1、投资中的数学问题投资中的数学问题复旦大学数学学院陆立强2022-12-29主要内容主要内容 等比级数 货币的时间价值 年金问题 投资决策2022-12-29等等 比比 级级 数数等比数列,2nnaqaqaqaqa等比数列之和nkknnnkknqaqqqaaqaqaqaaqS0220)1(2022-12-29就有.111120qqqqqqnnnkk注意到公式),1)(1(121nnqqqqq于是.1110qqaqaSnnkkn2022-12-29货币的时间价值（货币的时间价值（1）概念和记号概念和记号P：本金投资金额n：投资期限r：利率单位本金单位本金在单位时间单位时间（期）中的获利,衡量投资价
2、值的重要指标I：利息投资的收益，I=f(P,n,r)S：本利和，S=P+I2022-12-29货币的时间价值（货币的时间价值（2）概念和记号概念和记号 利息公式1rnPI)1(rnPrnPPIPSn 单利公式 当当n1n1时，单利公式存在缺陷时，单利公式存在缺陷 2022-12-291221113321(1),(1)(1),(1)(1),(1)(1).nnnSPP rPrSSrSSrPrSSrPrSSrPr 复利公式.1)1(nnrPPSI 复利利息公式2022-12-29说明 不难证明1),1()1(nnrPrPn 复利公式和单利公式中的利率r为单期利率，一般根据年利率折算而来。2022-1
3、2-29年利率和单期利率 返回首页 期长年利率（%）期利率（%）活期0.360.0013月1.710.42756月1.980.991年2.252.252年2.795.583年3.339.995年3.60182022-12-29例例 银行年利率为2.25%,一年结息一次,若三年后要得到本利和600元,应存入多少钱?3(1),600561.2564.(1)1.0225nnSPrSPr即应存入561.26元。解解 设存入钱数为P，由2022-12-29(1),lglglg(1)lglglg(1)lg1240lg70025.6976.lg1.0225nSPrSPnrSPnr即约需26年.例例 若本金7
4、00元，存一年期，利率为2.25%。若要本利和 达到1240元，需存多少时间？解解 2022-12-29货币的时间价值货币的时间价值nrPS)1(现值n期后持有的货币（面值S)现在的价值时间和利率是货币价值变化的时间和利率是货币价值变化的“幕后推手幕后推手”nnrSrSP)1()1(背景：货币的数目随着时间(n)而变终值现有货币（面值P）在n期后的数值2022-12-29例例 一处房产价格为21万元，据预测三年后价格将上涨到23万元，某人欲向银行贷款来进行此项投资。设银行贷款利率为5%，按复利计算，此项投资能否盈利？32319.87(1)1.05nSPr现值P小于23万元投资额，不能盈利。3(
5、1)21 1.0524.31nSPr终值大于23万元，即3年后归还银行的本利和超过那时房屋的价值，不能盈利。解解1 三年后23万元的现值为解解2 21万元3年后的终值为2022-12-29例：例：某地2009年人均收入是1999年的8倍，求10年内年均收入平均年增长率。如果平均年增长率保持不变，则2020年是2009年的几倍？复利公式中r的多重解释 利率 增长率 收益率48.92311.1)2311.01(%11.238)1(111110XXPPrPrP解解2022-12-29年金问题年金问题AAAAA12nnAAAAA12n-1n期初期末年金：定额定期的投资行为年金：定额定期的投资行为记号：
6、记号：A每期投资额每期投资额,r单期利率单期利率,n投资期投资期数数投资可发生在每期之初或每期之末投资可发生在每期之初或每期之末2022-12-29发生在期初年金的发生在期初年金的 终值终值 各期的终值1(1),(1),(1)nnArArAr求和得21(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1(1),(1)(1)1.nnnnSArArArArrrrArrArSrr2022-12-29发生在期末年金的终值发生在期末年金的终值 各期的终值ArArArAnn),1(,)1(,)1(21求和得.1)1(,1)1()1()1(1)1()1(11nnnnrrASrrArrArArAAS2022-12-
7、29年金终值公式的统一表示年金终值公式的统一表示(1)(1)1nAt rSrr 对发生在期初的年金，t取1，对发生在期末的年金，t取0。100,12,0.001425.Anr利用年金终值公式，得例例 零存整取从年初开始，每月存入100元，按月息0.1425%复利记息，到年底的本利和是多少？解解 这是期初发生的年金问题，本利和为其终值。其中12(1)(1)1100 1.001425(1.0014251)0.0014251211.17nArSrr2022-12-29年金的现值年金的现值由现值公式nnrSrSP)1()1(年金的现值为(1)1(1)nAt rPrr 对发生在期初的年金，t取1，对发生
8、在期末的年金，t取0。例例 房屋抵押贷款某人贷款购房，采用等额本息还款，若借款70万元，20年还清，月利率为0.63%，每月应还款多少？2022-12-29解解 每月末的还款可视作发生在期末的年金，其现值等于贷款总额，由现值公式1(1)nAPrr解得2401(1)700000 0.006355651 1.0063nP rAr2022-12-29投资决策投资决策投资回报率投资回报率记号：投资I(元);投资行为结束时回收V(元,称为毛收益毛收益);净净收益收益f(元),扣除本金后的收益，f=V-I.定义：单位投资的净收益为投资回报率投资回报率，记为R.fVIRII对于期限相同期限相同的不同投资方案
9、，可根据它们的投资回报率大小来判别项目的优劣。2022-12-2911112222,;,I Vf R I VfR有111111222222100.1,10080.16.50fVIRIIfVIRII第二项回报率高，优于第一项投资。例例 有两套房产，一套报价100万，据评估3年后升值为110万；另一套报价50万，3年后值58万。哪项投资更优？解解 分别记两项投资的投资额、毛收益、净收益、回报率为：2022-12-29复杂投资决策举例复杂投资决策举例例例 某药厂贷款进行技术改造，有两种方案：方案1：投资100万元购买新设备，每年年末可增收20万元；方案2：投资80万元更新设备，每年初可节省16万元的
10、检修费；若这些设备均可使用8年，银行贷款利率为9%，哪个方案经济效益更好？对投资期限不同的投资，需根据货币时间价值的观点具体问题具体分析。解解 比较8年后的收益。方案1：投资100万元8年后的价值为81(1)100 1.09199.256nSPr万元2022-12-298年后增收的终值为818(1)11.09120220.5680.09nrSAr万元净收益为1181220.568 199.25621.312fSS万元方案2：投资8年后的价值为822(1)80 1.09159.404nSPr万元 8年后节省检修费的终值为288(1)(1)116 1.09/0.09(1.091)199.337nA
11、rSrr万元2022-12-29方案2的净收益为228239.933fSS万元21ff所以方案2优于方案1。例例 某厂试制新产品，投产后每年末可增加收益10万元，为生产该产品须增加某些设备，若购置需一次付款25万元；若租赁这些设备，每年初付租金3.3万元。若厂方用贷款措筹资金，贷款复利年利率为9.8%（设设备的寿命为10年），哪一方案更好？10101(1)(11.098)61.9970.98nAPrr万元解解 用现值的观点讨论。10年每年末增收10万元的现值为2022-12-291261.9972536.99761.99722.45739.520ff购置设备或租赁设备净收益的现值分别为10(1
12、)3.3 1.0981(1)(1 1.098)22.4570.098nArPrr万元万元万元12ff方案2更好。每年初付租金的现值为：2022-12-29现金流现金流 对于存在多次投资、多次收益且使用贷款的复杂投资则一般先构造投资期限内的现金流现金流F0,F1,Fn,Fi0:收益金额，Fi0:投资金额，i=0,n 例：例：某厂试制新产品，投产后每年末可增加收益10万元，为生产该产品须增加某些设备，需一次付款25万元,设设备的寿命为10年.则该项投资的现金流为：-25,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10 例：例：房地产开发的现金流2022-12-29内部收益率内部收益率设
13、某项投资的现金流为 F0,F1,Fn,则称方程的解为该项投资的内部收益率，内部收益率，是比较投资方案的重要依据0)1(1niiiyF例：例：有两个投资方案方案1：投资41万，每年收益5万，连续10年；方案2：投资32万，每年收益5万，连续14年；比较投资收益2022-12-29解：方案1的现金流为-41,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,对应方程等价于：采用近似计算（如二分法），可解得y=3.78%0)1(541101iiy0)1)1()1(5411010yyy2022-12-29方案2的现金流为-32,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,对应方程等价于：采用近似计算（如二分法），可解得y=3.85%相比较，方案2更好。总结：内部收益率可以处理复杂现金流的投资回报问题，总结：内部收益率可以处理复杂现金流的投资回报问题，但需要求解一个高次方程，必须借助于计算工具。但需要求解一个高次方程，必须借助于计算工具。0)1(332141iiy0)1)1()1(3321414yyy
