1、 在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转问题为例来说明空间三维问题的求解过程。问题为例来说明空间三维问题的求解过程。（无体力）（无体力）对于圆杆扭转：（扭矩对于圆杆扭转：（扭矩Mz=MT）应力：应力：x=y=z=xy=0 ，IyMTzxIxMTzy位移分量：位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=0,K为单位长扭转角。为单位长扭转角。GIMKT 对于一般等截面杆扭转对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由称为自由扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参考圆杆扭转解进行假设考圆杆扭转解进行假设半逆解。半逆解。对于一般等截面杆自由扭转，
2、可设位移分量：对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,（u、v与园杆扭转一致）与园杆扭转一致）w=K(x,y)w不能为零不能为零,为为x,y函数。而函数。而(x,y)称为称为 扭曲函数。扭曲函数。无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。未知量为：未知量为：K和和(x,y)。（工程）应变分量：（工程）应变分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=K(x,y)0,xux0,yvy0,zwz0 xvyuxy)(yxKKyxKxwzuzx)(xyKKxyKywzvzy应力分量：应力分量：x=y=z=xy=0，)(yxGKzx)(xyGKzy所有物理量
3、均由所有物理量均由K和和(x,y)表示。表示。按位移法求解，基本方程为平衡微分方程按位移法求解，基本方程为平衡微分方程（三个）。（三个）。0zyxzzyzx 0)(2222yxGK 或或 2 2 =0=0 两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程为：为：基本方程仅为一个，求解基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由的方程。由基本方程可见基本方程可见(x,y)为一个调合函数。为一个调合函数。同时在基本方程中不出现同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应的确定当然也应通过边界条件来确定。通过边界条件来确定。扭曲函数扭曲函数(x,y)除了满足除了满足 2 2
4、=0,=0,还需还需要满足边界条件，要满足边界条件，首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）在侧边上方向余弦在侧边上方向余弦 (l,m,n)=()=(l,m,0)面力：面力：0ZYXijjinX00zxxyxnmlX00zyyxynmlY)()(0 xymGKyxlGKnmlZzzyzx满足满足 xyoz yxonMT-dxdy 上式也可以用上式也可以用 0)()(xymyxl边界条件用边界条件用(x,y)的偏微分表示。的偏微分表示。由于由于 dsdydndxxnl),cos(dsdxdndyynm),cos(则则 ymxldndyydndxxn代入侧面
5、边界条件代入侧面边界条件 mxlydndyydndxxn在扭杆端面（如在扭杆端面（如z=0):法线的方向余弦法线的方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)=(0,0,-1)杆端截面法线方向面力杆端截面法线方向面力 ，满足；，满足；0zZ合力为零合力为零0dAXA0dAYAzAMdAyXxY)(合力矩为合力矩为xyoz而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣维南原理，维南原理，在在,x,y方向面力分量不清楚方向面力分量不清楚,但要求但要求 0dAAzx0dAAzyzAzyzxMdAxy)(上式也可以表示为上式也可以表示为可以证明当扭曲函数可以证明当扭曲函
6、数(x,y)在主在主要边界上力边界条件满足时，要边界上力边界条件满足时，则则 和和 自然满足。见以下：自然满足。见以下：0dAAzx0dAAzy()zxAAdAKGy dAx2()KGyxdAx()()KGxyxxdxdyxxyy()()sKGxy lx m dsxy 利用格利用格林公式林公式0)()(xymyxl 2 2 =0=0 0 而第三个方程为：而第三个方程为：zAMdAxyyxyxKG)(22扭矩扭矩MT与与K 和和(x,y)的关系。的关系。用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数(x,y)和单位扭转角和单位扭转角K。2 2 =0=0 在在V V上
7、上 在杆侧边上在杆侧边上0)()(xymyxl由由求求(x,y)当当(x,y)确定后，利用杆端面条件确定后，利用杆端面条件zAMdAxyyxyxGK)(22求求K 令令 dAxyyxyxGDA)(22扭转刚度扭转刚度 当当(x,y)和和K均找到后，则扭杆的位移、均找到后，则扭杆的位移、应力均可求出。应力均可求出。证明扭曲函数证明扭曲函数 能用来求椭圆截能用来求椭圆截面杆面杆 的扭转问题，其中的扭转问题，其中a和和 b 为为椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为 xyabab222212222byax2233babaGKMz按位移法求解扭转问题要求在按位移法求解扭转问题要求
8、在V V内求解调和方程内求解调和方程 2 =0,其边界条件其边界条件 (x,y)的微分形式）但能满足边界条件调的微分形式）但能满足边界条件调合函数合函数 (x,y)是不易找到的。下面讨论按应力是不易找到的。下面讨论按应力法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函数法求解等截面杆扭转问题的作法。数法求解等截面杆扭转问题的作法。mxlyn2.1 2.1 按应力法求解方程按应力法求解方程 同圆杆扭转类似，设同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0仅存在仅存在 zx(x,y)=xz 和和 zy(x,y)=yz两个应力分量，将应力分量代入应力法的两个应力分量，将应力
9、分量代入应力法的基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）三个平衡方程三个平衡方程：0,zxz0,zyz0yxzyzx 前两式自然满足，剩下一个控制方程前两式自然满足，剩下一个控制方程 无体力相容方程为：无体力相容方程为：011,2ijij 由于设由于设 x=y=z=0，=0 则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个控制方程控制方程 2 2 zx=0=0 和和 2 2 zy=0=0按应力法求解按应力法求解基本方程为三个基本方程为三个 0),(),(yyxxyxzyzx 2zx=0 2zy=0边界条件：边界条件：在侧边：方向余
10、弦在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0)面力：面力：；前两个方程满足；前两个方程满足；0ZYX第三个力边界条件：第三个力边界条件：l zx+m zy=0 在端面：方向余弦在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)面力：面力：满足。满足。0zZ在在 x,y 方向面力应用圣维南原理方向面力应用圣维南原理0AAzxdAXdA0AAzydAYdAzAzyzxMdAxy)(2.2 2.2 按应力函数按应力函数(x,y)求解求解 设应力分量与应力函数的关系为设应力分量与应力函数的关系为(,),zxx yy(,)zyx yx 则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自则应力法第一个基本方程（
11、平衡微分方程）自然满足。然满足。常数常数C C是什么？是什么？C C 和位移法公式中的和位移法公式中的系数有什么关系系数有什么关系?将上式代入应力法的其它两个基本方程，得将上式代入应力法的其它两个基本方程，得 0)(22yy0)()(22xx 2 =C（泊（泊松方程）松方程）由应力函数法和位移法可知由应力函数法和位移法可知(,)(),zxx yGKyyx(,)()zyx yGKxxy222(1)(1)GKGKx yx y 2GKC 将应力函数将应力函数 代入杆侧边的边界条件代入杆侧边的边界条件 l zx+m zy=0 而而,dxdyldnds,dydxmdnds,zxyxzy代入边界条件，得代
12、入边界条件，得0dsdxxdsdyy 0dsd则应力函数在扭杆侧边应该为常数则应力函数在扭杆侧边应该为常数 :s=C1 yxonMT-dxdyl zx+m zy=0 对于单连域：可取对于单连域：可取 s=0 x yS1S0S2对于复连域：可取一条边界线对于复连域：可取一条边界线上上 s为零，而其它边界为零，而其它边界 s为非为非零常数：零常数：s0=0,si=Ci 0,i=1,2,3再将再将(x,y)代入端面上的边界条件：代入端面上的边界条件：方向余弦方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)，面力：面力：满足。满足。0zZ在在x,y方向面力应用圣维南原理方向面力应用圣维南原理0AAzxdAX
13、dA第一、二方程恒满足。第一、二方程恒满足。zxAAdAdxdyy0AAzydAYdA第一个方程第一个方程 第二个方程第二个方程 ()()0ABdy dxdxy 在在x,y方向面力应用圣维南原理方向面力应用圣维南原理第三个方程第三个方程 ()TAYxXy dAM()()2AxydAxy2()TAsdAxlym dsM()()zyzxAAxy dAxydAxy 左 yxoMTXY当为单连域时：在当为单连域时：在s上上 s=02TAMdA当为多连域时：当为多连域时：2()iTiAsdydxMdACxydsdsds s0=0,si=Ci 0,i=1,2,32()TAsdAxlym dsM 2()iT
14、iAsdydxMdACxydsdsds 122mTiiAiMdAC A(Ai为为si围成的面积。围成的面积。)()()iiiissCxlym dsCxdyydx(1(1)2iiiCdACA 总结：总结：按应力函数按应力函数(x,y)求解求解,(x,y)须满足须满足 2 =-2KG=C，且且(x,y)与与MT 之间满足之间满足 2TAMdA122mTiiAiMdAC A（单连域）（单连域）（多连域）（多连域）在柱体侧边在柱体侧边 s=0 （单连域）（单连域）si=Ci （多连域）（多连域）当当 k k 和和 (x,y)由上述方程确定后，可求由上述方程确定后，可求出出 zx、zy以及应变和位移。以
15、及应变和位移。对于截面形状比较复杂的柱体，不管采用位对于截面形状比较复杂的柱体，不管采用位移法还是应力法求解扭转问题解答（解析解）是移法还是应力法求解扭转问题解答（解析解）是很困难的，而普朗特（很困难的，而普朗特（ProndtlProndtl）在）在19031903年提出年提出了薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与了薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相等截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相似性，用薄膜来比拟扭杆，它可以帮助我们寻找似性，用薄膜来比拟扭杆，它可以帮助我们寻找扭转问题的解答扭转问题的解答,尤其是对截面较复杂的扭转可尤其是对截面较
16、复杂的扭转可以避开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实验以避开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实验测定，形象的获得一些有价值的解。测定，形象的获得一些有价值的解。xyooxzq TTTTTTdydx 一均匀薄膜形状同扭杆一均匀薄膜形状同扭杆截面，周边固定，并使薄膜截面，周边固定，并使薄膜受均匀微小压力受均匀微小压力q q作用，薄膜作用，薄膜将微微凸起，而形成曲面将微微凸起，而形成曲面 z=z(x,y)，薄膜仅承受张力（拉力）薄膜仅承受张力（拉力）T。下面来寻求薄膜垂度下面来寻求薄膜垂度z=z(x,y)所应满足所应满足的方程和边界条件。的方程和边界条件。xyooxzq TTTTTTdydx 寻求寻
17、求z=z(x,y)应满足的应满足的方程，即求解方程是由薄方程，即求解方程是由薄膜微元膜微元dxdy的的z方向的平衡方向的平衡条件来确定条件来确定(F Fz z=0=0)。0sinsinsinsin4321qdxdyTdxTdxTdyTdyxztg11sindxxzxzdxxzzxtg2222)(sinyztg33sindyyzyztg2244sinxyooxzq TTTTTTdydx0)()(2222qdxdydyyzyzTdxyzTdxdxxzxzTdyxzTdy整理后，得整理后，得 0)(2222qyzxzT或或 Tqz2 z(x,y)所应满足的方程。所应满足的方程。xyooxzq TTT
18、TTTdydx与扭转问题应力函数与扭转问题应力函数(x,y)所应满足方程和所应满足方程和边界条件相比（边界条件相比（2 =-2KG ，s=0），），与与z之间存在比拟关系之间存在比拟关系:薄膜垂度薄膜垂度z=z(x,y)所应满所应满足的边界条件：足的边界条件：zs=0（单连域）。（单连域）。2GKzq T薄膜垂度薄膜垂度z(x,y)可由实验测定，再根据上再可由实验测定，再根据上再根据上式可确定根据上式可确定 的分布规律。在应力函的分布规律。在应力函数解扭转问题时，考虑边界条件还有数解扭转问题时，考虑边界条件还有2222(2)TAAGKGKMdAzdAVq Tq T由此式确定比例系数（单连域）（
19、单连域）扭矩扭矩MT与薄膜垂度所围成体积的两倍之间与薄膜垂度所围成体积的两倍之间也同样存在一致的比拟关系。也同样存在一致的比拟关系。22TMGKVq T对于多连域，对于多连域，在孔边上应为常数，所以在在孔边上应为常数，所以在薄膜比拟试验中，开孔区应用平行于薄膜比拟试验中，开孔区应用平行于x-y平平面的无重刚性平板来代替。面的无重刚性平板来代替。扭杆剪应力：扭杆剪应力：22TzxMGKzzyq TyVy22TzyMGKzzxq TxVx 剪应力分量的大小剪应力分量的大小与该薄膜垂度上对与该薄膜垂度上对应点沿垂直方向的应点沿垂直方向的斜率成正比斜率成正比 yxsnzyzx扭转截面上任意点总剪应力扭
20、转截面上任意点总剪应力（应力矢量（应力矢量t）数值和方向确定数值和方向确定:任意点总剪应力数值任意点总剪应力数值2222()()()()2TzxzyMzzVyx可利用薄膜等高线，平行于可利用薄膜等高线，平行于x-y面的平面与薄面的平面与薄膜相截可获得一系列闭合曲线膜相截可获得一系列闭合曲线薄膜等高线。薄膜等高线。在等高线上任意点应力可沿在等高线上任意点应力可沿x,y方向分解，也可沿方向分解，也可沿n,s方方向分解。根据剪应力分量与向分解。根据剪应力分量与薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例:,2TnMzsVs2TSMznVn 在等高线上在等高线上 ,所以在等高线上所以在等高
21、线上 0sz0n yxsnzyzx任意点总剪力任意点总剪力 2TSMzVn（等高线切方向）与垂度等高线的垂直方向斜（等高线切方向）与垂度等高线的垂直方向斜 率成正比。薄膜等高线为扭杆横截面上的剪率成正比。薄膜等高线为扭杆横截面上的剪 应力线。应力线。maxmax()2TMzVn发生在薄膜具有最陡斜率的点处，一般在杆发生在薄膜具有最陡斜率的点处，一般在杆边界上。边界上。yxsnzyzx截面上的最大剪应力截面上的最大剪应力 总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系 yzxzzn柱扭转柱扭转(x,y)2GK Mz zx,zy（等高（等高线方向）线方向）薄膜比薄膜比拟拟z(
22、x,y)q/T 2V,ba yx 采用应力函数解法求扭转问题采用应力函数解法求扭转问题,应力函数应力函数(x,y)在域内满足方程在域内满足方程 2 =-2KG （1 1）例题例题1.椭圆截面杆的扭转。椭圆截面杆的扭转。在边界上满足方程在边界上满足方程 s=0（2）以及以及 （3 3）AzdAM2由于椭圆杆截面方程为由于椭圆杆截面方程为 01),(2222byaxyxf因此，可设应力函数因此，可设应力函数(x,y)为为)1(),(2222byaxmyxmf则则(x,y)自然满足方程自然满足方程 s=0。ba yx代回代回 (x,y)2222()KGa bmab 22222222(1)()KGa
23、bxyabab再代回（再代回（3 3）式）式 zbbaaMdxdybyaxm)1(22222注意注意 432abdAy432badAxabdA，将将(x,y)代入基本方程代入基本方程 2 2 =-2KG=-2KG ，得得 再代回（再代回（3 3）式）式 zbbaaMdxdybyaxm)1(22222注意注意 32,4aby dA32,4a bx dAabdA得得 abMmz22222233()()zMabm abGKa ba b 2222(1)zMxyab ab 应力分量应力分量 32abyMyzzxbaxMxzzy32各点总剪应力：各点总剪应力：4242222byaxabMzzyzx最大剪应
24、力在柱截面边界上（最大剪应力在柱截面边界上（）：）：12222byax)1(12222222abbaybaMz设设a b，当，当 y=b 时时 为最大。为最大。应变应变:x=y=z=xy=0，32abGyMGzzxzxbaGxMGzzyzy32位移：当不考虑刚体位移时位移：当不考虑刚体位移时 223()zMabuKzyzyG a b 223()zMabvKzxzxG a b xybaGbaw3322)(椭圆杆扭转时，杆纵椭圆杆扭转时，杆纵向发生位移。向发生位移。例题例题2.等边三角形截面（高为等边三角形截面（高为a）受扭矩）受扭矩Mz 作用，求截面剪应力。作用，求截面剪应力。x-a=0ax y
25、03 yx03yx解：对于单连域，应力函数解：对于单连域，应力函数 s=0，考虑此原因，设，考虑此原因，设 时同椭圆杆扭转一样，取时同椭圆杆扭转一样，取 三角形截面杆的边界方程为三角形截面杆的边界方程为 的因子。的因子。设设)3)(3)(yxyxaxm则则 (x,y)自然满足方程自然满足方程 s=0。2 =-2KG 得得 4ma=-2KG,aGKm2将将(x,y)代入基本方程代入基本方程 x-a=0ax y03 yx03yx利用利用 AzdAM2或或 zaxxMdxdyyxyxaxm)3)(3)(2033得得 ，则，则 515 32zmMa 515 3()(3)(3)2zMxa xy xya
26、4215 3zmaKMGGa)3)(3)(yxyxaxm应力分量为应力分量为 yaxMayzzx)(3455)323(2315225yaxxMaxzzy截面上最大剪应力：截面上最大剪应力：zMa3max2315 y=-b/2 y=b/2 x=a/2 x x=-a/2 y例题例题3.矩形截面杆的扭转。矩形截面杆的扭转。矩形截面矩形截面(a b)受扭矩受扭矩Mz作用，应力函数中要求作用，应力函数中要求 s=0 如果假设应力函数为如果假设应力函数为)4)(4()2)(2)(2)(2(2222byaxmbybyaxaxm满足满足 s=0，但，但 2 2 =-2kG-2kG 不能满足。不能满足。所以直接
27、采用上述所以直接采用上述 s=0 的假设式不能作的假设式不能作为扭转的应力函数为扭转的应力函数.x yab 利用薄膜比拟，来判断狭矩形截面的应利用薄膜比拟，来判断狭矩形截面的应力函数特点。力函数特点。对于矩形截面杆扭转对于矩形截面杆扭转首先考虑首先考虑 a b时的时的情况情况,情况情况1 1:同样形状薄膜周边固定同样形状薄膜周边固定受均匀压力作用时，薄受均匀压力作用时，薄膜垂度变化如图，膜垂度变化如图，0zx0zx0 xz0 xzozz yxx yab可见垂度曲面沿可见垂度曲面沿x方向很长一段为柱方向很长一段为柱面，在此段面，在此段 ，只是在狭矩形截面两端部只是在狭矩形截面两端部 ，但区域，但
28、区域很小，近似法忽略两端影响很小，近似法忽略两端影响.0 x=(y)这样狭矩形界面扭转这样狭矩形界面扭转应力函数应力函数 也认为也认为 应满足基本方程为应满足基本方程为 GKCdyd2222（1）0 xz0 xzozz yx s=0 2()0byy（2）AzdAM2 zbbMdya222（3）x yab由式（由式（1）积两次分，得）积两次分，得 212)(CyCGKyy 将上式代入式（将上式代入式（2），得），得 C1=0,C2=GKb2/4=-GK(y2-b2/4)则则2()0byy最后将最后将 代入式（代入式（3），得），得 22222()4bbbaGKydy 左=-GK(y2-b2/4)
29、zbbMdya222332()63zbaGKbaGKM解得解得 33abMGKz则则)4(3223byabMz应力分量应力分量36abyMyzzx0zy截面上最大剪应力（截面上最大剪应力（y=b/2）：2max3abMzx yab原因是忽略了原因是忽略了 zy（近似的），如不忽略（近似的），如不忽略 zy（很小），但力臂大，产生另一半（很小），但力臂大，产生另一半 Mz/2，按近似计算，偏于保守。实际上按近似计算，偏于保守。实际上zzxzyMdxdyyx)(x yab将应力分量对截面形心取矩，得将应力分量对截面形心取矩，得2632zzzxMdyabyMydy情况情况2：一般矩形截面扭矩（：一般
30、矩形截面扭矩（a b 且且a b）:a/2 a/2b/2b/2x y按应力函数求解，按应力函数求解，则则(x,y)应满足应满足 2 =-2KG b/2=0,，a/2=0zMdxdy2 (x,y)和和 K为待定。为待定。1.将求解将求解(x,y)的问题转化的问题转化为求解一个调和函数为求解一个调和函数F(x,y)的问题的问题.考虑在狭矩形截面的应力函数为考虑在狭矩形截面的应力函数为 1=-GK(y2-b2/4)能满足能满足 2 2 1 =-2KG=-2KG 和和 1 y=b/2 b/2=0=0 条件，选一条件，选一般矩形截面的般矩形截面的 (x,y):=1+F(x,y)=-GK(y2-b2/4)
31、+F(x,y)a/2 a/2b/2b/2x y由于由于(x,y)满足满足 2 2 =-2KG=-2KG，s=0,.因此因此 F(x,y)需要满足需要满足 2 2F=0=0 F y=b/2=0,F x=a/2 =GK(y2-b2/4)323GKabMFdxdyz=-GK(y2-b2/4)+F(x,y)zMdxdy22.根据根据F(x,y)为调合函数以及满足对称边界条为调合函数以及满足对称边界条 件，件，F(x,y)亦采用级数形式的分离变量函数。亦采用级数形式的分离变量函数。即：即：bymbmxChAygxfAyxFmmmmmcos)()(),(3,1 Am为待定系数。为待定系数。3、利用边界条件
32、、利用边界条件 F a/2=GK(y2-b2/4)将将GK(y2-b2/4)展开为展开为 cos(m y/b)的级数，的级数，可将可将 Am 用用 GK 表示。表示。2sin821332mmGKbbamChAm4.最后利用最后利用 ，将将GK用用Mz 表示，并可确定应力分量表示，并可确定应力分量 zx,zy。具体过程参看徐芝纶（上册）具体过程参看徐芝纶（上册）P.330333。323GKabMFdxdyz 薄壁杆件在工程中经常碰见，它们可分薄壁杆件在工程中经常碰见，它们可分为开口薄壁和闭口薄壁杆件。下面分别讨论为开口薄壁和闭口薄壁杆件。下面分别讨论它们的计算方法。它们的计算方法。5.1开口薄壁
33、杆件的自由扭转开口薄壁杆件的自由扭转开口薄壁杆为单连域，其截面可由曲边等宽开口薄壁杆为单连域，其截面可由曲边等宽狭长矩形截面或由几个直边等宽狭长矩形截狭长矩形截面或由几个直边等宽狭长矩形截面组成。面组成。对于曲边狭长形截面可近似以等宽的直边对于曲边狭长形截面可近似以等宽的直边狭长截面代替进行计算。狭长截面代替进行计算。从薄膜比拟看两者围成的体积和最大斜率从薄膜比拟看两者围成的体积和最大斜率不会有多大差别，当两者受相同扭矩时，两个不会有多大差别，当两者受相同扭矩时，两个柱体的柱体的K 和剪应力没有多大差别。和剪应力没有多大差别。baMbax yM331GKabM 2max3abM36abMyzx
34、baMbax yM直边狭长截面剪应力计算式直边狭长截面剪应力计算式 对于由几个（若干个）同样材料的狭矩对于由几个（若干个）同样材料的狭矩形截面组成的薄壁杆形截面组成的薄壁杆,其中第其中第 i个狭矩形截面个狭矩形截面长长ai，宽，宽bi，则它应承受扭转为：，则它应承受扭转为：MM3331iiibGKaM 总的扭转为：总的扭转为：331iiizbaGKMMMM3M2M1M2M1则则 代回代回 Mi 表达式表达式 331iizbaMGK33iiizjjabMMa b第第 i 个狭矩形截面上的最大剪应力为个狭矩形截面上的最大剪应力为zjjiiiiiMbabbaM32max33331iiizbaGKMM
35、331iiibGKaM 5.2闭口薄壁杆扭转闭口薄壁杆扭转 闭口薄壁杆为多连域，按应力函数求解时闭口薄壁杆为多连域，按应力函数求解时 基本方程：基本方程：2 2 =-2KG=-2KGs0=0,si=Ci 0,i=1,2 iSiizAdAACdAMi2222Ai为为si围成的面积。围成的面积。对于二连域薄壁扭转杆（一个孔洞）：对于二连域薄壁扭转杆（一个孔洞）：2 2 =-2kG=-2kG s0=0,s1=C1 11112222AdAACdAMszS0s yxS1S0sx yS1对于薄膜比拟，在外对于薄膜比拟，在外边固定，而内周用无边固定，而内周用无重刚性平板重刚性平板薄膜垂度方程薄膜垂度方程 2
36、z=-q/T zs0=0,zs1=h AhhAzdAVA22221hqTTxz使薄膜受均匀压力使薄膜受均匀压力q后，后，在在S0上：上：z=0,在在S1上：上：z=h.对于闭口薄壁杆已知：对于闭口薄壁杆已知：Mz,，s（壁厚变化）（壁厚变化）.A 求任一点剪应力求任一点剪应力 s s和和k k:sn而而 AhV22S0s yxS1S0sx yS1hqTTxz2zMzVn22zzsMMzzVnhA n而而)(shtgnz则则 2()2()zzsMMhhAsAs剪应力计算公式剪应力计算公式 S0sx yS1hqTTxz 由由 ，得到，得到 222zzMMGKq TVhA4zqMTKGhA根据薄膜垂
37、直方向的平衡，得根据薄膜垂直方向的平衡，得 sinsqATds 1()shdsq TAs S0sx yS1hqTTxzsTtg ds()shdsAs 4zqMTKGhA()shdsq TAs 2()4zSdsMsKGA 22()zsMdsGKAAs 剪应力环流定理剪应力环流定理 2()zsMAsssds S0s yxS12ssGKAds 剪应力环流定理剪应力环流定理 剪应力环流定理：在柱体扭转时，横截面剪应力环流定理：在柱体扭转时，横截面内的任意一条封闭曲线上，应力环流等于这曲内的任意一条封闭曲线上，应力环流等于这曲线所围成的面积线所围成的面积 乘以乘以2GK2GK.Asdsdsn()xyds
38、xnyn ()lm dsxy 2ssGKAds 剪应力环流定理剪应力环流定理 dsmylxdsnyynxxdsndss)()(利用格林公式利用格林公式 2222)sAdsdxdyxy（(2)2AGK dxdyGKA 例：已知例：已知 ABC：长为：长为 s1，壁，壁厚厚 1;CDA：长为：长为 S2，壁厚，壁厚 2;CEA：长为：长为 S3，壁厚，壁厚 3。受扭矩受扭矩 Mz。求。求 1，2，3和和K。123ABA1A2CDEh2h1 1qTTT解：由未知量只需建立解：由未知量只需建立 有关它们的四个方程。有关它们的四个方程。由薄膜比拟：由薄膜比拟：1111222hGKzGKGKtgq Tnq
39、 Tq T1111222hGKzGKGKtgq Tnq Tq T2222hGKq T1233()2hhGKq T可得可得 221133332211或或 （1）剪力总流量为分流之和剪力总流量为分流之和123ABA1A2CDEh2h1 1qTTT利用剪应力环流定理利用剪应力环流定理 1 13 312ssGKA1 122122()ssGK AA（2）（3）由由 得得 22zMGKq TV1 12222()zGKMAhA hq T123ABA1A2CDE1 12222()zGKMAhA hq T将将 1112,hGKq T2222hGKq T代入上式，得代入上式，得)(2222111AAMz（4）1 13 312ssGKA1 122122()ssGK AA（1）（3）332211（2）由由(1)、(2)、(3)、(4)式联立求解，得式联立求解，得)(12321311AsAAsNMz)(21321312AsAAsNMz)(2121213AsAsNMz1 1311()2sKssGA其中其中)(22213212213221231AAsAsAsN
