1、一一.复习引入新课复习引入新课:1.平面向量数量积的含义平面向量数量积的含义:2.平面向量数量积的运算率平面向量数量积的运算率._.ab b|cos|cosab b(1).aabbbb交交换换率率(2)()()().aaabbbbbb 结结率率合合(3)().aabccb cbccb c分分配配率率3.重要结论重要结论:(1)_.ab b|_.a(2)_.a a(3)|_|.aabbbb设设a a、b都是非零向量都是非零向量,则则0ab b2|aa a2a我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算的坐标来运算,那么怎样用那么怎样用呢？的坐标表示
2、和baba 在直角坐标系中，已知两个非零向量在直角坐标系中，已知两个非零向量a=（x1，y1），），b=（x2，y2），），如何用如何用a 与与b的坐标表示的坐标表示a b Y A（x1,y1）aB(x2，y2)b Oija=x1 i+y1 j，b=x2 i+y2 j X _ _ _ _ ii jj jiij单位向量单位向量i、j 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同，求轴方向相同，求1100 jyixjyixba22112211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和和.1212a bx xy
3、y 在坐标平面在坐标平面xoy内，已知内，已知 (x1，y1)，(x2，y2)，则，则ab求求 例例 1:已知已知 (1,3 )，(2,23 ),abba解：解：1(2)3234;ab1、平面向量数量积的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示练习：练习：则则),4,3(),1,3(),2,1(cba_)(cba(13,26)；或aaaaaa2)1(221221221122222),(),2,),()1(yyxxAByxByxAyxayxayxa（则、（设）两点间的距离公式（；或则设向量的模2 2、向量的模和两点间的距离公式、向量的模和两点间的距离公式用于计算向量的模用于计算向量的模22,ax ya
4、xy(1).设则.,2212212211yyxxayxyxa那么点的坐标分别为的有向线段的起点和终如果表示向量即平面内两点间的距离公式即平面内两点间的距离公式求求|,|例例 1:已知已知 (1,3 )，(2,23 ),abab 12(3 )22,a (2)2(23 )2 4,b(3,3)ab|ab22|3(3)122 3ab 3、两向量夹角公式的坐标运算、两向量夹角公式的坐标运算bababacos1800则），（的夹角为与设0.0.cos)180(0),(),222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中则，夹角为与且（设向量夹角公式的坐标式：向
5、量夹角公式的坐标式：121222221122cosx xy yxyxy 例例 1:已知已知a(1，3 )，b(2，23 ),求求a与与b的夹角的夹角.cos ,424 4aba b12 60(x1，y1)，(x2，y2)，则，则ab0baba垂直垂直0),(),21212211yyxxbayxbyxa则（设4 4、两向量垂直的坐标表示、两向量垂直的坐标表示0a bab 例例 2：已知：已知a(5,0)，b(3.2,2.4),求证：求证：(ab)b.证明：证明：(ab)babb2 5(3.2)02.4(3.2)22.42 0 (ab)b12120 x xy y 与与 垂直：垂直：ab(x1，y1
6、)，(x2，y2)，则，则ab练习：练习：且且 起点坐标为起点坐标为(1,2)终点坐标为终点坐标为(x,3x),则则,),4,3(abab_b4 115 5（，）尝试：已知向量尝试：已知向量a(4(4，3),3),b(1 1，2),2),求求:(1)(1)ab；(2)(2)(a2b)(ab)；(3)|(3)|a|2 24 4ab.(1)2(1)2；（；（2 2）1717；（；（3 3）3.3.例题讲解例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断ABC的形状,并给出证明.1,123,12 AB 1,123,12 AC03131 ACABACAB ABC是直角三角形向量的数量向量的数
7、量积是否为零积是否为零,是判断相应是判断相应的两条线段的两条线段或直线是否或直线是否垂直的重要垂直的重要方法之一方法之一.(1,),32222ax ba baba bab已知（-，1）(1)当x为何值时，与平行？(2)当x为何值时，与垂直？2332或）（311）（例例1 例例2 2 已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)，试判断试判断 ABCABC的形状，并给出证明的形状，并给出证明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形三角形)1,1()23,12(AB:证明)3,3()25,12(AC031)3(1ACABACAB3AB
8、CAB=(2,3),AC=(1,k),ABCk.例、在中，设且是直角三角形，求 的值当B=90时，=0，ABBC2(1)+3(k3)=0 k=311当C=90时，=0，ACBC1+k(k3)=0 k=2133综上所述综上所述 213331123或或k解：当A=90时，AB AC=0,21+3k=0k=23 4 21011 33 1 3 1abab（）若（，），（，）则 与 的夹角为21231abab（）若（，），（，）则 与 的夹角的余弦值为（3 3）、已知向量）、已知向量a(，2)2)，b(3 3，5)5)，若向量，若向量a 与与b的夹角为钝的夹角为钝角，求角，求的取值范围的取值范围.180
9、注 意：夹 角 为时，不 满 足10 66(,)(,)355-+U _2,3,4,7,0,.abaccb 则 在 方向上的投影为655（4）1.向量向量 则则 的最大值，最小值分别是的最大值，最小值分别是(cos,sin),(3,1)ab|2|a-b4,024A(1,0),B(0,1),C(2,5).(1)2AB+AC()cos BAC()ABC.例、已知三角形三顶点坐标为求的模；2 求；3 试判断的形状32=(3,-1),=(1,3)2.abc例、求与向量和夹角相等且模为的向量 的坐标4小结小结3.3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决用向量方法来解决.1 1.ab ab 二者有着本质区别二者有着本质区别.01221yxyx02121yyxx2.2.若非零向量若非零向量a 与与b的夹角为锐角（钝的夹角为锐角（钝角），则角），则ab0 0（0 0），反之不成立），反之不成立.
