1、1.3.21.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解球的表面积和体积计算公式了解球的表面积和体积计算公式. . 2.2.会求与球有关的简单组合体的体积和表面积会求与球有关的简单组合体的体积和表面积. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.半径是半径是 R R 的球的体积为的球的体积为 V=V= 3 4 3 R . . 2.2.半径是半径是R R的球的表面积为的球的表面积为S=S= . . 4 4 R R2 2 自我检测自我检测 D D 1.(1.(球的表面积与体积公式球的表面积与体积公式) )若球的体积与其表面积数
2、值相等若球的体积与其表面积数值相等, ,则球的则球的 半径等于半径等于( ( ) ) (A)(A) 1 2 (B)1(B)1 (C)2(C)2 (D)3(D)3 2.(2.(球的表面积球的表面积)(2015)(2015 大同一中高二大同一中高二( (上上) )月考月考) )三个球的半径之比为三个球的半径之比为 1 12 23,3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( ( ) ) (A)1(A)1 倍倍 (B)2(B)2 倍倍 (C)(C) 9 5 倍倍 (D)(D) 7 4 倍倍 C C C C 3.(3.(球的体积球的体积)(2015)(
3、2015 唐山市高二唐山市高二( (上上) )期中期中) )用一平面去截球所得截面的用一平面去截球所得截面的 面积为面积为 2 2, ,已知球心到该截面的距离为已知球心到该截面的距离为 1,1,则该球的体积是则该球的体积是( ( ) ) (A)(A)3 (B)2 (B)23 (C)4 (C)43 (D) (D) 4 3 3 4.(4.(表面积体积表面积体积)(2015)(2015北京市房山区高二北京市房山区高二( (上上) )期中期中) )若两个球的表面积之若两个球的表面积之 比是比是49,49,则它们的体积之比是则它们的体积之比是 . . 答案答案: :827827 5.(5.(球的切接问题
4、球的切接问题)(2015)(2015山西忻州高二期中联考山西忻州高二期中联考) )一个长方体的各顶点均一个长方体的各顶点均 在同一球面上在同一球面上, ,且一个顶点上的三条棱的长分别为且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,1,2,3,则此球的表面则此球的表面 积为积为 . . 答案答案: :1414 课堂探究课堂探究 球的表面积与体积球的表面积与体积 题型一题型一 【例例1 1】 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,r,圆柱、圆锥的高都是圆柱、圆锥的高都是2r,2r, (1)(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比求圆柱、圆锥、球的体积之比; ; (2)(2)求
5、圆柱、圆锥、球的表面积之比求圆柱、圆锥、球的表面积之比. . 解解: :(1)V(1)V圆柱 圆柱= =r r 2 2 2r=22r=2r r 3 3,V ,V圆锥 圆锥= = 1 3 r r 2 2 2r=2r= 2 3 r r 3 3,V ,V球 球= = 4 3 r r 3 3, , 所以所以 V V圆柱 圆柱V V圆锥圆锥V V球球=3=31 12.2. (2)S(2)S圆柱 圆柱=2=2r r2r+22r+2r r 2 2=6 =6r r 2 2, , S S圆锥 圆锥= =r r 22 4rr+ +r r 2 2=( =(5+1)+1)r r 2 2, , S S球 球=4=4r
6、r 2 2, , 所以所以 S S圆柱 圆柱S S圆锥圆锥S S球球=6=6( (5+1)+1)4.4. 题后反思题后反思 球的表面积和体积仅与球半径有关球的表面积和体积仅与球半径有关, ,因此求球的表面积和体积因此求球的表面积和体积 的问题可转化为求球半径的问题解决的问题可转化为求球半径的问题解决. . 解析解析: :设球半径为设球半径为 R cm,R cm, 根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为 4 cm,4 cm, 球心到截面圆圆心的距离为球心到截面圆圆心的距离为(R(R- -2)cm,2)cm, 所以由所以由 4
7、4 2 2+(R +(R- -2)2) 2 2=R =R 2 2, ,得 得 R=5.R=5. 所以球的体积为所以球的体积为 V=V= 4 3 R R 3 3= = 4 3 5 5 3 3= = 500 3 cmcm 3 3. .故选 故选 A.A. 即时训练即时训练 1 1 1:1:(2013(2013 高考新课标全国卷高考新课标全国卷) )如图如图, ,有一个水平放置的透明无盖有一个水平放置的透明无盖 的正方体容器的正方体容器, ,容器高容器高 8 cm,8 cm,将一个球放在容器口将一个球放在容器口, ,再向容器内注水再向容器内注水, ,当球面恰当球面恰 好接触水面时测得水深为好接触水面
8、时测得水深为 6 cm,6 cm,如果不计容器的厚度如果不计容器的厚度, ,则球的体积为则球的体积为( ( ) ) (A)(A) 500 3 cmcm 3 3 (B)(B) 866 3 cmcm 3 3 (C)(C) 1372 3 cmcm 3 3 (D) (D) 2048 3 cmcm 3 3 由与球相关的三视图计算表面积与体积由与球相关的三视图计算表面积与体积 题型二题型二 【例【例 2 2】 (1) (1)某器物的三视图如图所示某器物的三视图如图所示, ,根据图中数据根据图中数据 可知该器物的体积为可知该器物的体积为( ( ) ) (A)(A) 4 3 (B)(B) 15 3 (C)(C
9、) 4 3 - - 15 3 (D)(D) 4 3 + + 15 3 (2)(2013(2)(2013 高考陕西卷高考陕西卷) )某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, , 则其表面积为则其表面积为 . . 解析解析: :(1)(1)由三视图可知由三视图可知, ,该几何体由一个球和一个圆锥组合而成该几何体由一个球和一个圆锥组合而成, ,则该器物的则该器物的 体积体积 V=VV=V球 球+V+V圆锥圆锥= = 4 3 + + 1 3 15= = 4 3 + + 15 3 . . 故选故选 D.D. (2)(2)由三视图知该几何体为以由三视图知该几何体为以 1 1 为半径的半球为半径的
10、半球, , S S表面积 表面积= = 2 4 1 2 + +1 1 2 2=3 =3. . 答案答案: : (1)D(1)D (2)3(2)3 题后反思题后反思 由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体积时由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体积时, ,最重要最重要 的是还原组合体的是还原组合体, ,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义, ,根据组根据组 合体的结构特征及数据计算其表面积或体积合体的结构特征及数据计算其表面积或体积. . 即时训练即时训练2 2- -1 1:(1):(1)一个几何体的三视图一个几何体的三视图( (单位单位:
11、m):m)如图所示如图所示, ,则该几何体的则该几何体的 体积为体积为 m m3 3. . (2)(2)如图是一个几何体的三视图如图是一个几何体的三视图, ,则该几何体的表面积为则该几何体的表面积为 . . 解析解析: :(1)(1)由三视图可知由三视图可知, ,几何体上部为长方体几何体上部为长方体, ,长、宽、高分别为长、宽、高分别为 6 6、3 3、1.1. 下部为半径是下部为半径是 3 2 的两个球的两个球, ,所以几何体的体积为所以几何体的体积为 V=6V=63 31+1+ 4 3 3 3 2 2=(18+92=(18+9)m)m 3 3. . (2)(2)根据三视图可知根据三视图可知
12、, ,该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成, ,所以其表面所以其表面 积为积为 S=SS=S半球 半球+S+S侧侧= = 1 2 4 41 1 2 2+ + 1 15=(2+=(2+5) ). . 答案答案: :(1)(18+9(1)(18+9) ) (2)(2+(2)(2+5) ) 组合体的表面积与体积组合体的表面积与体积 题型三题型三 【教师备用教师备用】 1.1.若半径为若半径为R R的球内接一长、宽、高分别为的球内接一长、宽、高分别为a a、b b、c c的长方体的长方体, ,则球半径则球半径R R与与a a、 b b、c c有何关系有何关系? ?
13、提示提示: :长方体的对角线为球的直径长方体的对角线为球的直径, ,即即 2R=2R= 222 abc. . 2.2.若半径为若半径为R R的球内切于棱长为的球内切于棱长为a a的正方体的正方体, ,则球半径则球半径R R与棱长与棱长a a有什么关系有什么关系? ? 提示提示: :球的直径为正方体的棱长球的直径为正方体的棱长, ,即即2R=a.2R=a. 【例【例 3 3】 (2015 (2015 合肥合肥 168168 中高二中高二( (上上) )期中期中) )正四棱锥的顶点都在同一球面上正四棱锥的顶点都在同一球面上, , 若该棱锥的高为若该棱锥的高为 6,6,底面边长为底面边长为 4,4,
14、则该球的表面积为则该球的表面积为( ( ) ) (A)(A) 44 3 (B)(B) 484 9 (C)(C) 81 4 (D)16(D)16 解析解析: :如图如图, ,正四棱锥正四棱锥 P P ABCDABCD 中中,PE,PE 为四棱锥的高为四棱锥的高, ,根据球的相关知识可知根据球的相关知识可知, ,四四 棱锥的外接球的球心棱锥的外接球的球心 O O 必在正四棱锥的高线必在正四棱锥的高线 PEPE 所在的直线上所在的直线上, ,因为底面边长因为底面边长 为为 4,4, 所以所以 AE=2AE=22, , 设球半径为设球半径为 R,R,在在 RtRtAEOAEO 中中, , AEAE 2
15、 2+OE +OE 2 2=AO =AO 2 2, , 即即(2(22) ) 2 2+(6 +(6- -R)R) 2 2=R =R 2 2, , 解得解得 R=R= 11 3 , ,则则 S=4S=4R R 2 2=4 =4 2 11 3 = = 484 9 , ,故选故选 B.B. 题后题后反思反思 解决几何体与球相切或相接的策略解决几何体与球相切或相接的策略: : (1)(1)要注意球心的位置要注意球心的位置, ,一般情况下一般情况下, ,由于球的对称性球心在几何体的特殊位由于球的对称性球心在几何体的特殊位 置置, ,比如比如, ,几何体的中心或长方体对角线的中点等几何体的中心或长方体对角
16、线的中点等. . (2)(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径, ,关关 键是根据键是根据“切点切点”和和“接点接点”, ,作出轴截面图作出轴截面图, ,把空间问题转化为平面问题把空间问题转化为平面问题 来计算来计算. . 即时训练即时训练 3 3 1:(20151:(2015 临汾市曲沃二中高二临汾市曲沃二中高二( (上上) )期中期中) )已知球面上的四点已知球面上的四点 P P、 A A、 B B、C,PAC,PA、PBPB、PCPC 的长分别为的长分别为 3 3、4 4、5,5,且这三条线段两两垂直且这
17、三条线段两两垂直, ,则这个球的则这个球的 表面积为表面积为( ( ) ) (A)20(A)202 (B)25(B)252 (C)50(C)50 (D)200(D)200 解析解析: :球面上的四点球面上的四点 P P、A A、B B、C,PAC,PA、PBPB、PCPC 的长分别为的长分别为 3 3、4 4、5,5,且这三且这三 条线段两两垂直条线段两两垂直, ,是长方体的一个角是长方体的一个角, ,扩展为长方体扩展为长方体, ,两者的外接球相同两者的外接球相同, , 长方体的对角线长为长方体的对角线长为 222 345=5=52, ,外接球的半径为外接球的半径为 5 2 2 . . 外接球
18、的表面积为外接球的表面积为 4 4 2 5 2 2 =50=50, ,故选故选 C.C. 解析解析: :因为正三棱锥因为正三棱锥 P P ABC,PA,PB,PCABC,PA,PB,PC 两两垂直两两垂直, , 所以此正三棱锥的外接球即以所以此正三棱锥的外接球即以 PA,PB,PCPA,PB,PC 为三边的正方体的外接球为三边的正方体的外接球 O,O, 因为球因为球 O O 的半径为的半径为3, , 所以正方体的边长为所以正方体的边长为 2,2,即即 PA=PB=PC=2,PA=PB=PC=2, 球心到截面球心到截面 ABCABC 的距离即正方体中心到截面的距离即正方体中心到截面 ABCABC
19、 的距离的距离, , 设设 P P 到截面到截面 ABCABC 的距离为的距离为 h,h, 则正三棱锥则正三棱锥 P P ABCABC 的体积的体积 V=V= 1 3 S S ABCABCh=h= 1 3 S S PABPABPC=PC= 1 3 1 2 2 22 22=2= 4 3 . . 【备用例【备用例 1 1】 (2015 (2015 大同一中高二大同一中高二( (上上) )月考月考) )已知正三棱锥已知正三棱锥 P P ABC,ABC,点点 P,A,B,CP,A,B,C 都在半径为都在半径为3的球面上的球面上, ,若若 PA,PB,PCPA,PB,PC 两两垂直两两垂直, ,则球心到
20、截面则球心到截面 ABCABC 的距离的距离 为为 . . ABCABC 为边长为为边长为 2 22的正三角形的正三角形, , S S ABCABC= = 3 4 (2(22) ) 2 2=2 =23, , 所以所以 h=h= ABC V S = = 2 3 9 . . 所以正方体中心所以正方体中心 O O 到截面到截面 ABCABC 的距离为的距离为3- - 2 3 9 = = 7 3 9 . . 答案答案: : 7 3 9 【备用例【备用例 2 2】 (2015 (2015 大同一中高二大同一中高二( (上上) )月考月考) )已知三棱锥已知三棱锥 S S ABCABC 的所有顶点都在球的
21、所有顶点都在球 O O 的球面的球面 上上, ,ABCABC 是边长为是边长为 1 1 的正三角形的正三角形,SC,SC 为球为球 O O 的直径的直径, ,且且 SC=2,SC=2,则此棱锥的体积为则此棱锥的体积为( ( ) ) (A)(A) 2 6 (B)(B) 3 6 (C)(C) 2 3 (D)(D) 2 2 解析解析: :因为因为ABCABC 是边长为是边长为 1 1 的正三角形的正三角形, , 所以所以ABCABC 的外接圆的半径的外接圆的半径 r=r= 3 3 , , 因为点因为点 O O 到面到面 ABCABC 的距离的距离 d=d= 2 2 2 SC r = = 6 3 ,SC,SC 为球为球 O O 的直径的直径, , 所以点所以点 S S 到面到面 ABCABC 的距离为的距离为 2d=2d= 2 6 3 , , 所以棱锥的体积为所以棱锥的体积为 V=V= 1 3 S S ABCABC2d=2d= 1 3 3 4 2 6 3 = = 2 6 , ,故选故选 A.A. 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
