1、3.1.23.1.2 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.理解两条直线平行或垂直的条件理解两条直线平行或垂直的条件. . 2.2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直会利用斜率判断两条直线平行或垂直. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 设两条不重合的直线设两条不重合的直线l l1 1、l l2 2的斜率分别为的斜率分别为k k1 1、k k2 2, ,若若l l1 1ll2 2, ,则则k k1 1 k k2 2; ;反之 反之, , 若若k k1 1=k=k2 2, ,则则l l1 1 l l2 2. .特别地 特
2、别地, ,若两条不重合的直线的斜率不存在若两条不重合的直线的斜率不存在, ,则这两则这两 条直线也平行条直线也平行. . 1.1.两条直线平行的判定两条直线平行的判定 2.2.两条直线垂直的判定两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率如果两条直线都有斜率, ,且它们互相垂直且它们互相垂直, ,那么它们的斜率之积等于那么它们的斜率之积等于 ; ; 反之反之, ,如果它们的斜率之积等于如果它们的斜率之积等于 , ,那么它们互相垂直那么它们互相垂直, ,即即 l l1 1ll2 2,l,l1 1ll2 2 . . = = - -1 1 - -1 1 k k1 1k k2 2= =- -1 1 k k
3、1 1k k2 2= =- -1 1 自我检测自我检测 B B 2.(2.(两直线垂直关系两直线垂直关系) )已知直线已知直线 l l1 1的斜率的斜率 k k1 1= =- - 8 5 , ,直线直线 l l2 2的斜率的斜率 k k2 2= = 5 8 , ,则则 l l1 1 与与 l l2 2的位置关系为的位置关系为( ( ) ) (A)(A)平行平行 (B)(B)重合重合 (C)(C)垂直垂直 (D)(D)无法确定无法确定 C C 1.(1.(两直线平行关系两直线平行关系) )已知直线已知直线 l l1 1l l2 2, ,直线直线l l2 2的斜率的斜率 k k2 2=3,=3,则
4、直线则直线 l l1 1的斜率的斜率 k k1 1 等于等于( ( ) ) (A)(A)可能不存在可能不存在 (B)3(B)3 (C)(C) 1 3 (D)(D)- - 1 3 3.(3.(两直线平行关系两直线平行关系) )已知已知 A(A(- -1,1),B(3,3),1,1),B(3,3),直线直线 l lAB,AB,则直线则直线 l l 的斜率为的斜率为 ( ( ) ) (A)2(A)2 (B)(B) 1 2 (C)(C)- -2 2 (D)(D)- - 1 2 B B 已知直线已知直线l l1 1,l,l2 2的斜率分别为的斜率分别为k k1 1,k,k2 2, ,且且k k1 1=2
5、,l=2,l1 1ll2 2, ,则则 k k2 2= = . . 4.(4.(两直线垂直关系两直线垂直关系) ) 答案答案: :- - 1 2 5.(5.(两直线平行关系两直线平行关系) )已知直线已知直线 l l1 1经过两点经过两点( (- -1,1,- -2),(2),(- -1,4),1,4),直线直线 l l2 2经过经过 两点两点(2,1),(x,6),(2,1),(x,6),且且 l l1 1l l2 2, ,则则 x=x= . . 答案答案: :2 2 课堂探究课堂探究 两条直线的平行关系两条直线的平行关系 题型一题型一 【教师备用教师备用】 1.1.两条直线平行其倾斜角什么
6、关系两条直线平行其倾斜角什么关系? ?反之呢反之呢? ? 提示提示: :两条直线平行其倾斜角相等两条直线平行其倾斜角相等; ;反之不成立反之不成立. . 2.2.有人说有人说: :两条直线平行两条直线平行, ,斜率一定相等斜率一定相等. .这种说法对吗这种说法对吗? ? 提示提示: :不对不对, ,若两直线平行若两直线平行, ,只有在它们都存在斜率时只有在它们都存在斜率时, ,斜率相等斜率相等, ,若两若两 直线都垂直于直线都垂直于x x轴轴, ,虽然它们平行虽然它们平行, ,但斜率都不存在但斜率都不存在. . 解解: :(1)(1)由题意知由题意知,k,k1 1= = 51 32 = =-
7、- 4 5 ,k,k2 2= = 73 83 = =- - 4 5 , ,所以直线所以直线l l1 1与直与直 线线 l l2 2平行或重合平行或重合, , 又又 k kBC BC= = 53 33 = =- - 4 3 - - 4 5 , ,故故 l l1 1l l2 2. . 根据下列给定的条件根据下列给定的条件, ,判断直线判断直线l l1 1与直线与直线l l2 2是否平行是否平行. . (1)l(1)l1 1经过点经过点A(2,1),B(A(2,1),B(- -3,5),l3,5),l2 2经过点经过点C(3,C(3,- -3),D(8,3),D(8,- -7);7); (2)l(2
8、)l1 1经过点经过点E(0,1),F(E(0,1),F(- -2,2,- -1),l1),l2 2经过点经过点G(3,4),H(2,3);G(3,4),H(2,3); (3)l(3)l1 1的倾斜角为的倾斜角为6060,l,l2 2经过点经过点M(1,M(1, ),N(),N(- -2,2,- -2);2); (4)l(4)l1 1平行于平行于y y轴轴,l,l2 2经过点经过点P(0,P(0,- -2),Q(0,5).2),Q(0,5). 【例例1 1】 (2)(2)由题意知由题意知,k,k1 1= = 1 1 20 =1,k=1,k2 2= = 34 23 =1,=1,所以直线所以直线
9、l l1 1与直线与直线 l l2 2平行或重平行或重 合合,k,kFG FG= = 41 32 =1,=1,故直线故直线 l l1 1与直线与直线 l l2 2重合重合. . (3)(3)由题意知由题意知,k,k1 1=tan 60=tan 60= =3,k,k2 2= = 2 33 21 = =3,k,k1 1=k=k2 2, ,所以直线所以直线 l l1 1与直与直 线线 l l2 2平行或重合平行或重合. . (4)(4)由题意知由题意知 l l1 1的斜率不存在的斜率不存在, ,且不是且不是 y y 轴轴,l,l2 2的斜率也不存在的斜率也不存在, ,恰好是恰好是 y y 轴轴, ,
10、 所以所以 l l1 1l l2 2. . 题后反思题后反思 判断两条不重合直线是否平行的步骤判断两条不重合直线是否平行的步骤 即时训练即时训练 1 1- -1:1:判断下列各小题中的直线判断下列各小题中的直线 l l1 1与与 l l2 2是否平行是否平行. . (1)l(1)l1 1平行于平行于 x x 轴轴,l,l2 2经过点经过点 P(P(- -2,0),Q(5,0);2,0),Q(5,0); (2)l(2)l1 1的倾斜角为的倾斜角为 4545,l,l2 2经过点经过点 A(1,1),B(2,2);A(1,1),B(2,2); (3)l(3)l1 1经过点经过点 A(0,1),B(1
11、,0),lA(0,1),B(1,0),l2 2经过点经过点 M(M(- -1,3),N(0,2);1,3),N(0,2); (4)l(4)l1 1经过点经过点 A(A(- -3,2),B(3,2),B(- -3,10),l3,10),l2 2经过点经过点 M(5,M(5,- -2),N(5,5).2),N(5,5). 解解: :(1)(1)由题意知由题意知 l l2 2恰好是恰好是 x x 轴轴, ,所以所以 l l1 1l l2 2. . (2)k(2)k1 1=1,k=1,k2 2= = 21 21 =1,k=1,k1 1=k=k2 2, ,所以所以 l l1 1l l2 2或或 l l1
12、 1与与 l l2 2重合重合. . (3)k(3)k1 1= = 01 10 = =- -1,k1,k2 2= = 32 10 = =- -1.1.又又 k kAM AM= = 31 10 = =- -2 2- -1,1,所以所以 l l1 1l l2 2. . (4)l(4)l1 1x x 轴轴,l,l2 2x x 轴轴, ,且且 l l1 1与与 l l2 2不重合不重合, ,所以所以 l l1 1l l2 2. . 【备用例【备用例 1 1】 求证求证: :顺次连接顺次连接 A(2,A(2,- -3),B3),B( (5,5,- - 7 2 ) ),C(2,3),D(,C(2,3),D
13、(- -4,4)4,4)四点所得四点所得 的四边形是梯形的四边形是梯形. . 证明证明: :由斜率公式得由斜率公式得 k kAB AB= = 7 3 2 52 = =- - 1 6 , , k kBC BC= = 7 3 2 52 = =- - 13 6 ,k,kCD CD= = 43 42 = =- - 1 6 ,k,kDA DA= = 34 24 = =- - 7 6 . . 所以所以 k kAB AB=k=kCDCD,k,kBCBCk kDADA, ,所以所以 ABABCD,BCCD,BC 与与 DADA 不平行不平行, , 所以四边形所以四边形 ABCDABCD 为梯形为梯形. . 两
14、条直线的垂直关系两条直线的垂直关系 题型二题型二 【教师备用教师备用】 如果两条直线垂直如果两条直线垂直, ,则它们的斜率的积一定等于则它们的斜率的积一定等于- -1 1吗吗? ? 提示提示: :不一定不一定. .若两条直线的斜率都存在若两条直线的斜率都存在, ,它们垂直时斜率之积是它们垂直时斜率之积是- -1,1,但若但若 两条直线它们的斜率一个是两条直线它们的斜率一个是0,0,另一个不存在时另一个不存在时, ,两条直线也互相垂直两条直线也互相垂直, ,但但 斜率的积不为斜率的积不为- -1.1. 解解: :由斜率公式可得由斜率公式可得 k kAB AB= = 64 62 = = 5 4 ,
15、k,kBC BC= = 66 60 =0,k=0,kAC AC= = 64 02 =5.=5. 由由 k kBC BC=0=0 知直线知直线 BCBCx x 轴轴, , 所以所以 BCBC 边上的高所在直线与边上的高所在直线与 x x 轴垂直轴垂直, ,其斜率不存在其斜率不存在. . 设设 ABAB、ACAC 边上的高所在直线的斜率分别为边上的高所在直线的斜率分别为 k k1 1、k k2 2, , 由由 k k1 1k kAB AB= =- -1,k1,k2 2k kACAC= =- -1,1,即即 k k1 1 5 4 = =- -1,k1,k2 25=5=- -1,1, 解得解得 k k
16、1 1= =- - 4 5 ,k,k2 2= =- - 1 5 . . 综上可知综上可知 BCBC 边上的高所在直线的斜率不存在边上的高所在直线的斜率不存在; ; ABAB 边上的高所在直线的斜率为边上的高所在直线的斜率为- - 4 5 ; ; ACAC 边上的高所在直线的斜率为边上的高所在直线的斜率为- - 1 5 . . 【例例2 2】 已知已知ABCABC三个顶点坐标分别为三个顶点坐标分别为A(A(- -2,2,- -4),B(6,6),C(0,6),4),B(6,6),C(0,6),求此三求此三 角形三边的高所在直线的斜率角形三边的高所在直线的斜率. . 题后反思题后反思 使用斜率公式
17、解决两直线垂直问题的步骤使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤 (1)(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等首先查看所给两点的横坐标是否相等, ,若相等若相等, ,则直线的斜率不存在则直线的斜率不存在, ,若若 不相等不相等, ,则将点的坐标代入斜率公式则将点的坐标代入斜率公式. . (2)(2)求值求值: :计算斜率的值计算斜率的值, ,进行判断进行判断. .尤其是点的坐标中含有参数时尤其是点的坐标中含有参数时, ,应用斜率应用斜率 公式要对参数进行讨论公式要对参数进行讨论. . 总之总之,l,l1 1与与l l2 2一个斜率为一个斜率为0,0,另一个斜率不存在时另一个斜率不存在时,l,l1
18、1ll2 2;l;l1 1与与l l2 2斜率都存在斜率都存在 时时, ,满足满足k k1 1k k2 2= =- -1.1. 解析解析: :设直线设直线 l l1 1,l,l2 2的斜率分别为的斜率分别为 k k1 1,k,k2 2. . 因为直线因为直线 l l2 2经过点经过点 C(2,3),D(C(2,3),D(- -1,a1,a- -2),2),且且 2 2- -1,1, 所以所以 l l2 2的斜率存在的斜率存在. . 当当 k k2 2=0=0 时时,a,a- -2=3,2=3,则则 a=5,ka=5,k1 1不存在不存在; ;此时两直线垂直此时两直线垂直. . 当当 k k2
19、20 0 时时, ,即即 a a5,5,此时此时 k k1 10,0, 由由 k k1 1k k2 2= =- -1,1,得得 3 23 a a 23 12 a = =- -1,1, 解得解得 a=a=- -6.6. 综上可知综上可知,a,a 的值为的值为 5 5 或或- -6.6. 已知直线已知直线l l1 1经过点经过点A(3,a),B(aA(3,a),B(a- -2,2,- -3),3),直线直线l l2 2经过点经过点C(2,3),C(2,3), D(D(- -1,a1,a- -2),2),如果如果l l1 1ll2 2, ,则则a=a= . . 即时训练即时训练2 2- -1:1:
20、答案答案: :5 5或或- -6 6 直线平行与垂直关系的应用直线平行与垂直关系的应用 题型三题型三 解解: :设第四个顶点设第四个顶点 D D 的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),因为因为 ADADCD,ADCD,ADBC,BC,所以所以 k kAD ADk kCDCD= =- -1,1,且且 k kADAD=k=kBCBC. . 所以所以 12 1, 03 120 , 03 1 yy xx y x 解得解得 2, 3, x y 或或 0, 1. x y 其中其中 0, 1 x y 不合题意不合题意, ,舍去舍去. .所以第四个顶点所以第四个顶点 D D 的坐标为的坐标为(2,3).(2
21、,3). 【例例3 3】 已知长方形已知长方形ABCDABCD的三个顶点的坐标分别为的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),A(0,1),B(1,0),C(3,2), 求第四个顶点求第四个顶点D D的坐标的坐标. . 题后题后反思反思 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率, ,特别是含参数特别是含参数 的问题的问题, ,必须要分类讨论必须要分类讨论; ;其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解. . 解解: :设设 D(a,b),D(a,b),由题设得由题设得 ABABCD,AD
22、CD,ADBC,BC, 则则 k kAB AB=k=kDCDC,k,kADAD=k=kCDCD, , 即即 013 , 104 130 , 041 b a b a 解得解得 3, 4, a b 所以顶点所以顶点 D D 的坐标为的坐标为(3,4).(3,4). 即时训练即时训练3 3- -1:1:已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD的三个顶点的坐标分别为的三个顶点的坐标分别为A(0,1),A(0,1), B(1,0),C(4,3),B(1,0),C(4,3),则顶点则顶点D D的坐标为的坐标为 . . 解解: :由题意知由题意知A,B,C,DA,B,C,D四点在坐标平面内的位置四点在坐
23、标平面内的位置, ,如图所示如图所示, ,由斜率公式由斜率公式 可得可得 k kAB AB= = 53 24 = = 1 3 , , k kCD CD= = 03 36 = = 1 3 ,k,kAD AD= = 03 34 = =- -3,k3,kBC BC= = 35 62 = =- - 1 2 . . 所以所以 k kAB AB=k=kCDCD, ,由图可知由图可知 ABAB 与与 CDCD 不重合不重合, , 所以所以 ABABCD.CD.由由 k kAD ADk kBCBC, ,所以所以 ADAD 与与 BCBC 不平行不平行. . 又因为又因为 k kAB ABk kADAD= =
24、1 3 ( (- -3)=3)=- -1,1,所以所以 ABABAD,AD, 故四边形故四边形 ABCDABCD 为直角梯形为直角梯形. . 【备用例备用例2 2】 已知已知A(A(- -4,3),B(2,5),C(6,3),D(4,3),B(2,5),C(6,3),D(- -3,0)3,0)四点四点, ,若顺次连接若顺次连接 A,B,C,DA,B,C,D四点四点, ,试判定图形试判定图形ABCDABCD的形状的形状. . 证明证明: :建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系. . 设设 A(0,1),P(x,x),A(0,1),P(x,x), 则则 E(1,x),F(x,0)(0x1).E(1,x),F(x,0)(0x1). k kPA PA= = 1 0 x x = = 1x x ,k,kEF EF= = 1 x x , , 因为因为 k kPA PAk kEFEF= =- -1,1,所以所以 PAPAEF.EF. 【备用例备用例3 3】 如图所示如图所示,P,P是正方形是正方形ABCDABCD的对角线的对角线BDBD上一点上一点, , 四边形四边形PECFPECF是矩形是矩形, ,求证求证:PAEF.:PAEF. 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
