1、一、对坐标曲面积分的定义一、对坐标曲面积分的定义第八节 对坐标的曲面积分二、二、对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的计算 （第十章（第十章 第五节）第五节）2关于曲面关于曲面观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧典典型型双双侧侧曲曲面面曲面的分类曲面的分类:1.双侧曲面双侧曲面;2.单侧曲面单侧曲面.3莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面曲面法向量的指向法向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.内侧与外侧内侧与外侧左侧与右侧左侧与右
2、侧下下侧与上侧侧与上侧cos,cos,cos 用用的的符符号号确确定定曲曲面面的的侧侧，前前侧与后侧与后侧侧xyzOxyzO cos cos cos0 0 0 xyzO0 0 0 5有向曲面的投影问题有向曲面的投影问题:()xySxoyS 则则在在面面上上的的投投影影为为.0cos00cos)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS().xy 其其中中表表示示投投影影区区域域的的面面积积（上侧）（上侧）（下侧）（下侧）（法向量垂直于（法向量垂直于z轴）轴）若在有向曲面若在有向曲面上取一小块曲面上取一小块曲面S ，6一、一、对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定义定义实例实例:计算
3、流向曲面一侧的流量计算流向曲面一侧的流量.A0n A0cos A vAv n 斜柱体的体积斜柱体的体积.求单位时间流过求单位时间流过A的流体的质量的流体的质量(假定密度为假定密度为1).1.设流速场为设流速场为常常向量向量 v,有向平面有向平面区域为区域为A,流流量量v72.设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体(假定密度假定密度为为1的速度场由的速度场由向量向量函数函数kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(给出给出,是速度场中的一片是速度场中的一片有向曲面有向曲面,函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP都在都在上连续上连续,求在单位时间内流向求在
4、单位时间内流向指指.定侧的流体的质量定侧的流体的质量xyzOdS(,)x y zv 0n dS近近似似看看作作小小块块平平面面，在曲面在曲面 上取一小块上取一小块,dS ,x y z 处处，指指向向指指定定一一侧侧的的单单位位法法向向量量：其其上上任任一一点点 00cos,cos,cos,nn 是是 的的方方向向角角.,v x y z 若若看看作作常常向向量量，dS则则过过流流向向指指定定一一侧侧的的流流量量：0v ndS 利用元素法计算利用元素法计算 coscoscosPQRdS 0dv ndS coscoscosPQRdS 记为另一种形式记为另一种形式PdydzQdzdxRdxdy 对坐标
5、的对坐标的曲面积分曲面积分.流量微元流量微元故流体流向故流体流向 指定一侧的指定一侧的流量流量为为对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标曲面积分的定义对坐标曲面积分的定义定义定义 设设为光滑的有向曲面为光滑的有向曲面,函数函数P,Q,R在在 ,x y z ,是是 上上处处沿沿指指定定一一侧侧的的法法向向量量的的方方向向角角，如如果果积积分分 coscoscosPQRdS 存存在在，则则记记它它为为PdydzQdzdxRdxdy 上有界，上有界，PdydzQdzdxRdxdy ,P x y zQ x y zR x y z称称为为函函数数 在在有有限限曲曲面面片片 上上第第二二类类曲曲也也称称面面
6、积积分分.即即PdydzQdzdxRdxdy =coscoscosPQRdS 对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分，注注:(1)当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲面在有向光滑曲面上连续时上连续时,对坐标的曲面积分存在对坐标的曲面积分存在.（2）当）当为封闭曲面时，记为为封闭曲面时，记为PdydzQdzdxRdxdy （3）向量形式向量形式A dSA ndS PdydzQdzdxRdxdy (,),(cos,cos,cos)AP Q R n (,)dSndSdydz dzdx dxdy 其中其中称为称为有向曲面元有向曲面元,nAAn为向量为向量在在上的投影上的投影.流体流向流
7、体流向 指定一侧的指定一侧的流量流量为为nA dSA dS或或v dS =coscoscosPQRdS (4)对坐标的积分具有方向性对坐标的积分具有方向性PdydzQdzdxRdxdy=PdydzQdzdxRdxdy LLPdxQdyPdxQdy abbadxxfdxxf)()(性质性质:12121.PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 2.积积分分可可以以分分开开写写：区域可加性区域可加性(,)(,)cosP x y z dydzP x y zdS=(,)(,)cosQ x y z dzdxQ x y zdS (,)(,)cosR x y
8、 z dxdyR x y zdS 线性性线性性(,)=(,)cosR x y z dxdyR x y zdS 现现讨讨论论二、二、计算法计算法(,)zz x y xyDxyzod dSxoy在在面上的投影区域面上的投影区域),(zyxR被积函数被积函数在在上连续上连续.函数函数),(yxzz xyD在在上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数,:(,)zz x y ,xyD为为.dSd 的的投投影影为为 ,1xynzz 的的法法向向量量为为 n 221,xydSzzd cos dSd 2222221,111yxxyxyxyzzzzzzzz 0cos,cos,cosn 正正负负号号由由 所所指指
9、定定的的侧侧来来确确定定：cos0+当当指指定定为为上上侧侧 时时，取取 号号 ,1xynzz 的的法法向向量量为为 下侧下侧cos dSd 正正负负号号由由 所所指指定定的的侧侧来来确确定定：cos0+当当指指定定为为上上侧侧 时时，取取 号号 下侧下侧(,)=(,)cosR x y z dxdyR x y zdS:(,)zz x y ,(,)xyDR x y z x y d (,),(,)xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy (,),(,)xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy :(,),xx y z yzDdydzzyzyxPdydzzy
10、xP,),(),(:(,),yy z x zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的侧侧.:,zz x y上侧取上侧取“+”,下侧取下侧取“”前侧取前侧取“+”,后侧取后侧取“”右侧取右侧取“+”,左侧取左侧取“”1 xyzdxdy 计计算算，其其中中例例是是球球面面解解12把把 分分成成和和两两部部分分;1:2211yxz ,1:2222yxz 1 2 下侧下侧上侧上侧222100.xyzxy在在，部部分分的的外外侧侧zxy 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy221xyDxyxy dxdy xyD
11、dxdyyxxy221212240022sin cos1.15dd 2211:1,zxy 下下侧侧2222:1,zxy上上侧侧22(1)xyDxyxy dxdy 2222x dydzy dzdxz dxdy 计计算算例例0,0,0 xaybzc其其中中 为为长长方方体体的的整整个个表表面面的的外外侧侧.把把曲曲面面分分为为六六解解 个个平平面面部部分分：135246上上侧侧，前前侧侧，右右侧侧，下下侧侧，后后侧侧，左左侧侧12345622+x dydzx dydz xyzO6 4 2 1 3 5 34222+x dydzx dydzx dydz22y dzdxb ac 22z dxdyc ab
12、 20yzyzDDa dydzdydz2yzDadydz 同理，得同理，得xyzO1 6 5 4 3 2 故原积分故原积分222a bcb acabc1256,0yoz ,在在面面的的投投影影均均为为，2a bc:x a:0 x 注注 ,zz x y设设：把三个积分合并把三个积分合并,只向一个坐标面投影只向一个坐标面投影 ,1xynzz 0cos,cos,cosn coscoscos1xyzz由由，得得coscos,coscos,xyzz PdydzQdzdxRdxdy PdydzQdzdxRdxdy =coscoscosPQRdS =cosxyPzQzRdS xyPzQzR dxdy xyd
13、ydzzdxdydxdzzdxdy coscos,coscos,xyzz 转换公式转换公式)(2122yxz 下侧下侧xyzO2 z 把把两两个积分合并个积分合并,只向坐标面只向坐标面xoy投影投影分析分析解解2()zx dydz ,xxzxdydzzdxdy 2()zx dydzzdxdy 2()()zxx dxdy 2()()zxxz dxdy 把两个积分合并把两个积分合并,只向坐标面只向坐标面xoy投影投影PdydzQdzdxRdxdy xyPzQzR dxdy 22()()()zx dydzzdxdyzxxz dxdy 22 22211()()()42xyDxyxxxydxdy xyD
14、dxdyyxx)(2122222222001(cos)2dd .8 2221()04xyDxyx dxdy 由由对对称称性性：xyz)(2122yxz xyD下侧下侧小小 结结PdydzQdzdxRdxdy =coscoscosPQRdS 一、对坐标（第二类）曲面积分的定义一、对坐标（第二类）曲面积分的定义两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系cos,dSdydz cosdSdxdy cos,dSdxdz(cos,cos,cos)n 指定侧的法向量指定侧的法向量A dSA ndS(,)dSndSdydz dzdx dxdy (,),AP Q R 称为称为有向曲面元有向曲面元,nAAn为向量为向量
15、在在上的投影上的投影.nA dS 向量形式向量形式其中其中二、计算方法二、计算方法(,),(,)xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy :(,),xx y z yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(:(,),yy z x zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(:,zz x y上侧取上侧取“+”,下侧取下侧取“”前侧取前侧取“+”,后侧取后侧取“”右侧取右侧取“+”,左侧取左侧取“”思考题思考题思考题解答思考题解答此时此时 的左侧为的左侧为负负侧，侧，221zxy 而而 的左侧为的左侧为正正侧侧.221zxy 作作 业业p.167 习题习题10-53.(1);(3),(4);4.
