1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学21.2演绎推理演绎推理第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学本节重点：演绎推理的结构特点本节难点：三段论推理规则第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明
2、推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学1用集合论的观点来分析，三段论推理的依据是：如果集合M中的每一个元素都具有属性P，且S是M的子集，那么集合S中的每一个元素都具有属性P.2为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学3合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定
3、正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学演绎推理是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间
4、有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的但错误的前提可能导致错误的结论第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学1演绎推理从 的原理出发，推出情况下的结论的推理形式它的特点是：由的推理它的特征是：当都正确时，必然正确一般性某个特殊一般到特殊前提和推理形式结论第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学2三段论推理在推理中：“若bc，而ab，则ac”，这种推理规则叫三段论推理它包括：(1)已知的一般性原理(2)所研究的特殊情况(3)根据一般原理，对特
5、殊情况做出的判断 推理是演绎推理的一般模式大前提小前提结论三段论第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学3“三段论”的常用格式大前提：小前提：结论：.M是PS是MS是P第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学例1下列说法正确的个数是()演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理得到的结论一定是正确的演绎推理的一般模式是“三段论”形式演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学A1B2C3D4答案C解析由演绎推
6、理的概念可知说法正确，不正确，故应选C.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学下列几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学答案A解析C是类比推理，B与D均为归纳推理，而合情推理包括类比推理和归纳推理，故B、C、D都不是演绎推理而A是由一般到特殊的推理形式，故A是演绎推理.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修
7、选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学分析即写出推理的大前提、小前提、结论大前提可能在题目中给出，也可能是已经学过的知识解析(1)每个菱形的对角线相互垂直大前提正方形是菱形小前提正方形的对角线相互垂直结论(2)两个角是对顶角则两角相等大前提1和2不相等小前提1和2不是对顶角结论第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学点评在三段论中，“大前提”提供了一般的原理、原则，“小前提”指出了一个特殊场合的情况，“结论”在大前提和小前提的基础上，说明一般原则和特殊
8、情况间的联系，平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理，学习三段论后我们要主动地理解和掌握这一推理方法第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学把下列演绎推理写成三段论的形式(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100，所以在一个标准大气压下把水加热到100时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被2整除；第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学解析(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100，小前提：在一个标准大气压下把水加热到100，结论：水会沸腾第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修
9、选修2-2)人教A版数学(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：21001是奇数，结论：21001不能被2整除(3)大前提：三角函数都是周期函数，小前提：ytan是三角函数，结论：ytan是周期函数(4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，小前提：A与B是两条平行直线的同旁内角，结论：AB180.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学例3指出下面推理中的错误(1)因为自然数是整数，大前提而6是整数，小前提所以6是自然数结论(2)因为中国的大学分布于中国各地，大前提而北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布于中国各地结论第二章第二章 推理与证明推理与证明 (
10、选修选修2-2)人教A版数学分析要判定推理是否正确，主要从三个方面：(1)大前提是否正确；(2)小前提是否正确；(3)推理形式是否正确，只有当上面3条都正确时，结论才正确解析(1)推理形式错误，M是“自然数”，P是“整数”，S是“6”，故按规则“6”应是自然数(M)(此时它是错误的小前提)，推理形式不对，所得结论是错误的(2)这个推理错误的原因是大、小前提中的“中国的大学”未保持同一，它在大前提中表示中国的各所大学，而在小前提中表示中国的一所大学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学点评三段论的论断基础是这样一个原理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(
11、或否定)了这一类对象的各部分或个体”，简言之，“全体概括个体”M，P，S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S(如图甲)；如果概念P排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S(如图乙)第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学下列推理是否正确，将有错误的指出错误之处(1)求证：四边形的内角和等于360.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有ABCD90909090360.所以，四边形的内角和等于360.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学(3)在RtABC中，C90，求证：a2b2c2.证
12、明：因为acsinA，bccosA，所以a2b2c2sin2Ac2cos2Ac2(sin2Acos2A)c2.(4)设ab(a0，b0)等式两边乘以a，得a2ab，两边减去b2，得a2b2abb2，两边分解因式，得(ab)(ab)b(ab)，两边除以(ab)，得abb，以b代a，得2bb，两边除以b，得21.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学解析上述四个推理过程都是错误的(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数因此原题的真实性仍无法断定(3)
13、本题的论题就是人们熟知的勾股定理上述证明中用了“sin2Acos2A1”这个公式，按照现行中学教材的系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学(4)所得结果显然是错误的，错误的原因在于以(ab)除等式两边因为ab，而ab0，用0除等式两边，这是错误的.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学例4在四边形ABCD中，ABCD，BCAD(如图)求证：ABCD为平行四边形写出三段论形式的演绎推理第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A
14、版数学分析原题可用符号表示为(ABCD)且(BCAD)ABCD.用演绎推理来证明论题的方法，也就是从包含在论据中的一般原理推出包含在论题中的个别、特殊事实为了证明这个命题为真，我们只需在假设前提(ABCD)且(BCAD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论 ABCD为真第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学证明(1)连结AC(2)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等大前提如果ABC和CDA的三边对应相等小前提则这两个三角形全等结论符
15、号表示：(ABCD)且(BCDA)且(CAAC)ABC CDA.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学(3)由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等大前提如果ABC和CDA全等，小前提则它们的对应角相等结论用符号表示，就是ABC CAD(12)且(34)且(BD)第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行(平行线判定定理)大前提直线AB，DC被直线AC所截，若内错角12，34小前提(已证)ABDC，BCAD.
16、(ABDC)且(BCAD)结论(同理)第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学(5)如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形(平行四边形定义)大前提四边形ABCD中，两组对边分别平行，小前提四边形ABCD为平行四边形结论符号表示为：ABDC且ADBCABCD为平行四边形第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学点评像上面这样详细地分析一个证明的步骤，对于养成严谨的推理习惯，发展抽象思维能力，是有一定积极作用的但书写起来非常繁琐，一般可以从实际出发，省略大前提或小前提，采用简略的符号化写法比如，本例的证明，通常可以这样给出：第二章
17、第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90.证明因为任意三角形三内角之和是180大前提而直角三角形是三角形小前提所以直角三角形三内角之和是180结论设直角三角形两个内角分别为A、B，则有AB90180因为等量减等量差相等大前提(AB90)9018090小前提所以AB90结论第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学例5(2010安徽理，18)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABC
18、D是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小解析(综合法)(1)证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学四边形EFGH为平行四边形EGFH，而EG平面EDB，FH平面EDB.(2)证：由四边形ABCD为正方形，有ABBC.又EFAB，EFBC.而EFFB，EF平面BFC.EFFH，ABFH.又BFFC，H为BC的中点，FHBC.
19、第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学FH平面ABCD.FHAC.又FHEG，ACEG.又ACBD，EGBDG，AC平面EDB.(3)解：EF、FB，BFC90，BF平面CDEF.在平面CDEF内过点F作FKDE交DE的延长线于K，则FKB为二面角BEC的一个平面角第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学又BFFC，H为BC的中点，FHBC.FH平面ABC.以H为坐标原点，为x轴正向，为z轴正向，建立如图所示坐标系设BH1，则A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0
20、)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学设m为实数，求证：方程x22mxm210没有实数根解析已知方程x22mxm210的判别式(2m)24(m21)40，所以方程x22mxm210没有实数根第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学点评此推理过程用三段论表述为：大前提：如果一元二次方程的判别式
21、0，那么这个方程没有实数根；小前提：一元二次方程x22mxm210的判别式0；结论：一元二次方程x22mxm210没有实数根第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学一、选择题1演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法()A一般的原理B特定的命题C一般的命题 D定理、公式答案A解析考查演绎推理的定义，由定义知选A.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学2“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，若奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数”上述推理
22、是()A小前提错误 B大前提错误C结论错误 D正确的答案D解析大前提是正确的，小前提也是正确的，推理过程也正确，所以结论也正确故应选D.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学3如果有人在1985年以后大学毕业，他就一定读过邓小平理论刘明读过邓小平理论，所以()A刘明可能是1985年以后的大学毕业生B刘明是共产党员C刘明是1985年以后的大学毕业生D刘明喜欢这本书答案A解析由实际生活情况知A正确，故应选A.第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学二、填空题4指出三段论“自然数中没有最大的数字(大前提),9是最大的个位数字(小前提)，所以9不是
23、自然数(结论)”中的错误是_答案小前提中S不是M解析大前提中的数字泛指非负整数，而小前提中的数字指的是个位数，因而得出错误的结论第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学5函数y2x5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提_小前提_结论_答案一次函数的图象是一条直线函数y2x5是一次函数函数y2x5的图象是一条直线解析关键找出大前提和小前提第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学三、解答题6将下列演绎推理写成三段论的形式(1)菱形的对角线互相平分(2)奇数不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数答案(1)平行四边形对角线互相平分大前提菱形是平行四边形小前提菱形对角线互相平分结论(2)一切奇数都不能被2整除大前提75不能被2整除小前提75是奇数结论第二章第二章 推理与证明推理与证明 (选修选修2-2)人教A版数学
