1、 如何用数学来如何用数学来反映山势的平缓反映山势的平缓与陡峭程度？与陡峭程度？HABCDFXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点是登山者的出发点,H是山顶是山顶,登山路线用登山路线用y=f(x)表示表示；问题：当自变量问题：当自变量x表示登山者的水平位置，表示登山者的水平位置，函数值函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？登山问题登山问题xHABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x1,y1)B(x2,y2)选取平直山路选取平直山路AB放大研究放大研
2、究:若若),(),(2211yxByxA12xxx12yyy自变量的改变量自变量的改变量函数值的改变量函数值的改变量xyxxyyxxyyk21211212直线直线AB的斜率的斜率:xyD1X3HABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx0 x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)xyxxyyk0101直线直线AB的斜率的斜率:xyxxyyk23231直线直线CD1的斜率的斜率:xy0 x0 x1OYx01xxxA(x0,y0)y1B(x1,y1)011yyyy2C(x2,y2)022yyyy3D(x3,y3)033yyyy4E(x
3、4,y4)044yyyy0 x0 x1OYx01xxxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)xy1xy2xy3xy4平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢 建构数学建构数学华罗庚华罗庚函数的平均变化率函数的平均变化率已知函数已知函数 在点在点 及及其附近其附近有定义，有定义，令令 ,则当则当 时时,比值比值叫做函数叫做函数 在在 到到 之间的之间的平均变化率平均变化率)(xfy 0 xx 0 xxx)()()()(0000 xfxxfxfxfyyy0 xxyxxfxxf)()(00)(xfy 0 xxx0思考思考:函数平均变化率的几何
4、意义？函数平均变化率的几何意义？00()()f xxf xxOABxyY=f(x)x0X0+xf(x0)f(X0+x)x直线直线AB的的斜率斜率函数平均变化率函数平均变化率:函数值的改变量与自变量的改变量之比函数值的改变量与自变量的改变量之比 观察函数f(x)的图象00()()f xxf x过曲线过曲线 上的点上的点 割线的斜率。割线的斜率。()yf x00(,()xf x 和00(x,(x)xf x思考思考：（：（1）x、y的符号是怎样的？的符号是怎样的？（2）该变量应如何对应？）该变量应如何对应？理解：理解：2、对应性：若).()(,1212xfxfyxxx则;,0,11212但可正可负即
5、附近的任意一点是、xxxxx.)()(12可正可负，也可为零xfxfy 美国康乃大学曾经做过一个有名的美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验青蛙试验”。试验人员。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温
6、变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。例例1.求函数求函数 在在 到到 之间的平均变化率之间的平均变化率2xy 0 xxx0解:当函数 在 到 之间变化的时候 2xy 0 xxx0函数的平均变化率为xxxxxxxxfxxfxy02020002)()()(分析:当 取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样.x0 x(2)求函数求函数 在在 到到 之间的平均变化率之间的平均变化率xy10 xxx0解:当函数 在 到 之间变化的时候 0 xxx0 xy1函数的平均变化率为00
7、0000)(111)()(xxxxxxxxxfxxfxy课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？甲甲乙乙O (1)路程路程tyO甲甲乙乙t0t100m知识运用知识运用再做两个题吧再做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及邻近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A、3 B、3x-(x)2C、3-(x)2 D、3-x D y=kx+b在区间在区间 上的上的平均变化率有什么特点？平均变化率有什么特点？2.求下列函数的在区间求下列
8、函数的在区间 平均变化率：平均变化率：（1）y=1 （2）y=2x+1 （3）y=-2x00 xxx，00 xxx，00 xxx或，例例3：已知函数：已知函数 ，计算函数在下列区间上的平均变化率。，计算函数在下列区间上的平均变化率。2)(xxf解:当函数 在 到 之间变化的时候 2xy 0 xxx0函数的平均变化率为xxxxxxxxfxxf02020002)()()(xxy变化区间自变量改变量平均变化率（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物要精确地描述非
9、匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是律是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是，就是物体在物体在t 到到 t+t 这段时间内，当这段时间内，当 t0 时平均速度时平均速度的极限即的极限即vttsttstsvt )()(lim0 瞬时速度瞬时速度函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变 时，函数值相应的发生改变如果当 趋近于时，平均变化率 趋近于一个常数 ，则数 称为函数 在点 处的瞬时变化率瞬时变化率。)(xfy 0 xx0 xx)()(00
10、xfxxfyxxxfxxf)()(00ll)(xfy 0 x导数导数的概念的概念也可记作也可记作ox xy 若这个若这个极极限不存在限不存在，则，则称在点称在点x0 处处不不可导可导。设函数设函数 y=f(x)在点在点 x=x0 的附近有定义，当自变量的附近有定义，当自变量 x 在在 x0 处处取得增量取得增量 x(点点 x0+x 仍在该定义内）时，仍在该定义内）时，相应地函数相应地函数 y 取取得增量得增量 y=f(x0+x)-f(x0)，若，若y与与x之比当之比当 x0的极的极限存在，则称函数限存在，则称函数 y=f(x)在点在点 x0 处处可导可导，并称这个并称这个极限极限为函数为函数
11、y=f(x)在点在点 x0 处的处的导数导数记为记为 0()fx00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 即即说明：说明：)(xf0 x0 xxyxy0 x（1）函数）函数在点在点处可导，是指处可导，是指时，时，有极限如果有极限如果不存在极限，就说函数在不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数处不可导，或说无导数点点x是自变量是自变量x在在0 x处的改变量，处的改变量，0 x，而，而y是函数值的改变量，可以是零是函数值的改变量，可以是零（2）)(xfy 0 x由导数的定义可知，求函数由导数的定义可知，求函数在在处的处的导数的步骤导数的步骤:00()()ff xxf x（
12、1）求函数的增量）求函数的增量:；00()()f xxf xfxx（2）求平均变化率）求平均变化率:；00()limxffxx（3）取极限，得导数）取极限，得导数:例例:高台跳水运动中，高台跳水运动中，秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位：），求运动员在），求运动员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢?t)(s105.69.4)(2ttthst1mst5.06.1)5.0(/hst1ththth)1()1(ttt1015.619.410)1(5.6)1(9.4223.39.4t3.3同理，同理，thh1/运动
13、员在时的瞬时速度为运动员在时的瞬时速度为 ，3.3)1(/hst1sm/3.3st5.0smh/6.1)5.0(/sm/6.1上升上升下落下落这说明运动员在附近，正以大约这说明运动员在附近，正以大约 的速率的速率 。3.39.4t0limt)(lim0t 3.31/hst5.0sm/0 x割线割线PQ的的变化情况的的变化情况在在的过程中，的过程中，请在函数图象中画出来请在函数图象中画出来你能描述一下吗？你能描述一下吗？)(xfy PQxyM求已知曲线的切线求已知曲线的切线.0()Kfx切作业 课本82.B2 报纸A14 一是一是:根据物体的路程关于时间的根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速
14、度函数求速度和加速度.二是二是:求已知曲线的切线求已知曲线的切线.00()(),V tS t0()Kfx切例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为xh2()715(08).fxxxx计算第计算第2 h和第和第6 h，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。并说明它们的意义。3.1.1 3.1.1 导数的几何意义导数的几何意义00()()nnnf xf xkxxPxy00 x()yf xTnx 一是一是:
15、根据物体的路程关于时间的根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度函数求速度和加速度.二是二是:求已知曲线的切线求已知曲线的切线.00()(),V tS t0()Kfx切课堂小结：课堂小结：函数的平均变化率函数的平均变化率函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率0 xxxfxxfxy)()(00lxxfxxfxy)()(00l例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：）为）为xh2()715(08).fxxxx计算第计算第2 h和第和第6 h
16、，原油温度的瞬时变化率，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。并说明它们的意义。3.1.1 3.1.1 导数的几何意义导数的几何意义00()()nnnf xf xkxxPxy00 x()yf xTnxPxyo0 x()yf xT0000()()()(,()yf xxfxyf xM xf x函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。0000()()lim()xf xxf xkxfx 00()(,()yf xMxf x曲线在点处000()()yyfxxx的切线方程为的切线方程为0tan()PTkfx即即 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。通过通过逼近逼
17、近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。2l1lxyABCPPP 根据导数的几何意义，在点根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以附近，曲线可以用在点用在点P处的切线近似代替处的切线近似代替。大多数大多数函数曲线函数曲线就就一小范围一小范围来看，大致可来看，大致可看作看作直线，直线，所以，所以，某点附近的曲线可以用过此某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即点的切线近似代替，即“以直代曲以直
18、代曲”（以简（以简单的对象刻画复杂的对象）单的对象刻画复杂的对象）1.在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ，的几何意义的几何意义.105.69.4)(2ttth3.3)1(/h6.1)5.0(/hh0.15.0Ot (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？
19、,0t,1t2t,3t4t增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝多值的大小的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象(2)曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 0t曲线在曲线在 处切线处切线 的斜
20、率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调0t,1t,1t2t如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度，2t1t,3t4t大于大于上升上升递增递增2l1l3l4l3t4t上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t递减递减下降下降小于小于下降下降,3t4t 2如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：（单位：mg/ml）随时间）随时间t（单位：（单位：min）变
21、化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1)血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率,就是药物浓度就是药物浓度从图象上看从图象上看,它表示它表示曲线在该点处的曲线在该点处的切线的斜率切线的斜率.函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数,（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象)(0/xf)(/xf 抽象概括抽象概括：是确定的数是确
22、定的数是的函数是的函数x 导函数的概念：导函数的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/xxfxxfxfx)(lim0/t 0.2 0.4 0.60.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 3.004.15.0小结：小结：.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线处的切线AD的斜率的斜率（数形结合）（数形结合）)(xf0 xx 0/xf)(xf)(,00 xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/切线切线 AD的斜率的斜率3.导函数导函数(简称导数简称导数)xxfxxfxfx)()(lim)(0/2
23、.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，解释实际生活问题，体会体会“数形结合数形结合”，“以直代曲以直代曲”的数学的数学思想方法。思想方法。以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象课堂小结课堂小结 今天这节课，你学到了哪些知识？小结：小结：1.函数的平均变化率函数的平均变化率定义定义 2.函数的平均变化率函数的平均变化率的几何意义的几何意义 3.函数的平均变化率的求法函数的平均变化率的求法00()()f xxf xx是曲线上两点对应割线的斜率是曲线上两点对应割线的斜率 美国康乃大学曾经做过一个有名的美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验青蛙试验”。试验人员。试验人员
24、把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。课堂小结：课堂小结：函数的平均变化率函数的平均变化率函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率0 xxxfxxfxy)()(00lxxfxxfxy)()(00l布置作业：布置作业：课本：P84 练习B 1、2、3 P89 练习A 2、B 1
