1、函数及其表示函数及其表示函数的概念函数及其表示函数的概念函数的历史“函数（function）”作为数学术语是戈特弗里德威廉莱布尼茨莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。1717世纪：世纪：1718 1718年约翰年约翰柏努利在莱布尼兹函数概念的柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和由任一变量和常数的任一形式所构成的量。常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变他的意思是凡变量量x x和常量构成的式子都叫做和常量构成的式子都叫做x
2、x的函数，并强调函的函数，并强调函数要用公式来表示。数要用公式来表示。函数及其表示函数的概念函数的历史“函数（function）”作为数学术语是戈特弗里德威廉莱布尼茨莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。1748 1748年，年，欧拉欧拉在其无穷分析引论一书中在其无穷分析引论一书中把函数定义为：把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。式。”1755 1755年，年，欧拉欧拉给出
3、了另一个定义：给出了另一个定义：“如果某些变量，以如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。的函数。”1717世纪：世纪：最多产的数学家最多产的数学家函数及其表示函数的概念函数的历史“函数（function）”作为数学术语是戈特弗里德威廉莱布尼茨莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。1818世纪：世纪
4、：1821年，柯西柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。函数及其表示函数的概念函数的历史“函数（function）”作为数学术语是戈特弗里德威廉莱布尼茨莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Le
5、ibniz）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。1818世纪：世纪：1822年傅里叶傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。函数及其表示函数的概念函数的历史“函数（function）”作为数学术语是戈特弗里德威廉莱布尼茨莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，是一个举世罕见的科学天才。多媒体1818世纪：世纪：1837年狄利克雷狄利克雷突破了这一局限，认
6、为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的对于在某区间上的每一个确定的x x值，值，y y都有一个确定的值，那么都有一个确定的值，那么y y叫做叫做x x的函数。的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义经典函数定义。函数及其表示函数的概念函数的历史 我们初中学习的函数的概念，是在我们初中学习的函数的概念，是在“经典函数定义经典函数定义”的基础上又一次升级。从运动变化的角度来描述函数概念，的基础上又一次升级。从运动变化的角度来描述函数概念，让我们更容易理解。让我们更容易理解。一
7、般地，设在一个变化过程中有两个变量一般地，设在一个变化过程中有两个变量x x、y y，如果对于如果对于x x在它在它允许取值范围内允许取值范围内的的每一个值每一个值，y y都有都有唯唯一一确定的值与它确定的值与它对应对应，那么就说，那么就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的的函数。函数。该定义强调了该定义强调了x和和y的对应关系的对应关系变量与变量的对应变量与变量的对应函数及其表示函数的概念初中函数知识回顾 一般地，设在一个变化过程中有两个变量一般地，设在一个变化过程中有两个变量x x、y y，如，如果对于果对于x x在它在它允许取值范围内允许取值范围内的的每一个值每一个值，y y都
8、有都有唯一唯一确确定的值与它定的值与它对应对应，那么就说，那么就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数。的函数。数定义数定义初中函初中函了解一个函数，应该从哪些方面考虑？了解一个函数，应该从哪些方面考虑？自变量自变量x x允许取值的范围是什么？允许取值的范围是什么？自变量自变量x x和和y y是如何对应的？是如何对应的？为了表示一个函数，我们学过哪些表示函数的为了表示一个函数，我们学过哪些表示函数的方法？方法？解析法解析法 列表法列表法 图像法图像法变量与变量的对应变量与变量的对应函数及其表示函数的概念初中函数知识回顾 一般地，设在一个变化过程中有两个变量一般地，设在一个变化过程中
9、有两个变量x x、y y，如，如果对于果对于x x在它在它允许取值范围内允许取值范围内的的每一个值每一个值，y y都有都有唯一唯一确确定的值与它定的值与它对应对应，那么就说，那么就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数。的函数。数定义数定义初中函初中函下面三个函数，你了解它们吗？下面三个函数，你了解它们吗？23 xyx1357911y124567xyO-12一对一多对一变量与变量的对应变量与变量的对应函数及其表示函数的概念初中函数知识回顾 一般地，设在一个变化过程中有两个变量一般地，设在一个变化过程中有两个变量x x、y y，如，如果对于果对于x x在它在它允许取值范围内允许取值范
10、围内的的每一个值每一个值，y y都有都有唯一唯一确确定的值与它定的值与它对应对应，那么就说，那么就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数。的函数。数定义数定义初中函初中函你认为 是函数吗？)x(1y R变量与变量的对应变量与变量的对应 若按初中函数的定义，说“”是函数，就有些牵强，因为虽然x是变化的，但y是不变化的。y1 (x)R 若说“”不是函数，又有些不合情理。因为x的允许取值范围是一切实数，x可取的每一个值，y都有唯一的值1和它对应，基本符合函数的定义。y1 (x)R 由于这种类似问题的出现，数学家们认为要对由于这种类似问题的出现，数学家们认为要对函数的概念进行升级！函数的概
11、念进行升级！函数及其表示函数的概念函数概念的升级 一般地，设在一个变化过程中有两个变量一般地，设在一个变化过程中有两个变量x x、y y，如，如果对于果对于x x在它在它允许取值范围内允许取值范围内的的每一个值每一个值，y y都有都有唯一唯一确确定的值与它定的值与它对应对应，那么就说，那么就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数。的函数。数定义数定义初中函初中函变量与变量的对应变量与变量的对应 等到等到康托康托创立的集合论在数学中占有创立的集合论在数学中占有重要地位之后，重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦奥斯瓦尔德维布伦用用“集集合合”和和“对应对应”的概念给出了近代函数定的概念给出了
12、近代函数定义。义。从此函数的定义由“变量与变量”对应转为“集合与集合”的对应。下面，我们就来学习这个近代函数的定义下面，我们就来学习这个近代函数的定义函数及其表示函数的概念近代函数概念 一般地，设在一个变化过程中有两个变量一般地，设在一个变化过程中有两个变量x x、y y，如，如果对于果对于x x在它在它允许取值范围内允许取值范围内的的每一个值每一个值，y y都有都有唯一唯一确确定的值与它定的值与它对应对应，那么就说，那么就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函数。的函数。数定义数定义初中函初中函变量与变量的对应变量与变量的对应数定义数定义高中函高中函集合与集合的对应集合与集合的对应
13、 设设A A，B B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系系 ，使对于，使对于集合集合A A中的中的任意一个数任意一个数 ，在集合，在集合B B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数 和它和它对应对应，那么就称，那么就称 为从为从集合集合A A到集合到集合B B的一个函数。记作的一个函数。记作:A )(x,xfyfx)(xfBA:f两种函数定义的有什么联系吗？x的任意性，的任意性，y的唯一性的唯一性函数及其表示函数的概念函数研究集合与集合的对应集合与集合的对应定义定义函数函数 设设A A，B B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关是非空的数集，如果按照某
14、种确定的对应关系系 ，使对于，使对于集合集合A A中的中的任意一个数任意一个数 ，在集合，在集合B B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数 和它和它对应对应，那么就称，那么就称 为从为从集合集合A A到集合到集合B B的一个函数。记作的一个函数。记作:A )(x,xfyfx)(xfBA:f 该定义中，该定义中，叫做叫做自变量自变量，的取值范围的取值范围A叫做函数的叫做函数的定义域定义域,与与 的值相对应的的值相对应的 值叫做值叫做函数值函数值，函数值的集合，函数值的集合 叫叫做函数的做函数的值域值域。xxxyA|)(xxf 是函数吗？)x(1y R集合A=R集合B=1对应关系：变为1是的是的R
15、1定义域：R值域：1函数及其表示函数的概念函数研究定义定义函数函数 设设A A，B B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于，使对于集合集合A A中的中的任任意一个数意一个数 ，在集合，在集合B B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数 和它和它对应对应，那么就称，那么就称 为从为从集合集合A A到集合到集合B B的一个函数。记作的一个函数。记作:A )(x,xfyfx)(xfBA:f判断下列对应是不是从判断下列对应是不是从A到到B的函数的函数?1、A=1,2,3,B=2,6,4,对应关系：xy=2x2、A=1,2,3,B=1,2,3,1.5,
16、对应关系：A中元素的倒数的3倍与B中元素对应。3、A=1,4,9,B=-1,-2,-3,1,2,3,对应关系：对A中元素的平方根与B中元素对应。4、A=-1,-2,-3,1,2,3,B=1,2,3,4,对应关系：xy=|x|5、A=R,B=R,对应关系：xy=x26、A=R,B=R,对应关系：x1yx函数及其表示函数的概念在在“小牛试刀小牛试刀”中，有四个对应可称为函数，它中，有四个对应可称为函数，它们的定义域和值域分别是什么们的定义域和值域分别是什么?1、A=1,2,3,B=2,6,4,对应关系：xy=2x2、A=1,2,3,B=1,2,3,1.5,对应关系：A中元素的倒数的3倍与B中元素对
17、应。4、A=-1,-2,1,B=1,2,3,4,对应关系：xy=|x|定义域：定义域：1,2,3；值域：值域：2,6,4定义域：定义域：1,2,3；值域：值域：1,1.5,3定义域：定义域：-1,-2,1；值域：值域：1,2(1)值域和集合值域和集合B有什么关系有什么关系?值域是集合值域是集合B的子集的子集(2)要了解一个函数，我们要从哪些方面考虑要了解一个函数，我们要从哪些方面考虑?定义域 对应关系值域函数的三要素5、A=R,B=R,对应关系：xy=x2定义域：定义域：R；值域：值域：y|y0函数及其表示函数的概念函数研究集合与集合的对应集合与集合的对应定义定义函数函数 设设A A，B B是
18、非空的数集，如果按照某种确定的对应关是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系系 ，使对于，使对于集合集合A A中的中的任意一个数任意一个数 ，在集合，在集合B B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数 和它和它对应对应，那么就称，那么就称 为从为从集合集合A A到集合到集合B B的一个函数。记作的一个函数。记作:A )(x,xfyfx)(xfBA:f 该定义中，该定义中，叫做叫做自变量自变量，的取值范围的取值范围A叫做函数的叫做函数的定义域定义域,与与 的值相对应的的值相对应的 值叫做值叫做函数值函数值，函数值的集合，函数值的集合 叫叫做函数的做函数的值域值域。xxxyA|)(xxf函数三要素：定义域、对应关系、值域若想区别两个函数，要考虑哪些要素呢若想区别两个函数，要考虑哪些要素呢?定义域、对应关系区别两个函数，主要是考察它们区别两个函数，主要是考察它们定定义域和对应关系义域和对应关系是否分别相同。是否分别相同。
