1、一、导数及微分一、导数及微分1.导数与微分的定义；导数与微分的定义；2.导数的几何意义；导数的几何意义；3.导数的运算法则；导数的运算法则；4.导数的基本公式；导数的基本公式；5.导数的计算方法导数的计算方法。000000001.()()()()limlim(),.2.x xxxx xf xxfxf xxf xyyxxdydxdyxfxydxdyy dx 若存在,记作在点 的导数是一个极限:注:任意点 时,记作:或微分:0000()()()lim.hf xhf xfxh.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 导数的其它形式导数的其它形式定义定义历届试题历届试题（0701，3分）基本
2、导数公式基本导数公式(P95,熟记熟记!)01xlnxaaxe1lnxa1xcosxsin x21cos x21sin x(1)()C 3()(4)()xxae 5()l6og()lnaxx 7()8()9sincostan()10()xxxcotx211()1,();21()xxxxx 特例:也当公式!2()x 题型题型2.14 求曲线在点求曲线在点x0的切线方程的切线方程).)(000 xxxfyy 0000()1.kyyk xx、过点(x,y)及斜率为 的直线点斜式方程:方法与步骤方法与步骤:点点斜斜式式1.求求切点坐标切点坐标(x0,y0):如如,x0y0=f(x0);2.求该点求该点
3、x0的的切线斜率切线斜率k:k=f(x0);（导数值）（导数值）3.写出写出切线方程：切线方程：知识要求知识要求:00()k fxx2、导数的几何意义:曲线过点的切线斜率=等于函数在这点的导数值:助记词：助记词：切线斜率就是导数值，切线斜率就是导数值，先求导数后求值先求导数后求值！.x求曲线y=e 在x=1处的切线斜率解解P83例例51,(1,);,xyee当时求切点为点.xye曲线y=e 在x=1处的切线斜率k=)(,1,xxxye由y=(ee公式)当时求切线斜率,2.求曲线y=x 在点(1,1)处的切线方程解解P83例例6(11;,)为切点22(2,1,xkxy由y=(x)公式求)得当率时
4、切线斜,2曲线y=x 在点(1,切线1)处的方程为:y-1=2(x-1)即y=2x-1.(点)(斜)(式)历届试题历届试题（0601，3分）2.曲线y=s inx在点（，0)处的切钱斜率是(）A.1；B.2 C、2；D.-l（0807，3分）（0801，3分）2.5-1导数的四则运算法则导数的四则运算法则(P88-90,熟记熟记!)(),():(1)()(2)()(3)()(4)()uu x vv xuvuvucuv设两个可导函数可导,则2;u vuvv;u vuv;uv;cu2.5-4基本导数公式基本导数公式(P95,熟记熟记!)01xlnxaaxe1lnxa1xcosxsin x21cos
5、 x21sin x(1)()C 3()(4)()xxae 5()l6og()lnaxx 7()8()9sincostan()10()xxxcotx211()1,();21()xxxxx 特例:也当公式!2()x 练习练习 232312()()xx 3(2)13xx(1)ln 2由导数公式作简单计算由导数公式作简单计算 24(log)(lg)xx练习答案练习答案 2125233333233232(1)0ln 20221222()()()()33331113(2)2 ln 2lnln3333114(log)(lg)ln 2ln1013xxxxxxxxxxxxxxxxxx 对和、差、积、商函数求导或
6、微分对和、差、积、商函数求导或微分（1）先用先用运算法则运算法则把导数符号分给每个函数，把导数符号分给每个函数，（2）再用再用基本导数公式基本导数公式求每个函数的导数。求每个函数的导数。（3）若求微分，先求导数）若求微分，先求导数y再再写出写出dy=ydx.题型题型2.15 用直接法求导数及微分用直接法求导数及微分知识要求知识要求1、基本导数公式基本导数公式10+3条条(P95)，四则运算法则，四则运算法则4条条(P88-90)；方法步骤方法步骤:2、微分公式、微分公式 dy=ydx 11,23nqnnmnmnmpmmpmnqxxxxxxx3.把根号化为指数:助记词：助记词：先化根号为指数，先
7、化根号为指数，再用法则后公式再用法则后公式，微分接着写一写！微分接着写一写！2求函数y=sinx+x-5的导数P89例例1解解2y=(sinx+x-5)25运算法则sinxxcos20cos2xxxx基本公式(公式7)(公式2)(公式1)x求函数y=2+lnx的微分P89例例2xy=(2+lnx)1ln2.xdxx2dydxyx运算法则2lnx1ln2,xx基本公式2解解(公式3)(公式6)2求函数y=(3x-lnx)(1-2x)的导数解解2y=(3x-lnx)(1-2x)22运算法则(3x-lnx)(1-2x)+(3x-lnx)(1-2x)22运算法则(3x)-(lnx)(1-2x)+(3x
8、-lnx)(-2x)21xx运算法则与基本公式(6-)(1-2x)+(3x-lnx)(-2)212ln2618xxxx整理P89例例3解解22xx运算法则(e+x)(2x-cosx)(e+x)(2x-cosx)运算法则P90例例42x设函数y=(e+x)(2x-cosx),求y.2xy=(e+x)(2x-cosx)2xx(e+2x)(2x-cosx)(e+x)(2+sinx)解解运算法则运算法则P90例例511xx求函数y=的导数和微分.11xx y=()2(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx22(1)(1)2(111)(1)xxxxdyy dx22(1)dxx求 y=tanx 的导数.s
9、incosxyx运算法则221seccosxx解解P90例例62(sin)cossin(cos)cosxxxxx222cossincosxxx221(tan)secco(9s)xxx公式即22ln1xxx 求函数y=的导数和微分.P91例例7解解23ln)1xxyx=(44322 lnln(1)xxxxxxdxxdyy dx44322 lnln(1)xxxxxxx444322ln2 ln3ln(1)xxxxxxxxx33222(1)(ln)(32n)1(lxxxxxxxx322332(1)(l(1n)(1)lnxxxxxxx历届试题历届试题（0607，3分）解题方法：解题方法：计算右边的计算右
10、边的dy=ydx，再与等号的左边比较。，再与等号的左边比较。复合函数求导公式复合函数求导公式uuu()(),()10 xuxyf u xyf u uu xyfu如下条公式 (1)()2()3()(4)()(5)lo()6()glnuuaCaeuuu (基本公式中把基本公式中把x换成换成u,再加再加u)22sincost7()cos8()sin19()cos110()sinanuuucuuuxotu uuuuuu01ulnuaaue1lnua1u1.确定最外层函数确定最外层函数f及及u，并对并对f 函数求导；函数求导；2.确定次外层函数确定次外层函数g及及u，并对并对g函数求导；函数求导；按复合
11、函数求导公式依次对按复合函数求导公式依次对fg x求导。求导。(x=1)题型题型2.16 用复合函数求导法则求导用复合函数求导法则求导1.(10uxyyu能分清复合函数的复合层次;2.记住先对u求导,再对x求导的复合函数求导公式:条);（P92例8-例17）知识要求知识要求方法与步骤方法与步骤:助记词：助记词：先法则后公式，先法则后公式，先外层后里层！先外层后里层！44in(s)x3sins4()(in)xx325(1)x22231()()311xx123()1x3ln3.()x ln xln x公式公式2练习练习(基本公式)复合公式)1()uuu 1():xx 公式21 2ux 30122.
12、()x301.()x30 1293030 xx291230()x12()x292930(12)260(12)xxlnux3 13()根号化指数11()()(:xuuxu基本公 式)复公式2合公式)12x30(12).(yx求函数的导数 放映)30()1)2(x 3013012x解P92例例8（公式（公式2）3160(12)x 321 lnyx求函数的导数P93例例11（根号化指数，公式（根号化指数，公式2）解:23(1 ln)yx213(1 ln)x化指数222321(1ln)(1ln)3xx公式22231(1 ln)2ln()nl3xxx公式2232(1 ln)ln3xxx公式63211 l
13、nyx求函数的导数思考题思考题解:231()1 lnyx213(1 ln)x化指数232421(1 ln)(1 ln)3xx公式42231(1 ln)2ln()ln3xxx公式4232(1 ln)ln3xxx公式6211xx 211uuu c1s1.(o)x 练习:21os(ccos)xx2sincosxxtan secxx公式公式2练习：练习：21(1 2)1)2(xx1.()122x 22(1 2)x)22:1(xx 公式2):(1x 练习1()2uuu 221(1)21xx21xx222 1xx注：也可以化为指数计算公式公式2练习：练习：()ln)ln3(xuxuaaaaaau公式公式公
14、式3练习：练习：sin2.()2x 1.()2x练习:ln22xsinln2 s()in2xxsinln2 cos2xx13.()3x 1ln31()3xx123 ln3xx 1sin4.()2x 1sinln21si()n2xx1sin1ln2(cos)1)(2xxx1sin21ln2 cos2xxx()xxee 公式4:1.()axe 练习:公式公式4练习：练习：()axaxe()uueeu 22.()xe11()xex13.()xe 22()xex2cos4.()xe 2cos2c()osxxe22cos2sin()xxex 2cos22sinxxex12xex22xxeaxae()4x
15、xee 公式()xe 解xex2xexP92例例9（公式（公式4）,.xyedy设求()uueeu 公式公式5练习练习 1(l5)(oglnaxxa 公式1(log)lnauuau 3.log(cos.xx设y=),练:求y习13log(cosxx 解 y)=1(lncoscos3xxxx)1 sin(cosln3xxx)lg(.xex设y=)练:,求y习25lg(xex公式y=)解:1(xxexex)ln1012(xxexex)ln10212(xxxex ex化简)ln10公式公式6练习练习1(ln)(6)xx 公式1(ln)uuu ln(11.yx练设),求y习1ln(11(11)11xy
16、xx解)1(12 1112 1(111)xxxxx P92例例10（公式（公式6）1coscosxx对数求导（）1cossinxx余弦求导tan x lncos,.yxy设求:lnxx余弦c函数的复合层次分析对数os:自变量1()x公用到的求导公式:公式(6)式(8可不写)ln oscyx解P93例例12（公式（公式6）221ln1xyx求函数的微分.421xdxx221(ln:)1xyx解221 ln(1)ln(1)2xx221(ln(1)ln(1)2xx运算法则226241222()2 111xxxxxx公式dydxy函数化简(sin)os7cxxx 公式公式7练习练习(sin)cosuu
17、u sincos,.yxy设练求习2cosccososxx对正弦求导sin coscosxx coscsinosxx 对余弦求导sin(cos)yx解sin,.ybxy练设习求1sin()ybx解()coscosbxbbxxb1cos.yyx设，求练习公式公式8练习练习1si1()nxx对余弦求导cos1()yx解121sin()xx化根号2321s12inxx公式11sin2x xx整理(cos)si8nxx (cos)sinuuu 2tan.1xyx设,求y练习 221(tan)secc9osxxx 公式公式公式9练习练习221(tan)seccosuuuuu 公式公式10练习练习3求y=
18、cot练x习的导数.3cot xy=2331sin xx 221(cot)cscsin10 xxx 公式221()cscsincotuuuuu 23232233cscsinxxxx 解解P96 例例18（综合）（综合）2.设函数y=ln(sin(1+3x),求y2yx=sin解(1+3n)l221xx(1sin(1+si+33n)2221xxx(1+3)()sin(1+31+)cos32xx=cot(1+36)P96例例19（综合）（综合）33.xyxxdy设函数=3+3-ln(1-2),求33xyxx=3+3-ln(1-2)解22()xdyxdxx 3 ln3+3+1-222;xxx3 ln
19、3+3+1-221xxxx3 ln3+3+0-(-2)1-233(xxx 3)+()+(3)-ln(1-2)33.求y=lnsinx 的导数.综合练习综合练习210(1).yx1.求函数的导数3sin 51x2.设y=,求y.sinsin.nynxx4.求微分210(1).dyyxdx1.求函数的导数解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx练习解答练习解答3sin 51x2.设y=,求y.335sin5sin 5sin 5分析:xxxx x3213sincos2uuuu uuu uu公式解解331sin 512 sin 51xxy=()3(sin 5
20、1)x233sin 5(sin5)2 sin 51xxx233sin 5cos5(5)2 sin 51xxxx2315sin 5cos52 sin 51xxx33.求y=lnsinx 的导数.333sinlnsin分析:xxxx,321(ln)sincos)3uuuu uxu 公式:(x3y=(lnsinx)331)(sinxsinx3331cosxxsinx3233cosxxsinx解解233cot xx解解sinsin.nynxx4.求的微分(sin)(ssiinns)innnnxxxxyn1sin(cossinsincos)nnxnxxnxx1sinsin(1)nnxnx(1)sinco
21、ssincossinnnxnxnxxnnx作业题作业题2.16统管作业1：二、3、三、3（5）（10）；历届试题历届试题（0707，10分）（0607，9分）（0701，10分）（0807，10分）1 1.已知y=2xsinx2，求y.（0801，10分）题型题型2.17 隐函数求导法隐函数求导法,0.x yxyuyyy1.方程F()各项对 求导(把看 作中间变量),2.解出(有 就有)方法与步骤方法与步骤:知识要求知识要求1.复合函数求导法则;2.注意区别对求x导,还是对y求导.助记词：助记词：各项求导，解出各项求导，解出y！222(0)().yRyyf x求由方程x所确定的函数的导数222
22、22(0).yRyyRx由方程x得2222221()()2yRxRxRx解法二解法二 （隐函数求导）2222xRx22xxyRx xyy 即解法一解法一 （化为显函数求）222:)()(yR方程两边求导(x)20y y2xyy x解得:P94例例15 x设ye+lny=1求dyP94例例16解2xxydydxye于是e+121xxxxyyyyyee即e+1e+1(),xxyyyy 解e+e出(xyyl(n)+)=1ex方程各项对 求导,10 xxyyyy即+ee224(),xxyyyy x求由方程确定的曲线在(2,-2)点处的切线方程.P95例例17(2,2)00|()kyyyk xx求切线方
23、程步骤(2,-2)斜分式析点解 20 xyxyyyx方程各项对,求导 221(2)4yxyx 于是所求切线方程为即(2),2xyxy yxyyyyx 2即解2出(2,2)|1;22(2)ky 2 2+(-2)P96例例20sincos()0().dyyxxyyy xdx求由方程所确定的函数的导数cossin()sinsin()dyyxyxydxxxxy 于是解sin(sin)sin()()0yxyxxy xyx方程各项对 求导,sinsin()sin()cosxxxy yyyxyyx 解出sincossin()()0 xyxxyyyxy练习练习1.().yy x求由方程sin(xy)-ln(x
24、+y)=0所确定的函数的导数00,.xyxdy dyxyeeydx dx2.求由方程所确定的隐函数 的导数333 33.3,(,)2 2CxyxyC设曲线 的方程为求过 上点的切线方程.1.().yy x求由方程sin(xy)-ln(x+y)=0所确定的函数的导数:(sin(ln()0 xy方程两边求导(xy)1cos()0 xyxyxy(xy)解解1cos()0 x yxyxyxy(xy)1cos)cosyyxyxy x(xy(xy)-1coscosxy xxy y(xy)-1(yxy)-1=0cos(1)0yyxyyx(xy)00,.xyxdy dyxyeeydx dx2.求由方程所确定的
25、隐函数 的导数解解:求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 333 33.3,(,),2 2CxyxyC设曲线 的方程为求过上点的切线方程解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy.03 yx即即225 4(1)5 4.(2)PPxy练习册练习设x+y-xy+3x=1,求dy.设sin(x+y)+e=4x,求y册作业题作业题2.17历届试题历届试题（0
26、601，9分）题型题型2.19 求高阶导数求高阶导数()nyyyy注：有时要注意求导数的规律方法与步骤方法与步骤知识要求知识要求 会求一阶导数。会求一阶导数。助记词：助记词：高阶导数，求了再求！高阶导数，求了再求！P99例例2ln(1).yx求的二阶导数(ln)?ln(1)uyx1()?()()11uyyx解解21(1)x1;1xP100例例4.axyen求的二阶,三阶及 导数()?()();ueaxaxaxyeeaxae解().nnaxya e.()?2();ueaxaxyaea e二、导数在经济上的应用二、导数在经济上的应用1.求需求价格弹性；求需求价格弹性；2.求经济函数的边际函数及边际
27、量；求经济函数的边际函数及边际量；3.求经济函数的的最大、最小值求经济函数的的最大、最小值题型题型3.5 求需求价格弹性求需求价格弹性00.(2.pppppfEpEEf1.计算或值)说明其经济意义.知识要求知识要求方法步骤方法步骤;.112.ppqpqE当某种商品.时,需求弹性公式:需求弹性的经济其需求量.%|E意义:.|%.助记词：助记词：弹性公式就是弹性公式就是q分之分之qpP136例例1 解9.求当价格为 千元时的需求弹性3()?3.(15)15upeppee1q p某种商品的需求量单位:百件 与价格单位:例千元 的关系为3()15,0,10pq peppqEp q根据公式,有 9,;,
28、1%,3%1%.3%p 经济意义:当价格千元时 价格时 商品的需求量将反之 当价格下降时 商品的需求量将少增加上涨减99.393pp pE 当 时,33.3155ppeppe 历届试题历届试题(0607,3 分)题型题型3.6 求经济函数的边际函数及边际量求经济函数的边际函数及边际量0000()();2.()q qfqfqfqfq1.求函数的一阶导数及其导数值边际量的经济意义:表示当产量增加1个单位时，经济函数量改变f(q)个单位.知识要求知识要求方法步骤方法步骤00()();2.()fxfxfx1.计算导数或导数值说明导数值表示的经济意义.边际就是导数边际就是导数!助记词：助记词：P140例
29、例6 400.04L qq边际利润函数为 2224904902 0004500.02400.022 000 R qpqq L qq qq qq 总收入函数利润函数为 2620004500.024901;2;30 q Cq qq Cq Lq 例某 煤 炭 公 司 每 天 生 产 煤吨 的 总 成 本 函 数 为如 果 每 吨 煤 的 销 售 价 为元,求:边 际 成 本 函 数利 润 函 数 及 边 际 利 润 函 数边 际 利 润 为时 的 产 量.212 0004500.02 Cq qq解 4500.04 Cqq304 00.0 40 Lqq当 边 际 利 润 为时,即1000.q 得吨题型
30、题型3.7 求经济函数的的最大、最小值求经济函数的的最大、最小值1.列经济函数式列经济函数式y=f(q);2.由由y=f(q)=0求极值点求极值点q0,并用一阶或二阶导数判别并用一阶或二阶导数判别;3求函数的最大最小值求函数的最大最小值.简记简记:式式 点点值值:y y y(q0)000,R=0L=-成本C=C设固定成本为C则当产量q=0时,收入利润 C3.注意：知识要求知识要求方法步骤方法步骤(同题型同题型3.5)1.列经济函数式列经济函数式2.求函数最大最小值的方法求函数最大最小值的方法(题型题型3.5)；求最值，记住步骤求最值，记住步骤式式-点点-值值！助记词：助记词：P142例例9（经
31、济函数）（经济函数）32()6.2 100.02q R qpqqq因此当销售量为 时,总收入函数为 32373276.2 100.022.2 108 104 100.028 10 L qR qC q qqq qq 利润函数为 372.2 1908 10 C qq 已知生产某种彩色电视机的总成本函数为例。：，q：pp，q，量和销售价格试求使利润最大的销售是需求量台单位是彩电售价元单位其中需求量为可以预计这种彩电的年通过市场调查50101.35533.1 10506.2100.02,qpp q由需求量解解得 354 100.04010L qqq由，解得唯一驻点，510 qL q唯一极大值点由实际问
32、题可知是利润函数的,也是它的最大值点,5351078104 10100.02 108 101.2 10 L 最大利润为55106.2 100.02 104200q p因而，当时,彩电的销售价格为元作业题作业题3.7省管作业省管作业2（P7）三、3、4、5、6；历届试题历届试题(重要重要!）（0601，12分）（0607，12分）（0701，20分）（0707，20分）（0801，20分）（0807，20分）15.设生产某产品的总成本函数为C(x)=5+x(万元)，其中x为产量，单位:百吨.销售x百吨时的边际收入为R=11-2x(万元/百吨)，求:(1)利润最大时的产量，(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化?
