1、学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四学点五学点五学点六学点六学点七学点七学点八学点八对数与指数的关系对数与指数的关系,logbaaN bN指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系log,21121,22121.22xaayaxyyxyxyyxxxxyyx由指数函数一般用 表示函数，用x表示自变量，上式变为y=log对数函数.指数函数与对数函数从对应的关系理解，是一种逆对应关系.像这样具有逆对应关系的两个函数称为互为反函数.例如：求函数的反函数解：由得、y互换得为函数的反函数指数函数图像与对指数函数图像与对几何画板几何画板.lnk数函数的图像的关系数函数的图像的关系2xy x
2、1/41/2124816-2-1012342logyxx-3-2-101231/8 1/4 1/2 12488642-2-4-6-8-10-5510y=f(x)h x g x f x x1313、对数函数的图象和性质、对数函数的图象和性质a10a0,且且a1)3.对数函数对数函数y=logax(a0,且且a1)与指数函数与指数函数y=ax(a0,且且a1)互为互为 .它们的图象关于它们的图象关于 对称对称.反函数反函数y=x函数函数 y=logax（a0,a 1）a的取值的取值0a1定义域定义域值域值域R图象图象图象图象特征特征当当x0且且x0时时,图象趋图象趋近于近于 y轴正半轴轴正半轴.当
3、当x0且且x0时，图象趋时，图象趋近于近于 y轴负半轴轴负半轴.单调性单调性函数值的函数值的变化规律变化规律当当0 x1 时时,当当 0 x1 时，时，y1时，时，y0 .),0(在在y轴的轴的右侧右侧，过定点，过定点（1，0）在在(0,+)上上是减函数是减函数.在在(0,+)上是上是增函数增函数.y(0,+)y=0y0,.765476log54log2121x21logx51log3log3log51210.3log310.8log20.3log310.8log2x21log【评析】比较两个对数值的大小，常用方法：【评析】比较两个对数值的大小，常用方法：（1）当底数相同，真数不同时，用函数的
4、单调性来比）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较；较；（2）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；可用换底公式转化为同底数的对数后比较；（3）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较.比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：（1）;（2）;（3）(a0，且，且a1).8.5log3.4,log222.7log1.8,log0.30.35.9log5.1,logaa（1）考查对数函数考查对数函数y=log2x，因为它的底数，因为它的底数21,所以
5、它在所以它在(0,+)上是增函数，于是上是增函数，于是log23.4log28.5.（2）考查对数函数考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足，因为它的底数满足00.3log0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小还是小于于1，而已知条件中并未明确指出底数，而已知条件中并未明确指出底数a与与1哪个大，因此，哪个大，因此，要对底数要对底数a进行讨论：进行讨论：当当a1时，函数时，函数y=logax在在(0,+)上是增函数，于是上是增函数，于是loga5.1loga5.9;当当0aloga5.9.学点二学点二 求定义域求定义域
6、求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：（1）（2）3);-(4xlogy0.5).4-(16logyx1x【分析】【分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四注意考虑问题要全面，切忌丢三落四.【解析】【解析】（2）由）由log0.5(4x-3)04x-30得得04x-31,0 x0 得得 x-1 x+11 x0.-1x0或或0 x0 x0 log0.8x-10 即即 x0.8 2x-10,x ,00 x x-10 解得解得 x1 3x-10 x 3x-1 0 x 因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为(1,+).313223学点三学点三 求值域求值域求下列函数的值域：求下列函数的值域：（1）（
7、2）（3）y=loga(a-ax)(a1).12);4x-(-x logy2213);-2x-(x logy221【分析】【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解再由单调性求解.【解析】【解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+1616,又又-x2-4x+120,00,且且y=log x在在(0,+)上是减函数上是减函数,yR,函数的值域为实数集函数的值域为实数集R.212121（3）令）令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(a-ax)的定义域为的定义域为x|x1,ax0,u=a-
8、axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函数的值域为函数的值域为y|y1.【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值时需要讨论参数的取值.求值域：求值域：（1）y=log2(x2-4x+6);（2）.22xx-1logy22(1)x2-4x+6=(x-2)2+22,又又y=log2x在在(0,+)上是增上是增函数函数,log2(x2-4x+6)log22=1.函数的值域是函数的值域是1,+).(2)-x2+2x+2=-
9、(x-1)2+33,0知知-x0得得(2x+1)(x-3)0，得，得x3.易知易知y=log0.1是减函数，是减函数，=2x2-5x-3在在 上为减函上为减函数，即数，即x越大，越大，越小，越小，y=log0.1u越大；在越大；在(3,+)上函上函数数为增函数，即为增函数，即x越大，越大，越大，越大，y=log0.1越小越小.原函数的单调增区间为原函数的单调增区间为 ，单调减区间为，单调减区间为(3,+).21)21,-(-)21,(【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注住变化状态；二是掌
10、握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域意复合函数的定义域.已知已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且且a1).（1）求）求f(x)的定义域；的定义域；（2）讨论函数）讨论函数f(x)的单调性的单调性.（1）由由ax-10得得ax1，当，当a1时，时，x0;当当0a1时，时，x1时，时，f(x)的定义域为的定义域为(0,+);当当0a1时，设时，设0 x1x2，则，则1 ,故故0 -1 -1,即即loga(-1)loga(-1).f(x1)1时，时，f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数.同理，当同理，当0a0 =4-4a0，1.a（2）若）若f(x)的值域为的值域为R，则要
11、求，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包的值域包含含(0,+).当当a0时，时，(x)=ax2+2x+1要包含要包含(0,+)，需，需 a0 =4-4a0综上所述，综上所述，0 a1.1.a0 【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定义域为）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定，由判别式不小于零确定.函数函数y=logax在在x2,+)上总有上总有|y|1，求，求a的取值范围的取值范围.依题意得依题意得|logax|1对一切对一切x2,+)
12、都成立，都成立，当当a1时，因为时，因为x2,所以所以|y|=logax1，即，即logaxlog22.所以所以1a2.当当0a1,所以所以logax-1，即，即logaxlog 2对对x2恒成立恒成立.所以所以 a0解得解得f(x)的定义域是的定义域是(-,-1)(1,+),f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数是奇函数.1-x1x 1-x-1x-log211x1xlog211-x1xlog-21（2）证明）证明:设设x1,x2(1,+)，且，且x1x11,x2-x10,x1-10,x2-10,u(x1)-u(x2)0,即即u(x1)u(x2)0,y=log u在在(0,+)上是减函数上是
13、减函数,log u(x1)log u(x2),即即log log ,f(x1)0 x-10 p-x0当当p1时，函数时，函数f(x)的定义域为的定义域为(1,p)(p1).)1)(,1(ppx1-x1x 名师伴你行（2）因为因为f(x)=所以当所以当 1,即即1p3时，时，f(x)无最大值和最小无最大值和最小值；当值；当1 3,x=时，时，f(x)取得最大取得最大值，值，log2 =2log2(p+1)-2，但无最小值，但无最小值p),x(14)1()21-p-(x-log22p21-p21-p21-p41)(p2名师伴你行学点八学点八 反函数反函数已知已知a0,且且a1，函数，函数y=ax与
14、与y=loga(-x)的图象只能是（的图象只能是（）【分析】【分析】分分a1,0a1两种情况，分别作出两函数的图象，两种情况，分别作出两函数的图象，根据图象判定关系根据图象判定关系.B名师伴你行【解析】【解析】解法一：首先，曲线解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，从而排除只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性着手，其次，从单调性着手，y=ax与与y=loga(-x)的增减性正好相反，的增减性正好相反，又可排除又可排除D，故只能选，故只能选B.解法二：若解法二：若0a1，则曲线则曲线y=ax上升且过点上升且过点(0,1)，
15、而曲线，而曲线y=loga(-x)下降且过下降且过(-1,0)，只有，只有B满足条件满足条件.解法三：如果注意到解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于的图象关于y轴的对称图象轴的对称图象为为y=logax的图象，因为的图象，因为y=logax与与y=ax互为反函数（图象关互为反函数（图象关于直线于直线y=x对称），则可直接选对称），则可直接选B.【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响对图象的影响.要要养成从多角度分析问题、解决问题的习
16、惯，培养思维的灵活养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性性.原函数原函数y=f(x)与其反函数的图象关于与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性对称是其重要性质质.名师伴你行若函数若函数f(x)=ax(a0，且，且a1)的反函数的图象过点的反函数的图象过点(2,-1),则则a=.21 反函数的图象过点反函数的图象过点(2,-1)，则，则f(x)=ax的图象过的图象过(-1,2),得得a-1=2,a=.21名师伴你行1.1.如何确定对数函数的单调区间？如何确定对数函数的单调区间？（1）图象法：此类方法的关键是图象变换）图象法：此类方法的关键是图象变换.（2）形如）形如y=loga
17、f(x)的函数的单调区间的确定方法：的函数的单调区间的确定方法：首先求满足首先求满足f(x)0的的x的范围，即求函数的定义域的范围，即求函数的定义域.假设假设f(x)在定义域的子区间在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间上单调递增，在子区间I2上单上单调递减，则调递减，则当当a1时，原函数与内层函数时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，的单调区间相同，即在即在I1上单调递增，在上单调递增，在I2上单调递减上单调递减.当当0a0a0，且，且a1.a1.但指数函数的定义域是但指数函数的定义域是R R，对数函数的，对数函数的定义域是定义域是(0,+).(0,+).对数函数的图象在对数函数的图
18、象在y y轴的右侧，真数大轴的右侧，真数大于零，这一切必须熟记于零，这一切必须熟记.2.2.反函数反函数（1 1）在写指数函数或对数函数的反函数时，注意函数的）在写指数函数或对数函数的反函数时，注意函数的定义域且底数必须相同；定义域且底数必须相同；（2 2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相）互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相同；同；名师伴你行（3 3）对数函数与指数函数互为反函数，因此，对）对数函数与指数函数互为反函数，因此，对数函数图象画法有两种：一是描点法，二是利用数函数图象画法有两种：一是描点法，二是利用指数函数与对数函数互为函数的关系作图；指数函数与对数函数互为函数的关系作图；（4 4）互为反函数的两个函数的定义域与值域发生）互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换，即原函数的定义域是反函数的值域，原函互换，即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；数的值域是反函数的定义域；（5 5）互为反函数的两函数的图象关于直线）互为反函数的两函数的图象关于直线y=xy=x对对称称.名师伴你行
