1、二、无界函数广义积分的二、无界函数广义积分的收敛判别法收敛判别法广义积分无穷限的广义积分无界函数的广义积分一、无穷限广义积分的收敛判别法一、无穷限广义积分的收敛判别法2 2 广义积分的收敛判别法广义积分的收敛判别法定理定理1.,0)(,),)(xfaCxf且设若函数xattfxFd)()()d.af xx则广义积分收敛,),上有上界在a证证:,0)(xf,),)(上单调递增有上界在axF根据极限收敛准则知 xaxxttfxFd)(lim)(lim存在,()d.af xx即广义积分收敛（Cauchy收敛原理）定理定理 2.2.()af x dx广义积分收敛000,AaA AA使 对都 有|()|
2、.AAfx dx证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及极限存在的Cauchy准则即得。柯西（Cauchy，Augustin Louis1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成 就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来 在巴黎大学任教授，一直到逝世。在代数学 上，他有 行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光 学弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在 分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。1821年，在拉普拉斯和泊松
3、的鼓励下，柯西出版了分析教程、无穷小计算讲义、无穷小计算在几何中的应用这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。,),)(aCxf设有分大的x且对充)()(0 xgxf,则收敛xxgad)(收敛xxfad)(发散xxfad)(发散xxgad)(证证:不失一般性,),时设 ax)()(0 xgxf,d)(收敛若xxga有则对at xxftad)(xxgtad)(xxgad)(的是故txxftad)(因此 单调递增有上界函数,xxfxxfatatd)(d)(lim.d)(收敛即广义
4、积分xxfa,d)(发散若xxfa时有因为at xxgxxftatad)(d)(0,t令.d)(必发散可见广义积分xxga说明说明:已知xxapd11,p收敛1,p发散)0(a,)0()(作比较函数故常取AxAxgp得下列比较判别法.极限存在,),)(aCxf设非负函数,0)1M若存在常数有使对充分大的 xpxMxf)(;d)(收敛则xxfa,0)2N若存在常数有使对充分大的 xpxNxf)(.d)(发散则xxfa,1p,1p.)0(axxxd1sin1342解解:的收敛性.3421sin0 xx341x341x由比较判别法 1 可知原积分收敛.思考题思考题:讨论广义积分xxd11133的收敛
5、性.提示提示:当 x1 时,利用 11)1(1113333xxx可知原积分发散.,0)(,),)(xfaCxf且若;d)(收敛时xxfa.d)(发散时xxfalp0,1lp0,1lxfxpx)(lim则有:1)当2)当证证:1),1时当p根据极限定义,对取定的,0当 x 充分大时,必有lxfxp)(,即pxMxf)(0)(lM;d)(收敛可见xxfa满足.d)(发散可见xxfa,1时p可取,0必有lxfxp)(即pxlxf)()(lNxN,0l使时用任意正l(,)lN 代替数pxxpxxfxfx1)(lim)(lim注意注意:此极限的大小刻画了.0)(的快慢程度趋于时xfx121dxxx的收敛
6、性.解解:2211limxxxx11lim21xx1根据极限判别法 1,该积分收敛.例例3.判别广义积分xxxd11223的收敛性.解解:21lim2321xxxx221limxxx1根据极限判别法 1,该积分发散.,d,),)(收敛）（且若axxfaCxf.收敛则广义积分adxf(x)证：证：,)()()(21xfxfx令则)()(0 xfx,d 收敛）（axxf,d)(也收敛axx)()(2)(xfxxfxxfxxxxfaaad)(d)(2d)(而.d)(收敛可见广义积分xxfa,d)(收敛xxfaxxfad)(,d)(收敛若axxf则称绝对收敛绝对收敛;xxfad)(,d)(发散若axx
7、f则称条件收敛条件收敛.例例4.判断广义积分)0,(dsine0abaxbxxa为常数的收敛性.解解:,esinexaxaxb因,de0收敛而xxa根据比较判别法知0esindaxbxx收敛，故由定理6知所给积分收敛(绝对收敛).无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分.,)(,()(的瑕点为设xfabaCxf由定义 babaxxfxxfd)(limd)(0则有令,1tax例如1120d)1(limd)(abtttafxxfbaabtttaf12d)1(因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数的广义积分中来.定理3 ()(,f xC a b a设非负函数为,0)1M若存在常数qax
8、Mxf)()(;d)(收敛则xxfba,0)2N若存在常数axNxf)(.d)(发散则xxfba,1q瑕点,有有利用xaxbaqd)(11,q收敛1,q发散类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.使对一切充分接近 a 的 x(x a).，且若0)(,()(xfbaCxf;d)(,收敛时xxfba.d)(,发散时xxfbalq0,10lq0,1lxfaxqx)()(lim则有:1)当2)当例例5.判别广义积分.lnd31的敛散性xx解解:,1为瑕点此处x利用洛必达法则得xxxln1)1(lim1xx111lim1根据极限判别法2,所给积分发散.定理4 )1()1)(1(d210222kxk
9、xx敛性.解解:,1为瑕点此处x由于 1limx的收12(1)x)1)(1(1222xkx)1)(1(1lim221xkxx)1(212k根据极限判别法 2,椭圆积分收敛.,d)(baxxf收敛为瑕点)(a若广义积分例例7.判别广义积分xxxdln10的收敛性.解解:,d)(baxxf收敛称为绝对收敛.,0为瑕点此处x,0lnlim410 xxx因,1ln,41xxx 有的故对充分小从而 1434lnlnxxxxx341x据比较判别法2,所给积分绝对收敛.则广义积分 1.定义定义:函数下面证明这个特殊函数在0s内收敛.1121011de,dexxIxxIxsxs.)11I讨论)0(de)(01
10、sxxsxs令;,11是定积分时当Is,10时当 sxsxsxxe11e11sx11,11s而.1收敛知2根据比较判别法I)(的广义积分s含参变量)e(1xsxxsxxelim1.)22I讨论2lim xx0112dexxIxs.12收敛根据极限判别法I知综上所述,21)(IIs.0上收敛在s(1)递推公式证证:0de)1(xxsxs)0()()1(ssss(分部积分)0dexsx01dee0 xxsxxsxs)(ss注意到:0de)1(xx1有,Nn)()1(nnn)1()1(nnn)1(!n!n证证:,)1()(sss.)(,0ss时当1)1(,0)(连续在且可证明ss)(,0ss时(3)
11、余元公式:)10()sin()1()(ssss有时当,21s)(21(证明略)得令,2ux 的其他形式)(s)0(de)(01sxxsxs)0(de2)(0122suussu,12ts再令,21 ts即得应用中常见的积分)1(2121de02ttuuut这表明左端的积分可用 函数来计算.例如,0de2uu21212四、*A-D判别法定理定理 9条满若下列件之一足，(1)(Abel判别法)(2)(Dirichlet判别法)()():af x g x dx收敛都有(),af x dx敛收()g x 在,a单调+上有界；()()AaF Af x dx,)a 在上有界，(),)gxa 在上 单 调 且
12、lim()0.xg x阿阿 贝贝 尔尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829）挪威数学家。挪威数学家。1802年年8月月5日生于芬岛，日生于芬岛，1829年年4月月 6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。教区穷牧师的六个孩子之一。阿贝尔在他的所有著作中都打下了天才的烙印和阿贝尔在他的所有著作中都打下了天才的烙印和 表现出了不起的思维能力。我们可以说他能够穿透一表现出了不起的思维能力。我们可以说他能够穿透一 切障碍深入问题的根底，具有似乎无坚不摧的气势切障碍深入问题的根底，具有似乎无坚不摧的气势.
13、。他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他人品也像他的天才那样受到人们不同寻常的爱戴。人品也像他的天才那样受到人们不同寻常的爱戴。”数学家们有法纪念他们中数学家们有法纪念他们中的伟人，我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝的伟人，我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛判别法、阿贝尔可和性。很少有几个数尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛判别法、阿贝尔可和性。很少有几个数学家能使他的名字同数学中的这么多概念和定理联系在一起。学家能使他的名字同数学中的这么多概念和
14、定理联系在一起。狄利克莱（狄利克莱（Dirichlet）（1805-1859）德国数学家。解析数论的创始人之一。在数论方面关于 Fermat方程，先后给出了n=5,n=14时无整数解的证明。他著 有数论讲义（1863，遗著），对Gauss的算术研究作 出了清楚的解释并有自己的独创。他证明了在任何算术序列 a+nb(其中a与b互素)中，必存在无穷多个素数，这就是著 名的Dirichlet定理。他在分析学和数学物理方面也有很多重大贡献。在1892年的论文“关于三角级数的收敛性”中得到给定函数f(x)的Fourier级数收敛的第一充分条件.这一研究还促使他将函数作了一般化推广。1829，他给出了具有
15、典型意义的函数：称为Dirichlet函数。这一工作使得数学从研究函数的计算转变到研究函数的概念，性质和结构。他在1837年证明了：对一个绝对收敛级数，可以把它的项加以组合重新排列，而不改变原级数的和，并举例说明对一个条件收敛级数则不然。他修改了Gauss关于位函数论的一个原理，引入了所谓Dirichlet原理。还论述了著名的第一边值问题（现称为Dirichlet问题）。Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，
16、直到逝世。例例 81sin.xdxx判别广义积分的收敛性解解1sincos1 cosAxdxA显然有界，11lim0,xxx单调且Dirichlet由判别法得，1sin xdxx收敛。例例 91sin arctan.xxdxx判别广义积分的收敛性解解1sin8,xdxx由例，收敛arctan1,)x又在单调有解，Abel由判别法得，1sin arctan.xxdxx收敛与定理9类似，我们有若下列两个条件之一满足，(1)(Abel判别法)(2)(Dirichlet判别法)()():baf x g x dx收敛都有(),baf x dx收敛()g x 在,)a b 上单调有界；()()baFf x
17、 dx,)a b在上有界，(),)gxa b在上 单 调 且lim()0.xbg x10定定理理 1.两类广义积分的比较判别法比较判别法和极限判别法极限判别法.2.若在同一积分式中出现两类广义积分,习题课 可通过分项使每一项只含一种类型的广义积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.函数的定义及性质.思考与练习思考与练习4 4.*A-D判别法10 1xdxx当为时广义积敛发？何值，分收、散1111001111xxxdxdxdxxxx111100lim1,11011xxxxdxxx当，即时，收敛分析：1121lim1,21111xxxxdxxx又当，即时，收敛1100010111xxdxdxxx当时，收敛；当或者时，发散。P.277 2(2),(4),(5);6 ；7 P.289 2（2）（4）（6）；5 以上有不当之处，请大家给与批评指正，以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢谢大家！
