1、2.1.22.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.会判断空间两直线的位置关系会判断空间两直线的位置关系. . 2.2.理解两异面直线的定义理解两异面直线的定义, ,会求两异面直线所成的角会求两异面直线所成的角. . 3.3.能用公理能用公理4 4和等角定理解决一些简单的相关问题和等角定理解决一些简单的相关问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.异面直线异面直线 (1)(1)定义定义: :不同在不同在 的两条直线叫做异面直线的两条直线叫做异面直线. . (2)(2)画法画法: : 任何
2、一个平面内任何一个平面内 2.2.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 位置关系位置关系 共面情况共面情况 有无公共点有无公共点 相交相交 在同一平面内在同一平面内 . 平行平行 在同一平面内在同一平面内 没有公共点没有公共点 异面异面 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内 没有公共点没有公共点 有且只有一个公共点有且只有一个公共点 3.3.平行线的传递性平行线的传递性 公理公理4:4:平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线 . . 符号表示符号表示:ab,bc:ab,bcac.ac. 4.4.定理定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行空间中如果两个角的两边分别对应
3、平行, ,那么这两个角那么这两个角 . . 互相平行互相平行 相等或互补相等或互补 5.5.异面直线所成的角异面直线所成的角 (1)(1)定义定义: :已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,a,b,经过空间任一点经过空间任一点O O作直线作直线aa,bb,aa,bb, 则则aa与与bb所成的所成的 ( (或或 ) )叫做异面直线叫做异面直线a a与与b b所成的角所成的角( (或夹角或夹角).). (2)(2)异面直线所成的角异面直线所成的角 的取值范围的取值范围:0:0 9090. . (3)(3)如果两条异面直线如果两条异面直线a a、b b所成的角是直角所成的角是直角, ,就说这两条直
4、线互相垂直就说这两条直线互相垂直, ,记记 作作ab.ab. 锐角锐角 直角直角 自我检测自我检测 C C D D C C 1.(1.(位置关系位置关系) )空间中空间中, ,不平行的两条直线的位置关系是不平行的两条直线的位置关系是( ( ) ) (A)(A)相交相交 (B)(B)异面异面 (C)(C)相交或异面相交或异面 (D)(D)以上都不对以上都不对 2.(2.(等角定理等角定理) )若若AOB=45AOB=45,OAOA,OBOB,OAOA,OBOB,则则AOBAOB等于等于 ( ( ) ) (A)45(A)45 (B)135(B)135 (C)45(C)45或或135135 (D)(
5、D)以上都不对以上都不对 3.(3.(异面直线的判定异面直线的判定) )若若a a和和b b是异面直线是异面直线,b,b和和c c是异面直线是异面直线, ,则则a a和和c c的位置关系的位置关系 是是( ( ) ) (A)(A)异面或平行异面或平行 (B)(B)异面或相交异面或相交 (C)(C)异面异面 (D)(D)相交、平行或异面相交、平行或异面 4.(4.(公理公理4 4位置关系位置关系) )下列四个结论中假命题的个数是下列四个结论中假命题的个数是( ( ) ) 垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一直线的两条直线互相平行; ; 平行于同一直线的两直线平行平行于同一直线的两直线平行;
6、 ; 若直线若直线a,b,ca,b,c满足满足ab,bc,ab,bc,则则ac;ac; 若直线若直线l l1 1,l,l2 2是异面直线是异面直线, ,则与则与l l1 1,l,l2 2都相交的两条直线是异面直线都相交的两条直线是异面直线. . (A)1(A)1 (B)2(B)2 (C)3(C)3 (D)4(D)4 B B 5.(5.(异面直线的判定异面直线的判定) )如图所示如图所示,G,H,M,N,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中分别是三棱柱的顶点或所在棱的中 点点, ,则表示直线则表示直线GHGH与与MNMN是异面直线的图形有是异面直线的图形有 . . 答案答案: : 答案答
7、案: :6060 6.(6.(异面直线所成的角异面直线所成的角)(2015)(2015德阳市中江县龙台中学高二德阳市中江县龙台中学高二( (上上) )期中期中) )正正 方体方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,异面直线异面直线A A1 1B B与与B B1 1C C所成角的大小为所成角的大小为 . . 课堂探究课堂探究 空间位置关系的判断空间位置关系的判断 题型一题型一 【教师备用教师备用】 过平面外一点和平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面过平面外一点和平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面 直线直线, ,正确吗正确吗? ?
8、提示提示: :正确正确. . 【例例1 1】 (2015(2015德阳市中江县龙台中学高二德阳市中江县龙台中学高二( (上上) )期中期中) )如图如图, ,点点P P、Q Q、R R、S S分分 别在正方体的四条棱上别在正方体的四条棱上, ,并且是所在棱的中点并且是所在棱的中点, ,则直线则直线PQPQ与与RSRS是异面直线的一是异面直线的一 个图是个图是( ( ) ) 解析解析: :A A 中的中的 PQPQ 与与 RSRS 是两条平行且相等的线段是两条平行且相等的线段;B;B 中的中的 PQPQ 与与 RSRS 是两条平行是两条平行 且相等的线段且相等的线段;D;D 中中, ,由于由于
9、PRPR 平行且等于平行且等于 1 2 SQ,SQ,故四边形故四边形 SRPQSRPQ 为梯形为梯形, ,故故 PQPQ 与与 RSRS 是两条相交直线是两条相交直线, ,它们和棱交于同一个点它们和棱交于同一个点;C;C 中的中的 PQPQ 与与 RSRS 是两条既不是两条既不 平行平行, ,又不相交的直线又不相交的直线, ,故选故选 C.C. 题后反思题后反思 判定两直线异面的常用方法判定两直线异面的常用方法 (1)(1)定义法定义法: :由定义判断两直线不可能在同一平面内由定义判断两直线不可能在同一平面内; ; (2)(2)排除法排除法( (反证法反证法):):排除两直线共面排除两直线共面
10、( (平行或相交平行或相交) )的情况的情况. . 即时训练即时训练1 1- -1:(20151:(2015蚌埠市五河高中高二蚌埠市五河高中高二( (上上) )期中期中) )若两条直线和一个平面相若两条直线和一个平面相 交成等角交成等角, ,则这两条直线的位置关系是则这两条直线的位置关系是( ( ) ) (A)(A)平行平行 (B)(B)异面异面 (C)(C)相交相交 (D)(D)平行、异面或相交平行、异面或相交 解析解析: :两直线可能相交、平行两直线可能相交、平行, ,也可能异面也可能异面, , 故选故选D.D. 证明证明: :假设假设AEAE和和DFDF不是异面直线不是异面直线, ,则则
11、AEAE和和DFDF共面共面, ,设过设过AEAE、DFDF的平面为的平面为. (1)(1)若若E E、F F重合重合, , 则则E E是是BCBC的中点的中点, ,这与题设这与题设ABACABAC相矛盾相矛盾; ; 【备用例备用例1 1】 已知空间四面体已知空间四面体ABCDABCD中中,ABAC,AE,ABAC,AE是是ABCABC的边的边BCBC上的高上的高,DF,DF 是是BCDBCD的边的边BCBC上的中线上的中线, ,求证求证:AE:AE和和DFDF是异面直线是异面直线. . (2)(2)若若E E、F F不重合不重合, ,因为因为BEF,CEF,EFBEF,CEF,EF , 所以
12、所以BCBC . 又因为又因为A,D,A,D, 所以所以A A、B B、C C、D D四点共面四点共面, , 这与题设这与题设ABCDABCD是空间四面体相矛盾是空间四面体相矛盾. . 综上可知综上可知, ,假设不成立假设不成立. . 所以所以AEAE和和DFDF是异面直线是异面直线. . 公理公理4 4及等角定理的应用及等角定理的应用 题型二题型二 【例【例 2 2】 在正方体在正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,P,P、Q Q、M M、N N 分别为分别为 ADAD、ABAB、C C1 1D D1 1、B B1 1C C1 1 的中点的中点, ,
13、求证求证:A:A1 1P PCN,ACN,A1 1Q QCM,CM,且且PAPA1 1Q=Q=MCMCN.N. 证明证明: :取取A A1 1B B1 1的中点的中点K,K,连接连接BKBK、KM.KM.易知四边形易知四边形MKBCMKBC为平行四边形为平行四边形. . 所以所以CMBK.CMBK. 又因为又因为A A1 1KBQKBQ且且A A1 1K=BQ,K=BQ, 所以四边形所以四边形A A1 1KBQKBQ为平行四边形为平行四边形, , 所以所以A A1 1QBK,QBK, 由公理由公理4 4有有A A1 1QCM,QCM, 同理可证同理可证A A1 1PCN,PCN, 由于由于PA
14、PA1 1Q Q与与MCNMCN对应边分别平行对应边分别平行, ,且方向相反且方向相反, , 所以所以PAPA1 1Q=MCN.Q=MCN. 题后题后反思反思 证明两直线平行的常用方法证明两直线平行的常用方法:(1):(1)利用平面几何的结论利用平面几何的结论, ,如平行四如平行四 边形的对边边形的对边, ,三角形的中位线与底边三角形的中位线与底边;(2);(2)定义法定义法: :即证明两条直线在同一个即证明两条直线在同一个 平面内且两直线没有公共点平面内且两直线没有公共点;(3);(3)利用公理利用公理4:4:找到一条直线找到一条直线, ,使所证的直线都使所证的直线都 与这条直线平行与这条直
15、线平行. . 即时训练即时训练 2 2 1:1:如图所示如图所示, ,空间四边形空间四边形 ABCDABCD 中中,E,E、F F、G G、H H 分别是分别是 ABAB、BCBC、 CDCD、DADA 的中点的中点. .求证求证: :四边形四边形 EFGHEFGH 是平行四边形是平行四边形. . 证明证明: :因为因为 EHEH 是是ABDABD 的中位线的中位线, , 所以所以 EHEH 1 2 BD.BD. 同理同理 FGFGBD,BD, 所以所以 EHEHFG,FG, 所以四边形所以四边形 EFGHEFGH 为平行四边形为平行四边形. . 【备用例备用例2 2】 如图所示如图所示, ,
16、已知已知E,F,G,HE,F,G,H分别是空间四边形分别是空间四边形ABCDABCD的边的边AB,BC,AB,BC, CD,DACD,DA的中点的中点. .若若ACBD,ACBD,求证求证: :四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形. . 证明证明: :连接连接 EFEF、FGFG、GHGH、HE,HE, 易知易知 EHEHFG,FG, 所以四边形所以四边形 EFGHEFGH 为平行四边形为平行四边形. . 因为因为 HGHG 是是ADCADC 的中位线的中位线, , 所以所以 HGHGAC.AC. 又又 EHEHBD,ACBD,ACBD,BD, 所以所以 EHEHHG,HG, 所以四边形所
17、以四边形 EFGHEFGH 为矩形为矩形. . 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 题型三题型三 【例【例 3 3】 (2015 (2015 大同一中高二大同一中高二( (上上) )月考月考) )如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 A A BCDBCD 中中,O,E,O,E 分别是分别是 BD,BCBD,BC 的中点的中点,AO,AOOC,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=OC,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2, , 求异面直线求异面直线 ABAB 与与 CDCD 所成角的余弦值所成角的余弦值. . 解解: :取取 ACAC 的中点的中点 M,M,连接连接 OM,ME,OE,OM
18、,ME,OE,由由 E E 为为 BCBC 的中点知的中点知 MEMEAB,OEAB,OEDC,DC, 所以直线所以直线 OEOE 与与 EMEM 所成的锐角就是异面直线所成的锐角就是异面直线 ABAB 与与 CDCD 所成的角所成的角. . 在在OMEOME 中中,EM=,EM= 1 2 AB=AB= 2 2 ,OE=,OE= 1 2 DC=1,DC=1, 因为因为 OMOM 是是 RtRtAOCAOC 斜边斜边 ACAC 上的中线上的中线, ,所以所以 OM=OM= 1 2 AC=1,AC=1, 取取 EMEM 的中点的中点 H,H,连连 OH,OH,则则 OHOHEM,EM, 在在 Rt
19、RtOEHOEH 中中, ,所以所以 coscosOEM=OEM= EH OE = = 12 22 1 = = 2 4 . . 题后题后反思反思 求异面直线所成角的一般步骤求异面直线所成角的一般步骤:(1):(1)找找( (或作出或作出) )异面直线所成异面直线所成 的角的角用平移法用平移法, ,若题设中有中点若题设中有中点, ,常考虑中位线常考虑中位线.(2).(2)求求转化为求一转化为求一 个三角形的内角个三角形的内角, ,通过解三角形通过解三角形, ,求出所找的角求出所找的角.(3).(3)结论结论设设(2)(2)所求角大所求角大 小为小为.若若0 09090, ,则则即为所求即为所求;
20、 ;若若9090180180, ,则则180180- -即即 为所求为所求. . 即时训练即时训练 3 3 1:(20151:(2015 杭州市重点中学高二联考杭州市重点中学高二联考) )如图如图, ,在正方体在正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 中中,E,E、F F、G G、H H 分别为分别为 AAAA1 1、ABAB、BBBB1 1、B B1 1C C1 1的中点的中点, ,则异面直线则异面直线 EFEF 与与 GHGH 所成的角所成的角 等于等于 . . 解析解析: :取取A1B1A1B1中点中点M M连接连接MG,MH,MG,MH,则则MGEF
21、,MGMGEF,MG与与GHGH所成的角等于所成的角等于EFEF与与GHGH 所成的角所成的角. .容易知道容易知道MGHMGH为正三角形为正三角形,MGH=60,MGH=60, ,所以所以EFEF与与GHGH所成的所成的 角等于角等于6060. . 答案答案: :6060 【备用例【备用例 3 3】 如图如图, ,在空间四边形在空间四边形 ABCDABCD 中中,AD=BC=2,E,AD=BC=2,E、F F 分别是分别是 ABAB、 CDCD 的中点的中点, ,若若 EF=EF=3, ,求异面直线求异面直线 ADAD、BCBC 所成角的大小所成角的大小. . 解解: :如图如图, ,取取
22、BDBD 的中点的中点 M,M,连接连接 EMEM、FM.FM. 因为因为 E E、F F 分别是分别是 ABAB、CDCD 的中点的中点, ,所以所以 EMEM 1 2 AD,FMAD,FM 1 2 BC,BC, 则则EMFEMF 或其补角就是异面直线或其补角就是异面直线 ADAD、BCBC 所成的角所成的角. . AD=BC=2,AD=BC=2,所以所以 EM=MF=1,EM=MF=1, 在等腰在等腰MEFMEF 中中, ,过点过点 M M 作作 MHMHEFEF 于于 H,H, 在在 RtRtMHEMHE 中中,EM=1,EH=,EM=1,EH= 1 2 E EF=F= 3 2 , ,则则 sinsinEMH=EMH= 3 2 , , 于是于是EMH=60EMH=60, ,则则EMF=2EMF=2EMH=120EMH=120. . 所以异面直线所以异面直线 ADAD、 BCBC 所成的角为所成的角为EMFEMF 的补角的补角, ,即异面直线即异面直线 ADAD、 BCBC 所成的角为所成的角为 6060. . 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
