1、第七 章 定积分 1 定积分的概念和可积条件定积分的概念和可积条件 2 定积分的基本性质定积分的基本性质 3 微积分基本定理微积分基本定理 4 定积分的应用定积分的应用 1、给出了定积分的概念和可积条件。给出了定积分的概念和可积条件。2、给出了定积分的基本性质。给出了定积分的基本性质。3、给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法。教学内容：教学内容：4、给出了定积分的应用给出了定积分的应用。教学重点教学重点:变限函数与定积分的概念；求定积分的方法。变限函数与定积分的概念；求定积分的方法。要求要求:1、理解变限函数与定积分的定义。理解变限函数与定积分的定义
2、。2、熟练掌握求定积分的方法，并会应用微积分知识解决熟练掌握求定积分的方法，并会应用微积分知识解决实际问题。实际问题。3、了解达布（了解达布（DarbouxDarboux）和及可积条件。）和及可积条件。本章内容、要求及重点本章内容、要求及重点第一节第一节 定积分的概念和可积定积分的概念和可积条件条件 一、问题的提出 二、二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义几何意义 五、小结abxyo?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出一、问题的提出)
3、(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分
4、成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 iiixfA )(为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，
5、且的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )(部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1（3）取极限）取极限,max21nttt iniitvs
6、 )(lim10 路程的精确值路程的精确值设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i（iix ），），作作乘乘积积iixf)(),2,1(i并作和并作和iinixfS )(1，二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被
7、积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确定的极限确定的极限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：（1）积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba
8、上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积.当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在三、存在定理三、存在定理区区间间,ba上上可可积积.,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四
9、、定积分的几何意义四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)(例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1,0n等等分分，分分点点为为nixi，(ni,2,1)小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni,2,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf )(1 iinix 21,12iniixx nnini121 niin12316)
10、12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.121dxx 解解在在2,1中中插插入入分分点点 12,nqqq,典型小区间为典型小区间为,1iiqq，（ni,2,1）小小区区间间的的长长度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq，（ni,2,1）iinixf )(1 iniix 11)1(1111 qqqinii niq1)1()1(qn取取2 nq即即nq12),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 ,2ln)12(lim1 nnn,
11、2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn.2ln iinixf )(1 例例 3 3 设函数设函数)(xf在区间在区间1,0上连续，且取正值上连续，且取正值.证明证明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim试证试证.10)(ln dxxfe利用对数的性质得利用对数的性质得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指数数上上可可理理解解为为：)(lnxf在在1,0区区间间上上的的一一个个积积分分和和分分割割是是将将1,0n等等分分分点为分点为nixi，（ni,2,1）nnnnfnfnf
12、e21lnlim极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因为因为)(xf在区间在区间1,0上连续，且上连续，且0)(xf所所以以)(lnxf在在1,0上上有有意意义义且且可可积积,五、小结五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限 作业：作业：P285 1(1);2;
13、6.思考题思考题将和式极限：将和式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分表示成定积分.思考题解答思考题解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数)(xf 在在 ba,上的定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和的极限，即即 badxxf)(_.2 2、定积分的值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关.3 3、定积分的几何意义是定积分的几何意义是_.4 4、区间区间 ba,长度的定积分
14、表示是长度的定积分表示是_.二、二、利用定积分的定义计算由抛物线利用定积分的定义计算由抛物线,12 xy两直线两直线)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积及横轴所围成的图形的面积.三、三、利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分 baxdx，)(ba .练练 习习 题题四、四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：1 1、41102 dxx;2 2、2022cos2cosxdxxdx;五、五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的闸门上水的是是压强压强 P的的水深水深 h函数，且有函数，且有
15、)(8.92米米千千米米hp ，若闸门高，若闸门高米米3 H，宽，宽米米2 L，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力压力P（见教材图（见教材图 5-35-3）.一、一、1 1、niiixf10)(lim ；2 2、被积函数、被积函数,积分区间积分区间,积分变量；积分变量；3 3、介于曲线、介于曲线)(xfy ,轴轴x,直线直线bxax ,之间之间 各部分面积的代数和；各部分面积的代数和；4 4、badx.二、二、abab )(3133.三、三、)(2122ab .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).练习题答案练习题答案观察下列演示过程，注意当分割加细时
16、，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形
17、面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演
18、示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边
19、梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系附：可积条件附：可积条件一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的的主要问题。一、可积的必要条件界的。时，总是假设函数是有以下讨论函数的可积性可积的充分条件二、充分。可积的必要条件，但不由此可见，有界是函数上有界，但不可积。，在，）（狄利克雷函数如：。有界函数却不一定可积注意，数一定是有界的，但要定理指出，任何可积函证上一定有界。在上可积，则在若函数定理 10,01,1QRxQxxDbafbaf 1.1.思路与方案思路与方案:思路:鉴于
20、积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法 及介点 无关的条件。Ti 方案:定义上和 和下和 ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件.2.2.达布和达布和:1,2,sup(),inf(),1,2,.iiiiiixxTina bfa bMf xmf xin 设为对的任一分割，由 在上有界，它在每一个上存在上、下确界：)(TS)(Ts11(),()nniiiiS TMs TmfT作和分别称为 关于分割的上和与下和（或称为达布上和与达布下和，统称为达布和）由达布和定义可知，达布和未必是积
21、分和.但达布 和由分法 唯一确定.则显然有：1()()()(1)0,231236niiis TfxS TTfa bP由此可见，只要通过上、下和当时的极限就揭示 在上是否可积了。所以可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的。（有关上、下和性质的详细讨论参见课本）119.3(,0().,(),9.3,0.iiiiniiiniiifa bTS Ts TMmfS Ts Txfa bTx定理可积准则）函数 在上可积的充分条件是：任给，总相应的一个分割，使得：（）设称为在上的振幅，这样（）因此可积准则改写为：定理函数 在上可积任给，总相应的一个分割，使得：证上必可积。在上的单调函数，则是区间若定理证上必
22、可积。在有界函数，则上只有有限个间断点的是区间若定理证上必可积。在上连续，则在若定理的函数必是可积的。可以证明下面三种类型根据可积的准则，我们可积函数类三、较方便。证明有界函数的可积性常用定理了。可积性来说，简单得多极限来判定有界函数的是否存在无关，这相对于用讨论而与复杂的，与上的可积性，只依赖于函数在由定理可知，讨论有界,5,5,4.9 3.9)(lim)()()(,101bafbafbafbafbafbafxfxfTsTSbainiiTinii证略上必可积。在上的单调函数，则是区间若定理证略上必可积。在有界函数，则上只有有限个间断点的是区间若定理证略上必可积。在上连续，则在若定理的函数必是
23、可积的。可以证明下面三种类型根据可积的准则，我们可积函数类三、较方便。证明有界函数的可积性常用定理了。可积性来说，简单得多极限来判定有界函数的是否存在无关，这相对于用讨论而与复杂的，与上的可积性，只依赖于函数在由定理可知，讨论有界,4,3,2 3.9)(lim)()()(,101bafbafbafbafbafbafxfxfTsTSbainiiTinii定理4说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性。思考题：1、闭区间上仅有一个间断点的函数是否必可积？2、闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积？3、闭区间上的单调函数是否必可积？例2 上可积。，在证明：10)(xf1031,()0,0,1010,1()0pxpqqpqqf xxf x dx例证明黎曼函数、互质，以及（，）内的无理数，在上可积，且：（先画出f(x)的图形，结合直观的图形给出证明的思路，再作证明。）
