1、第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算(全国卷5年4考)【知识梳理【知识梳理】1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理(1)(1)定理定理:如果如果e1 1,e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_向量向量,那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数有且只有一对实数1 1,2 2,使使a=_.a=_.不共线不共线1 1e1 1+2 2e2 2(2)(2)基底基底:_:_的向量的向量e1 1,e2 2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有向量的一组基底向量的一组基底.不共线不共线2.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)在平面直角坐标系
2、中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同轴方向相同的两个单位向量的两个单位向量i,ji,j作为基底作为基底,对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知,有且只有一对实数有且只有一对实数x,yx,y,使得使得a=xi+yj=xi+yj,这样这样,平面内的任一向量平面内的任一向量a都可由都可由_唯一确定唯一确定,x,yx,y因此把有序数对因此把有序数对_叫做向量叫做向量a的坐标的坐标,记作记作a=(x,y=(x,y),),其中其中x x叫做叫做a在在x x轴上的坐标轴上的坐标,y,y叫做叫做a在在y y轴上的坐标轴上的坐标.(2
3、)(2)若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则 =_.=_.AB(x,y(x,y)(x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1)3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)(1)若若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab=(x=(x1 1x x2 2,y,y1 1y y2 2).).(2)(2)若若a=(x,y=(x,y),),则则a=_.=_.(3)(3)设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则|=_.|=_.AB(x,y(
4、x,y)222121xxyy4.4.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab_._.x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0【常用结论【常用结论】1.1.向量共线的充要条件有两种向量共线的充要条件有两种:aba=b(b0).).a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则abx x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0.=0.2.2.两向量相等的充要条件两向量相等的充要
5、条件:它们的对应坐标相等它们的对应坐标相等.3.3.注意向量坐标与点的坐标的区别注意向量坐标与点的坐标的区别:(1)(1)向量与坐标之间是用等号连接向量与坐标之间是用等号连接.(2)(2)点的坐标点的坐标,是在表示点的字母后直接加坐标是在表示点的字母后直接加坐标.(3)(3)是用是用B B点的横纵坐标减去点的横纵坐标减去A A点的横纵坐标点的横纵坐标,既有方既有方向的信息也有大小的信息向的信息也有大小的信息,其向量位置不确定其向量位置不确定.(4)(4)点的坐标含有横坐标和纵坐标点的坐标含有横坐标和纵坐标,点是唯一的点是唯一的.AB【基础自测【基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判
6、断正误判断正误(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.()(2)(2)同一向量在不同的基底下的表示是相同的同一向量在不同的基底下的表示是相同的.()(3)(3)在在ABCABC中中,设设 =a,=,=b,则则a与与b的夹角为的夹角为ABC.ABC.()(4)(4)若若a,b不共线不共线,且且1 1a+1 1b=2 2a+2 2b,则则1 1=2 2,1 1=2 2.()AB BC【解析【解析】(1)(1).因为一组不共线的向量可以作为一组因为一组不共线的向量可以作为一组基底基底,所以平面内的
7、任意两个向量都可以作为一组基底所以平面内的任意两个向量都可以作为一组基底错误错误.(2)(2).由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知,平面内的任意向量都平面内的任意向量都可以由一组基向量唯一线性表示可以由一组基向量唯一线性表示,而同一向量在不同的而同一向量在不同的基底下的表示是不同的基底下的表示是不同的.(3)(3).由向量夹角的定义可知由向量夹角的定义可知:a:a与与b b的夹角为的夹角为ABCABC的的补角补角.(4).(4).因为因为1 1a+1 1b=2 2a+2 2b,所以所以(1 1-2 2)a=(=(2 2-1 1)b,当当1 1-2 200时时,a=b,所以所以a与与b
8、共线共线,与与已知已知a,b不共线矛盾不共线矛盾.2112 2.2.若若 =(1,2),=(3,4),=(1,2),=(3,4),则则 =()A.(2,2)A.(2,2)B.(-2,-2)B.(-2,-2)C.(4,6)C.(4,6)D.(-4,-6)D.(-4,-6)AB BC AC【解析【解析】选选C.C.向量加法法则可知向量加法法则可知:=+:=+=(1,2)+(3,4)=(4,6).=(1,2)+(3,4)=(4,6).AC AB BC 3.3.在在ABCABC中中,已知已知M M是是BCBC的中点的中点,设设 =a,=,=b,则则 =_.=_.BA CA AM【解析【解析】在在ABC
9、ABC中中,因为因为M M是是BCBC的中点的中点,由向量加法的由向量加法的平行四边形法则可知平行四边形法则可知:答案答案:-ABACAM2 BACA.22 ab2ab题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修四必修四P101AP101A组组T5T5改编改编)已知向量已知向量a=(4,2),=(4,2),b=(x,3),=(x,3),且且ab,则则x x的值是的值是()A.-6A.-6B.6B.6C.9C.9D.12D.12【解析【解析】选选B.B.因为因为ab,所以所以4 43-2x=0,3-2x=0,所以所以x=6.x=6.2.(2.(必修四必修四P101AP101A组组T2T2改编改
10、编)已知三个力已知三个力F1 1=(-2,-1),=(-2,-1),F2 2=(-3,2),(-3,2),F3 3=(4,-3)=(4,-3)同时作用于某物体上一点同时作用于某物体上一点,为使物体为使物体保持平衡保持平衡,现加上一个力现加上一个力F4,则则F4等于等于()A.(-1,-2)A.(-1,-2)B.(1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)C.(-1,2)D.(1,2)D.(1,2)【解析【解析】选选D.D.根据力的平衡原理有根据力的平衡原理有F1 1+F2 2+F3 3+F4 4=0,=0,所所以以F4=-(=-(F1 1+F2 2+F3 3)=(1,2).)=(1,2).3.
11、(3.(必修四必修四P102 T3P102 T3改编改编)设设e1 1,e2 2是不共线的两个向量是不共线的两个向量,且且1 1 e1 1+2 2 e2 2=0,则则1 1+2 2=_.=_.【解析【解析】因为因为e1 1,e2 2是不共线的两个向量是不共线的两个向量,且且1 1 e1 1+2 2 e2 2=0,所以所以1 1=2 2=0,=0,所以所以1 1+2 2=0.=0.答案答案:0 0考点一平面向量的坐标运算考点一平面向量的坐标运算【题组练透【题组练透】1.1.已知平面向量已知平面向量a=(1,1),=(1,1),b=(1,-1),=(1,-1),则向量则向量 a-b=()1232A
12、.(-2,-1)A.(-2,-1)B.(-2,1)B.(-2,1)C.(-1,0)C.(-1,0)D.(-1,2)D.(-1,2)【解析【解析】选选D.D.因为因为a=(1,1),=(1,1),b=(1,-1),=(1,-1),所以所以 a-b=(1,1)-(1,-1)=(-1,2).=(1,1)-(1,-1)=(-1,2).123212321 133(,)(,)2 2222.(20152.(2015全国卷全国卷)已知点已知点A(0,1),B(3,2),A(0,1),B(3,2),向量向量 =(-4,-3),(-4,-3),则向量则向量 =()A.(-7,-4)A.(-7,-4)B.(7,4)
13、B.(7,4)C.(-1,4)C.(-1,4)D.(1,4)D.(1,4)AC BC【解析【解析】选选A.=(3,1),=(-4,-3),=-=A.=(3,1),=(-4,-3),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).AB AC BC AC AB 3.3.已知已知ABCABC的三个顶点的三个顶点A,B,CA,B,C的坐标分别为的坐标分别为(0,1),(0,1),(,0),(0,-2),O(,0),(0,-2),O为坐标原点为坐标原点,动点动点P P满足满足|=1,|=1,则则|的最小值是的最小值是()A.-1A.-1B.-1B.-1C.+
14、1C.+1D.+1D.+12CPOAOBOP 311113【解析【解析】选选A.A.设设P(cosP(cos,-2+sin),-2+sin),则则 OAOBOP 22cos2sin142 2cos2sin42 3cos()（）（）42 331.4.4.已知已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),OA(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点为坐标原点,且且 =,则则|等于等于_._.OD 1(OAOBCB)2 BD【解析【解析】由由 =,=,知点知点D D是线段是线段ACAC的中点的中点,故故D(2,2),D(2,2),所以所以 =(-2,2),=(-2,2),故故|=|=答案
15、答案:2 2 OD 1(OAOBCB)2 1(OAOC)2 BD BD 22222 2.25.5.已知正已知正ABCABC的边长为的边长为2 ,2 ,平面平面ABCABC内的动点内的动点P,MP,M满满足足|=1,|=1,则则|2 2的最大值是的最大值是_._.3AP PMMC，BM【解析【解析】建立平面直角坐标系如图所示建立平面直角坐标系如图所示,则则B(-,0),C(,0),A(0,3),B(-,0),C(,0),A(0,3),则点则点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1.=1.设设P(x,yP(x,y),),M(xM(x0 0,y,y0 0),),
16、则则x=2xx=2x0 0-,y=2y-,y=2y0 0,代入圆的方程得代入圆的方程得 所以点所以点M M的轨迹方程为的轨迹方程为 333203(x)22031(y)24，22331(x)(y)224，它表示以它表示以 为圆心为圆心,以以 为半径的圆为半径的圆,所以所以 所以所以 =答案答案:3 3()22，122maxBMmaxBM223317(3)(0)2222，49.4494【规律方法【规律方法】向量坐标运算的注意事项向量坐标运算的注意事项(1)(1)向量坐标与点的坐标形式相似向量坐标与点的坐标形式相似,实质不同实质不同.(2)(2)向量坐标形式的线性运算类似于多项式的运算向量坐标形式的
17、线性运算类似于多项式的运算.(3)(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结需清楚结论推导过程与结果论推导过程与结果,加以区分加以区分.考点二平面向量基本定理及其应用考点二平面向量基本定理及其应用【典例【典例】(1)(1)如图所示如图所示,矩形矩形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O,O,E E为为AOAO的中点的中点,若若 (,(,为实数为实数),),则则2 2+2 2=世纪金榜导学号世纪金榜导学号()DEABAD A.A.B.B.C.1C.1D.D.5814516【解析【解析】选选A.A.所以所以=,=-,=,=-,故故2 2+2 2
18、=.=.11111DEDADODADBDA22242 113(DAAB)ABAD444 ，143458(2)(2)在在ABCABC中中,点点D,ED,E分别在边分别在边BC,ACBC,AC上上,且且 若若 =a,=,=b,则则 =()A.A.a+bB.B.a-bC.-C.-a-bD.-D.-a+bBD2DC ，CE 3EA，AB AC DE 1351213131213512131312【解析【解析】选选C.C.DEDCCE 13BCCA3413(ACAB)AC341515ABAC.312312 ab【一题多解微课【一题多解微课】解决本题还可以采用以下方法解决本题还可以采用以下方法:选选C.C.
19、不妨设不妨设BAC=90BAC=90,取直角坐取直角坐标系标系xOyxOy,设设A(0,0),B(1,0),C(0,1),A(0,0),B(1,0),C(0,1),则则a=(1,0),=(1,0),b=(0,1)=(0,1)由由 易知易知故故 =所以所以 =-=-a-bBD2DC ，CE 3EA，DE 15().312，DE 135121 21D(E(03 34，），），【规律方法【规律方法】应用平面向量基本定理解题的一般策略应用平面向量基本定理解题的一般策略(1)(1)根据题意选准基底或建立直角坐标系根据题意选准基底或建立直角坐标系.(2)(2)结合平面几何知识结合平面几何知识,运用平面向量
20、的线性运算运用平面向量的线性运算,用基用基底或坐标表示所求向量底或坐标表示所求向量.【对点训练【对点训练】1.1.已知在已知在ABCABC中中,点点O O满足满足 =0,点点P P是是OCOC上上异于端点的任意一点异于端点的任意一点,且且 则则m+nm+n的取值的取值范围是范围是_._.OAOBOC OPmOAnOB ，【解析【解析】依题意依题意,设设 (01),(01),由由 =0知知所以所以 由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知,m+nm+n=-2,=-2,所以所以m+n(-2,0).m+n(-2,0).答案答案:(-2,0)(-2,0)OPOC OAOBOC OC(OAOB),O
21、POAOB ，2.2.在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,E,E和和F F分别是分别是CDCD和和BCBC的中点的中点.若若 其中其中,R,R,则则+=_.=_.ACAEAF ，【解析【解析】选择选择 作为平面向量的一组基底作为平面向量的一组基底,则则又又 于是得于是得ABAD ，11ACABAD AEABAD AFABAD22 ，11ACAEAF()AB()AD22 ，211,432.123123 ，解得所以，答案答案:43考点三共线向量的坐标表示及其应用考点三共线向量的坐标表示及其应用【明考点【明考点知考法知考法】向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示,将向量共线问题运算简单化将向
22、量共线问题运算简单化,因其运用广泛成为高考命题的热点因其运用广泛成为高考命题的热点,试题常以选择题、试题常以选择题、填空题的形式出现填空题的形式出现,考查利用共线求参数值考查利用共线求参数值,以及共线以及共线与其他知识的综合应用与其他知识的综合应用.命题角度命题角度1 1利用向量共线求参数问题利用向量共线求参数问题 【典例【典例】已知向量已知向量a=(2,-1),=(2,-1),b=(-1,m),=(-1,m),c=(-1,2),=(-1,2),若若(a+b)c,则则m=_.m=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【解析【解析】因为因为a=(2,-1),=(2,-1),b=(-1,m),=(-1,
23、m),所以所以a+b=(1,m-1).=(1,m-1).因为因为(a+b)c,c=(-1,2),=(-1,2),所以所以2-(-1)(m-1)=0.2-(-1)(m-1)=0.所以所以m=-1.m=-1.答案答案:-1-1【状元笔记【状元笔记】已知向量共线求参数的方法已知向量共线求参数的方法:利用向量共线的充要条件得出关于参数的方程利用向量共线的充要条件得出关于参数的方程,解方程解方程即可求出参数值即可求出参数值.命题角度命题角度2 2解决含参数的共线综合问题解决含参数的共线综合问题【典例【典例】已知向量已知向量a=(3,-2),=(3,-2),b=(x,y-1),=(x,y-1),且且ab,
24、若若x,x,y y均为正数均为正数,则则 的最小值是的最小值是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.24A.24B.8B.8C.C.D.D.32xy8353【解析【解析】选选B.B.因为因为ab,所以所以-2x-3(y-1)=0,-2x-3(y-1)=0,化简得化简得2x+3y=3,2x+3y=3,又因为又因为x,yx,y均为正数均为正数,所以所以 =(2x+3y)=(2x+3y)当且仅当当且仅当 时时,等号成立等号成立.32xy321()xy319y4x19y 4x(66)(122)83xy3xy，9y4xxy所以所以 的最小值是的最小值是8.8.32xy【对点练【对点练找规律找规律】1.(2
25、0181.(2018全国卷全国卷)已知向量已知向量a=b=c=若若c 则则=_.=_.(1,2)，(2,2)，(1,).2 ab，【解析【解析】因为因为2 2a+b=(4,2),=(4,2),c=(1,),=(1,),且且c(2(2a+b),),所以所以4 4=2=21,1,解得解得=.=.答案答案:12122.2.已知向量已知向量 =(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若若A,B,CA,B,C三点能构成三角形三点能构成三角形,则实数则实数k k应满足的条件是应满足的条件是_._.OAOB OC【解析【解析】若点若点A,B,
26、CA,B,C能构成三角形能构成三角形,则向量则向量 不共不共线线.因为因为 =(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以所以1 1(k+1)-2k0,(k+1)-2k0,解得解得k1.k1.答案答案:k1k1ABAC ，ABOBOA ACOC OA3.3.设向量设向量a=(1,2),=(1,2),b=(2,3),=(2,3),若向量若向量a+b与向量与向量c=(-4,=(-4,-7)-7)共线共线,则则=_.=_.【解析【解析】因为因为a=(1,2
27、),=(1,2),b=(2,3),=(2,3),所以所以a+b=(,2)=(,2)+(2,3)=(+2,2+3).+(2,3)=(+2,2+3).因为向量因为向量a+b与向量与向量c=(-4,-7)=(-4,-7)共线共线,所以所以-7(+2)+4(2+3)=0.-7(+2)+4(2+3)=0.所以所以=2.=2.答案答案:2 2思想方法系列思想方法系列9 9向量中的数形结合思想向量中的数形结合思想【思想诠释【思想诠释】数形结合就是把抽象的数学语言、数量数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过通过“以以形助数形助数”或
28、或“以数解形以数解形”即通过抽象思维与形象思维即通过抽象思维与形象思维的结合的结合,可以使复杂问题简单化可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化抽象问题具体化,从而从而起到优化解题途径的目的起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点向量中的数形结合思想应关注以下几点:(1)(1)向量的几何表示关注方向向量的几何表示关注方向.(2)(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征形的特征.(3)(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征.【典例【典例】给定两个长度为给定两个长度为1 1的平面
29、向量的平面向量 和和 它们它们的夹角为的夹角为 如图所示如图所示,点点C C在以在以O O为圆心的为圆心的 上运动上运动.若若 其中其中x,yRx,yR,求求x+yx+y的最大值的最大值.OAOB，2.3ABOCxOAyOB ，【解析【解析】以以O O为坐标原点为坐标原点,所在的直线所在的直线为为x x轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系,如图所示如图所示,则则A(1,0),B A(1,0),B 设设AOC=AOC=则则C(cos,sinC(cos,sin),),OA13().22，2(0)3，1cosxy 2OCxOAyOB3siny2 ，由，得，所以所以x=cos+sin,yx=cos
30、+sin,y=sin,=sin,所以所以x+y=cosx+y=cos+sin=2sin +sin=2sin 又又 所以当所以当=时时,x+y,x+y取得最大值取得最大值2.2.3332 33()6，203，3【技法点拨【技法点拨】向量中的数形结合思想必须理清的四个向量中的数形结合思想必须理清的四个问题问题:一是向量运算的平行四边形法则、三角形法则一是向量运算的平行四边形法则、三角形法则;二是向量模的几何意义二是向量模的几何意义;三是向量的方向三是向量的方向;四是题目中涉及图形有哪些性质四是题目中涉及图形有哪些性质.【即时训练【即时训练】如图如图,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,且且AD=BC,E,FAD=BC,E,F分别为线分别为线段段ADAD与与BCBC的中点的中点.设设 =a,=,=b,试用试用a,b表示向量表示向量13BA BC EFDFCD.，【解析【解析】111EFEAABBF,623 babba 111DFDEEF(,636112CDCFFD(.263 bba)babba)ab
