1、4.4 4.4 函数的凹凸性与函数的作函数的凹凸性与函数的作图图4 4.4.4.1 1 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点4 4.4.4.2 2 曲线的渐近线曲线的渐近线4 4.4.3.4.3 函数的作图函数的作图问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoABCxyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA问题问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?定义定义4.2 4.2 如果在某区间内，曲线弧位于如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是个区间内是上凹上凹
2、的；如果在某区间内，曲线的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是线在这个区间内是下凹下凹的的(上凹简称上凹简称凹凹,下凹下凹简称简称凸凸)xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA4.4.14.4.1 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定:xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y 定理定理3.103.10设函数设函数 在区间在区间 内存内存在二阶导数，在二阶导数，)(xf),(ba(2)(2)若时，恒有，则曲若时，恒有，则
3、曲线在内下凹线在内下凹(简称简称凸的凸的)bxa0)(xf)(xfy),(ba),(babxa0)(xf)(xfy(1)(1)若时，恒有，则曲若时，恒有，则曲线线 在内上凹在内上凹(简称简称凹的凹的)；例例证明函数证明函数 的图像是处处下凹的图像是处处下凹(凹凹)的的lnyx(0,)x故曲线在整个定义域内是下凹故曲线在整个定义域内是下凹(凸凸)的的解解 ln(0,)yx函函数数的的定定义义域域为为1yx 21yx 0 定义定义4.34.3曲线上凹与下凹的分界点称为曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的曲线的拐点拐点.求拐点的一般步骤：求拐点的一般步骤：令，解出全部根，并求出所令，解出全部根，并求出所
4、有二阶导数不存在的点；有二阶导数不存在的点；0)(xf)(xf 求函数的二阶导数；求函数的二阶导数；对步骤对步骤求出的每一个点，检查其左、求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点)(xf 例例1 1求曲线的凹凸区间求曲线的凹凸区间与拐点与拐点.1234xxy解解 ，2364xxy)1(1212122 xxxxy令，解得，令，解得，0 y0 x1xx)(xf )(xf)0,()1,0(),1(00)1,0(拐点拐点10)0,1(拐点拐点曲线在及两个区间上凹，曲线在及两
5、个区间上凹，在区间下凹，和是它的两个拐在区间下凹，和是它的两个拐点点.)0,(),1()1,0()1,0()0,1(例例2 2求曲线的凹凸区间求曲线的凹凸区间与拐点与拐点.1)12(4xy解解，；，；3)12(8xy2)12(48 xy令，解得；令，解得；0 y21x只要，恒有，而函数没有只要，恒有，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线二阶导数不存在的点，所以曲线 没有拐点，它在整个是上凹的没有拐点，它在整个是上凹的21x0 y4)12(xy),(1例例3 3求曲线的凹凸区间求曲线的凹凸区间与拐点与拐点.31)4(2xy解解，；，；32)4(31xy35)4(92 xy在内恒不为零，但时，在
6、内恒不为零，但时，不存在不存在),(4xy y 在在4 4的左侧邻近时，；的左侧邻近时，；在在4 4的右的右侧邻近时，侧邻近时，.即在两侧异号，所即在两侧异号，所以是曲线的拐点以是曲线的拐点.x0 y0 yy 4x)2,4(练习练习 求下列曲线的拐点，并讨论其凹凸性求下列曲线的拐点，并讨论其凹凸性.4323(1)341(2)ln(1)(0)(3)yxxyxxyx2 243341.yxx求曲线的拐点及凹向区间解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐
7、点拐点)1,0()2711,32(22(,0,0,).33凹向区间为3 3.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx ,0,)0,(y内内但在但在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在0,).曲线在上是下凹的.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 定义定义4.44.4如果曲线上的一点沿着曲线趋如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线则称此直线为曲线的渐近线.设曲线，如果设曲线，如果,则
8、则称称 直线直线 为曲线的水平渐近线为曲线的水平渐近线.)(xfy cxfx)(limcy)(xfy 4.4.2 4.4.2 曲线的渐近线曲线的渐近线1.1.水平渐近线水平渐近线如果曲线在点间断，且如果曲线在点间断，且，则称直线为曲线，则称直线为曲线的铅垂渐近线的铅垂渐近线)(xfy)(limxfx0 xx)(xfy 0 x例例4 4求曲线的水平渐近线求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线和铅垂渐近线.51xy2.2.铅垂渐近线铅垂渐近线解解因为，所以是曲因为，所以是曲线的水平渐近线线的水平渐近线0y051limxx又因为又因为5 5是的间断点是的间断点,且且，所以是曲线的铅垂渐近线，所以是曲线的铅垂
9、渐近线51xy5x51lim5xx例例5 5求曲线的水平渐近线和求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线铅垂渐近线.22123xxy解解因为，所以因为，所以是曲线的水平渐近线是曲线的水平渐近线3y3123lim22xxyx221123limxxx又因为又因为1 1和和-1-1是的间断点，且是的间断点，且，所以，所以和是曲线的铅垂渐近线和是曲线的铅垂渐近线22123xxy221123limxxx1x1x4.4.3 4.4.3 函数作图函数作图描绘函数图象的具体方法如下描绘函数图象的具体方法如下:1.1.确定函数的定义域的值域；确定函数的定义域的值域；2.2.确定曲线关于坐标轴的对称性；确定曲线关于坐标轴的
10、对称性；3.3.求出曲线和坐标轴的交点；求出曲线和坐标轴的交点；4.4.判断函数的单调区间并求出极值；判断函数的单调区间并求出极值；5.5.确定函数的凹向区间和拐点；确定函数的凹向区间和拐点；6.6.求出曲线的渐近线；求出曲线的渐近线；7.7.列表讨论并描绘函数的图象列表讨论并描绘函数的图象.例例6 6描绘函数的图象描绘函数的图象 323xxy解解(1)(1)定义域：定义域：.),(2)(2)函数不具有奇偶性，函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性因此曲线无对称性.(3)(3)令，得，令，得，表明曲线表明曲线 与与 轴有两个交点，一个是轴有两个交点，一个是 ，一个是，一个是 .0y0 xx0 x3
11、x3x(4)(4)，)2(3362xxxxy0 x0 y2x)1(666xxy 令，得，令，得，.，所以为极大值点，所以为极大值点，为极大值为极大值.062 xy2x4)2(f0 x0)0(f060 xy，所以为极小值点，所以为极小值点，为极小值；为极小值；(5)(5)令，得在的左令，得在的左侧有，在的右侧有，侧有，在的右侧有，而而，所以是拐点，所以是拐点1x1x0 y1x0 y0 y2)1(f)2,1(6)(6)无渐近线无渐近线.(7)(7)将上面的结果列表将上面的结果列表x)(xf)0,(),2(20)2,1(拐点拐点)(xf )(xf 0100)1,0()2,1(0)0(f极小值极小值4
12、)2(f极大值极大值例例7 7描绘函数的图象描绘函数的图象2)1(42xxy解解(1)(1)定义域：定义域：),0()0,(2)(2)函数不具有奇偶性，因此曲线无对称函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性性.312322x表明曲线与轴交于和表明曲线与轴交于和.x31x31x(3)(3)令，即，令，即，解得，解得0y02)1(422xxx0222 xx(4)(4)422)442(2)44(xxxxxxy4233288444xxxxxx33)2(484xxxx，令令 ，得，得 .0 y2x在左侧有，在右侧有在左侧有，在右侧有，所以是极小值点，所以是极小值点，是极小值是极小值2x0 y0 y2x2x3)
13、2(f(5)(5)623623248)2(124xxxxxxxy 4)3(8xx.令，得令，得.当从左向右经过当从左向右经过-3-3时，由负变正，又，所以时，由负变正，又，所以是曲线的拐点是曲线的拐点.3xx0 yy 982)3(f)982,3(6)(6)因为，所以因为，所以是曲线的水平渐近线是曲线的水平渐近线.2)2)1(4(lim2xxx2y又因为是函数的间断点，且又因为是函数的间断点，且，所以是曲线的，所以是曲线的铅垂渐近线铅垂渐近线)2)1(4(lim20 xxx0 x0 x(7)(7)将上面的结果列表将上面的结果列表x)(xf)3,(),0(03)2(f极小值极小值)(xf )(xf 032)2,3()0,2()982,3(拐点拐点不存在不存在0
