1、12.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2复习回顾：1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量2、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量节引言：数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算。下面我们学习向量的线性运算。向量加法运算及其几何意义3向量加法运算及其几何意义例如例如:某对象从某对象从A A点走到点走到B B点点.日常生活中遇到的向量加法问题日常生活中遇到的向量加法问题:然后从然后从B B点走到点走到C C点点.思考
2、思考:这个人所走过的位移是多少这个人所走过的位移是多少?ABC分析分析:由由物理知识物理知识可以知道可以知道:从从A点到点到B点然后到点然后到C点的点的合位移合位移,就是从就是从A点到点到C点点的位移的位移.ABBCAC=+4向量加法运算及其几何意义F1F2FEOOE探究探究:橡皮条在力橡皮条在力F F1 1与与F F2 2的作用下的作用下,从从E E点伸长到了点伸长到了O O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F F的作用下也从的作用下也从E E点伸长到了点伸长到了O O点点.F1+F2=F力力F F对橡皮条产生的效果，与力对橡皮条产生的效果，与力F F1 1和和F F2 2共同作用共同作用产
3、生的效果相同，物理学中把力产生的效果相同，物理学中把力F F叫做叫做F F1 1和和F F2 2的合力的合力.5向量加法运算及其几何意义F1F2F1F2F FEOOE思考思考:合力合力F F与力与力F F1 1、F F2 2有怎样的关系？有怎样的关系？力力F F在以在以F F1 1、F F2 2为邻边的为邻边的平行平行四边形的对角线四边形的对角线上，并且大小等于平上，并且大小等于平行四边形对角线的长行四边形对角线的长.6向量加法运算及其几何意义v向量加法的定义：向量加法的定义：我们把求两个向量我们把求两个向量和的运算和的运算,叫做向量的加法叫做向量的加法,叫做叫做的和的和.,a b ab,a
4、b 两个向量的和仍然是一个向量两个向量的和仍然是一个向量.7向量加法运算及其几何意义已知非零向量已知非零向量a与与b.如何求如何求a+b.首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连向量加法的三角形法则ACababBa+ba+b=AB+BC=AC位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型8向量加法运算及其几何意义向量加法的平行四边形法则ababBOACa+b起点相同，连对角起点相同，连对角力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型,00aaaa对于零向量与任一向量我们规定9向量加法运算及其几何意义例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。,a b ab则则OBab aba 作
5、法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ，OAa ABb b例题讲解：例题讲解：aboABoABC作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ，OAa OBb.OCOAOBab 连结连结OC，则，则ba OAOB、以以 为为邻边作邻边作 ，OACBab10向量加法运算及其几何意义思考：思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？abab（1）（2）|ababab 若，方向相同，则ABCBCAabab|abababba 若，方向相反，则（或）11向量加法运算及其几何意义 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向
6、量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b、|abab、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边|ababab 当向量、不共线时有综合以上探究我们可得结论：|abab12向量加法运算及其几何意义（1）abbba ababa（2）（4）abba b课堂练习：课堂练习：一、用三角形法则求向量的和一、用三角形法则求向量的和a（2）bbba 二、用平行四边形法则求向量的和二、用平行四边形法则求向量的和13向量加法运算及其几何意义数的加法满足交换律与结合律，即对任意数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(
7、b+c)任意向量任意向量 的加法是否也满足交换律与结合律？的加法是否也满足交换律与结合律？、a b探究：探究：abCabABD.AC=ADDC=bAC=ADDC=ba+因为因为 AC =AB AC =AB+BC=BC=a+b 所以.b ba ab b+=14向量加法运算及其几何意义ABaCbabDcbcabc()abc()向量的加法满足向量的加法满足交换律和结合律交换律和结合律.()().abcabc)+=+=+abba(ab)ca(bc15向量加法运算及其几何意义v例例2.2.长江两岸之间没有大桥的地方长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡常常通过轮渡进行运输进行运输.一艘船从长江南岸一艘
8、船从长江南岸A A点出发点出发,以以5km/h5km/h的的速度向垂直于对岸的方向行驶速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为同时江水的速度为向东向东2km/h.2km/h.(1)(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；的速度（保留两个有效数字）；(2)(2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）速度间的夹角表示，精确到度）.学以致用：学以致用：16向量加法运算及其几何意义2BAD5C：如图，设表示水流的如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，速度
9、，表示渡船的速度，ABAD 表示渡船实际过表示渡船实际过江的速度江的速度.(由平行四边形由平行四边形法则可以得到法则可以得到)AC5tan,68.2CABCAB查计算器可得22,2529ABADRt ABCAC 由得得5.4答：答：船实际航行速度的大小约为船实际航行速度的大小约为5.4km/h5.4km/h，方向与水的流，方向与水的流速间的夹角约为速间的夹角约为68680 0分析：分析：向量加法在实际生活中的应用，本例应解向量加法在实际生活中的应用，本例应解决的问题是向量模的大小及向量的方向决的问题是向量模的大小及向量的方向17向量加法运算及其几何意义变式：变式：v在静水中船速为在静水中船速为
10、20m/min，水流速度为，水流速度为10m/min,若船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问若船从岸边出发，垂直于水流航线到达对岸的，问船行进的方向是船行进的方向是_.ABCDAB向量向量 表示静水流速，表示静水流速，表示船行进方向，表示船行进方向，表示表示船实际行走路线，垂直于水船实际行走路线，垂直于水流方向，所以流方向，所以DAC即为所即为所求求ADAC方向与水的流速间的夹角为120o18向量加法运算及其几何意义课堂练习：课堂练习：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根据图示填空：）根据图示填空：_ABBCCDDE AE _|,6|,8|2的最大值是
11、则）已知（baba1419向量加法运算及其几何意义归纳小结：归纳小结：1 1、一个概念、一个概念:向量的加法向量的加法2 2、两个法则、两个法则:向量加法的三角形法则和平行四边形法则向量加法的三角形法则和平行四边形法则3 3、两条运算律、两条运算律:向量加法的交换律向量加法的交换律 结合律结合律 ab+ba+=ab+c+()=ab+()c知识方面：知识方面：a0+0a+=a=数学思想方法方面：数学思想方法方面：1 1、具体与抽象的数学思维方法，、具体与抽象的数学思维方法，2 2、类比的思想方法、类比的思想方法作业：作业：课本课本9191页习题页习题2.2A2.2A组组2 2、3 3、4.(1)(2)(3)4.(1)(2)(3)20向量加法运算及其几何意义谢谢指导再见
