx 直直线线)(,dcdycy 及及y轴轴围成的平面图形的面积为：围成的平面图形的面积为：,)()(yy 若若.d)()(dcyyyS dcxyo)(yx )(yx
7、 dcxyo)(yx )(yx 一般地，一般地，14计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解先求两曲线的交点先求两曲线的交点)1,1()0,0(选选x为积分变量为积分变量,1,0 xxxxSd)(210 103)332(23xx .31 例例1 1 2xy xyoxy 2111522xy 211xy 例例2 2 求曲线求曲线22xy ,211xy 与直线与直线3 x所所 围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积.xoy33 1 1解解 由对称性由对称性,1022d)211(2xxxS.3233 交点交点,1 x 3122d)112(2xxx
8、16求求椭椭圆圆12222 byax所所围围的的面面积积.解解,122axby 由对称性知由对称性知,d14022 axaxbSttabSdsin4202 .ab 例例3 3 xyoab总面积等于第一象限部分总面积等于第一象限部分面积的面积的4倍倍,sin tax 令令2214 ab 的奇数的奇数为大于为大于为正偶数为正偶数1 ,3254231 ,22143231dsin20nnnnnnnnnnxxn 17计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy 20d)2(2xxxS例例4 4
9、82d)4(2xxx)2,2(xy22 xyo4 xy)4,8(此法麻烦。此法麻烦。18此题选此题选 y 为积分变量比较好为积分变量比较好,422d)24(yyyS.18 8220d)4(2d)2(2xxxxxxS选择积分变量的原则：选择积分变量的原则：(1)(1)积分容易；积分容易；(2)(2)尽量少分块尽量少分块.xyo4 xyxy22)2,2()4,8(42 4 yx22yx 19?,10,102和最小和最小图中两阴影部分的面积图中两阴影部分的面积为何值时为何值时当当一点一点上的任上的任是区间是区间上上定义在定义在设设，ttxxy 21SSS 解解例例5 5 122022d)(d)(tt
10、xtxxxt12303233ttxtxxxt ，313423 tt，令令0)12(224 2 ttttS10 t，得驻点得驻点21,0:tt.21时时两两面面积积和和最最小小经经比比较较，当当 ty=x2t12t11S2Sxyo20 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1 1、旋转体的体积、旋转体的体积二、立体的体积二、立体的体积21一般地一般地,如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及 x 轴所围成的曲边梯形绕
11、轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？轴旋转一周而成的立体，体积为多少？abox y)(xfy xxxd 2)()(xfxA 体积微元体积微元:xxfVd)(d2 旋转体的体积为旋转体的体积为 baxxfVd)(2 22连接坐标原点连接坐标原点 O 及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形 将它绕轴围成一个直角三角形 将它绕x轴轴旋转构成一个底半径为旋转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体，的圆锥体，计算圆锥体的体积计算圆锥体的体积 xhry yrhPxo直线直线OP的方程为的方程为解解例例7 7 hxxhrV02d)(.312hr
12、23xyzo求求椭椭圆圆12222 byax绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体(称称旋旋转转椭椭球球体体)体体积积.例例8 8 x yOab22xaaby 解解 axaxbV0222d)1(2.342ba 特特别别,ba 时时,得得到到球球体体的的体体积积为为334R.24求圆求圆)0()(222 ababyx绕绕x轴旋转轴旋转而成的旋转体体积而成的旋转体体积.例例9 9 解解 aaxxabVd)(222 axxab022d8.222ba aaxxabd)(222 xy利用圆面积利用圆面积xyoa22xaby 22xaby a 2418ab 25 类类似似地地,如如果果旋旋转转体体是是
13、由由连连续续曲曲线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为 dcyyyVd)(2 x y)(yx cdox ydc26求求由由抛抛物物线线22xy ,直直线线1 x及及x轴轴所所围围图图形形,绕绕x轴轴及及y轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积.例例1010 解解 1022d)2(xxVx.54 yV.下面再介绍一个新方法下面再介绍一个新方法.22xy 12xyo212 20d2yy 2yx 27ox yab)(xfy 套筒法套筒法:由由平平面面图图形形)(0,0 xfybxa 绕绕y
14、轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积为为 bayxxxfVd)(2 体积微元体积微元:yVdx 2)(xfxd28 102d22xxxVy 上例上例:ox yab)(xfy bayxxxfVd)(2 22xy 12xyo.29求由曲线求由曲线)2)(1(xxy和和x轴所围平面图轴所围平面图形绕形绕y轴旋转一周而成的旋转体体积轴旋转一周而成的旋转体体积.由由平平面面图图形形,0bxa 0)(yxf绕绕y轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积为为 例例1111 解解“套筒法套筒法”推广：推广：bayxxxfVd)(2.2 ox yab)(xfy 21d)2)(1(2xxxxV
15、y xyo1230解解求曲线求曲线xysin),0(x与与 x 轴所围平面图轴所围平面图形绕形绕 x 轴和轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积.02dsinxxVx例例1212 xyo xysin 2212 .22 2/00d)(sin2d)(sin xxfxxf 的奇数的奇数为大于为大于为正偶数为正偶数1 ,3254231 ,22143231dsin20nnnnnnnnnnxxn 31 0dsin2xxxVy解解求曲线求曲线xysin),0(x与与 x 轴所围平面图轴所围平面图形绕形绕 x 轴和轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积.02dsinxxVx例例
16、1212 xyo xysin 2212 .22 ，00d)(sin2d)(sinxxfxxxf 0dsin22xx222 .22 32xoy1D2解解过过点点)0,1(P作作抛抛物物线线2 xy的的切切线线，该该切切线线与与上上述述抛抛物物线线及及x轴轴围围成成一一平平面面图图形形，求求此此平平面面图图形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周所所成成旋旋转转体体的的体体积积。设设切切点点为为)2,(00 xx，切切线线斜斜率率为为 2210 x,10200 xx,3 0 x 322d)2()13(131 xxVx .6232 3)1,3(例例1313 圆锥体积圆锥体积33设设1D是是由由22xy ，ax
17、 ，2 x及及0 y所所围围成成的的平平面面区区域域；2D是是由由22xy ，ax 及及0 y所所围围成成的的平平面面区区域域，其其中中20 a，(1 1)求求1D绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积1V；2D绕绕y轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积2V；(2 2)问问当当a为为何何值值时时，21VV 取取得得最最大大值值？试试求求此此最最大大值值。解解(1)(1)241d4axxV axxxV022d22,)32(545a .4a 例例1414 y2xa1D2Do22xy 34解解(1)(1)241d4axxV axxxV022d22,)32(545a .4a (2)
18、(2),)(5451284521afaaVV ，令令0)1(444)(334aaaaaf ，1 a导数左正右负导数左正右负，最最大大值值 5129)1(f。为为极极大值点，大值点，即即为为最最大值点，大值点，35.d)(baxxSV二、立体的体积二、立体的体积一一个个立立体体,夹夹在在平平面面ax 和和bx 之之间间,被被垂垂直直于于x轴轴的的平平面面所所截截的的截截面面积积为为)(xS,则则该该立立体体的的体体积积为为 xx x+dxS(x)ab*2 2、已知平行截面面积求立体的体积、已知平行截面面积求立体的体积36一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中的圆柱体的底圆中心心,
19、并与底面交成角并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所计算这平面截圆柱体所得立体的体积得立体的体积.RR xyo解解 建立坐标系如图建立坐标系如图,x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 所以立体体积所以立体体积xxRVRRdtan)(2122 .tan323 R 例例6 6垂直于垂直于 x 轴的截面为直角轴的截面为直角三角形三角形,37解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 38三、定积分在经济学中的简
20、单应用三、定积分在经济学中的简单应用)0(d)()(0CQQCQCQ 边边际际成成本本为为)(QC，边边际际收收益益为为)(QR，设总成本函数为设总成本函数为C=C(Q)，总收益函数为总收益函数为R=R(Q)，其中其中Q为产量为产量，则总成本函数为则总成本函数为则总收益函数为则总收益函数为)0(d)()(0RQQRQRQ 0所以总利润函数为所以总利润函数为00d)()()(CQQCQRQLQ 0C称为固定成本称为固定成本39 某商品每周产量为某商品每周产量为Q，固定成本为固定成本为200200元，成本元，成本函数变化率为函数变化率为 例例1515 解解，124.0)(QQC求成本函数。求成本函
21、数。如果该商品的销售单价为如果该商品的销售单价为2020元，且假设产品可以全部元，且假设产品可以全部售出，求利润函数售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可并问每周产量为多少时，可获得最大利润？获得最大利润？成本函数为成本函数为)0(d)()(0CQQCQCQ 200d)124.0(0 QQQ，200122.02 QQ40 某商品每周产量为某商品每周产量为Q，固定成本为固定成本为200200元，成本元，成本函数变化率为函数变化率为，200122.0)(2 QQQC销售收入为销售收入为 ，QQR20)(所以利润函数为所以利润函数为 ，2002.032)()()(2 QQQCQRQL，令
22、令04.032)(QQL得唯一驻点得唯一驻点，80 Q，又又04.0)(QL所以当每周产量所以当每周产量 时时,利润最大利润最大,80 Q最大利润为最大利润为.1080)80()(元元 L例例1515 解解，124.0)(QQC如果该商品的销售单价为如果该商品的销售单价为2020元，且假设产品可以全部元，且假设产品可以全部售出，求利润函数售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可并问每周产量为多少时，可获得最大利润？获得最大利润？求成本函数。求成本函数。成本函数为成本函数为 41如如果果某某产产品品的的边边际际收收益益为为QQR215)(其其中中Q为为产产量量)，求求收收益益函函数数)
23、(QR与与需需求求函函数数)(pQ。例例1616 解解，2015d)215()(QQQQQRQ ，由由pQQR )(所以需求函数为所以需求函数为.15pQ ，得得pQQQ 215 42四、小结四、小结定积分的元素法定积分的元素法 badxxfU)(平面图形的面积平面图形的面积旋转体的体积旋转体的体积*平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积 badxxAV)(dxxfVba2)(dyy2)(dcV badxxfxfA)()(1243*思考题思考题1 设设曲曲线线)(xfy 过过原原点点及及点点)3,2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲
24、曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中中一一条条平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程.44思考题思考题1解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)(xdxxfxySxyS021)()(2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求导求导x45yxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3,2(2
25、9 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy 46)(xfy 设函数曲线 y=f(x)及直线 y=kx+b ,)0(k、11bxky)(1212bbbxky所围成的曲边梯形,求D绕直线y=kx+b旋转所成立体的体积.,21xx在上有连续导数,D为思考题思考题247如右图示,bkxyL：NTMMN1xxdxx 2xxy y=f(x)dlD为曲线设),(yxM,)(上任一点xfy 曲线在M点处的切线MT为：)()(xXxfxfY的垂线为：点作直线过bkxyLM)()(1xfxXkYMM：0)(xkfxYkX即即思考题思考题2解答解答48应用定积分
26、的元素法，考虑子区间x,x+dx.设相应于x,x+dx的曲线弧段在直线L上的投影长为dl,则当子区间的长充分小时,取切线MT上对应于右端点x+dx的点 到垂线 )()(,(dxxfxfdxxNMM 的距离为dl,则)()()()(112xkfxdxxfxfkdxxkdl)0(1)(12dxdxkxfk假设49而M点到直线L的距离为21)(kbkxxfd从而得dxkxfkkbkxxfdlddV22221)(11)(dxxfkbkxxfk)(1)()1(2232 所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为21)(1)()1(2232xxdxxfkbkxxfkV 50练习：练习：P245 习题六习题六
