1、平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念1 1、区域、区域 设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点，是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点)
2、,(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，（1）邻域邻域),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx 0P 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2）区域区域（3）聚点聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.（4）n n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全
3、体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标.n nR R 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP).(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）.2 2、多元函数概念、多元函数概念定义定义当当2 n时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三
4、元以上函数定定义义 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为,D),(000yxP是是其其聚聚点点，如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数，总总存存在在正正数数，使使得得对对于于适适合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxPP的的一一切切点点，都都 有有|),(|Ayxf成成 立立，则则 称称A为为 函函 数数),(yxfz 当当0 xx，0yy 时时的的极极限限，记记为为 Ayxfyyxx),(lim00 （或或)0(),(Ayxf这这里里|0PP ）.3 3、多元函数的极限、多元函数的极限说明说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元
5、函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则则时，时，设设5 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性定义定义 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其是其聚点且聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元元函数函数)(Pf在点在点0P处连续处连续.设设0P是是函函数数
6、)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2）介值定理介值定理6 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质定义定义
7、 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内有定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 x 的偏导数，记为的偏导数，记为 7 7、偏导数概念、偏导数概念xyxfyxxfx ),(),(lim00000同同理理可可定定义义函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对y的的偏偏导导数数，为为 记记为为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yy
8、xxyz 或或),(00yxfy.yyxfyyxfy ),(),(lim0000000yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.),(,00),(00yxfzxyxx 或或),(,00),(00yxfzyyxy 或或同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自
9、变变量量x的的偏偏导导函函数数，记记作作，xz ，xf ，xz或或),(yxfx.偏导函数简称为偏导数偏导函数简称为偏导数.),(,yxfzxx 或或),(,yxfzyy 或或、高阶偏导数、高阶偏导数函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以
10、表示为可以表示为 其中其中 A,B 不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数，则称函数),(yxfz 在在点点),(yx可微分可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 、全微分概念、全微分概念可可微微，且且偏偏导导数数，则则有有连连续续的的全全微微分分的的计计算算：设设函函数数),(),(yxfyxfz )(oyBxAz yBxA dz.dyyzdxxzdyfdxfdzyx 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续
11、函数可导函数可导1010、全微分的应用、全微分的应用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很小时很小时当当,yx 近似计算近似计算:1111、复合函数求导法则、复合函数求导法则定定理理 如如果果函函数数)(tu 及及)(tv 都都在在点点t可可导导，函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数)(),(ttfz 在在对对应应点点t可可导导，且且其其导导数数可可用用下下列列公公式式计计算算：以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdzdtdvvzdtduuzdtd
12、z 如果如果 及及 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz ),(yxu ),(yxv ),(vufz 1212、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz .0)
13、,()1(yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),(yxF在点在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并有，并有 隐函数的求导公式隐函数的求导公式1313、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则yxFFdxdy 隐函数存在定理隐函数存在定理 2 2 设函数设函数),(zyx
14、F在点在点,(0 xP ),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF 0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF 0)z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯的某一邻域内恒能唯一确一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 0),()2(zyxF,zxFFxz zyFFyz .),()(),();(0),(0),()3(000续续这这两两个个函函数数的的导导函函数数连连，并并且且满满足足唯唯一一确确定定一一组组单单
15、值值函函数数方方程程组组xzzxyyxzzxyyxxzyxGzyxF 求求导导，得得两两边边对对中中,在在方方程程组组xx,zxx,yGx,zxx,yF ,0)()(;0)()(0101dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx.dd ,dd xzxy解出解出 0),(0),()3(vuyxGvuyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0),(0000 vuyxF,),(0000vuyxG0，且偏导数所组成的函数行列式，且偏导数
16、所组成的函数行列式（或称雅可比（或称雅可比式）式）vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),(vuyxF、0),(vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(
17、),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 1414、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程切线方程.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程法平面方程.0)()()(000000 zztyytxxt (1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx 切切线线的的方方向向向向量量0dd,dd,ddtttztytxT ()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线.0),(:zyxF切平面方程切平面方程0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFy
18、yzyxFxxzyxFzyx法线方程法线方程.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 法向量法向量.MzyxFFFn,1515、方向导数、方向导数.),(),(lim0 yxfyyxxflf 的的方方向向导导数数沿沿方方向向则则称称这这极极限限为为函函数数在在点点在在，时时，如如果果此此比比的的极极限限存存趋趋于于沿沿着着当当之之比比值值，两两点点间间的的距距离离与与函函数数的的增增量量定定义义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),(记为记为定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP是是可微分的，那末函数在该
19、点沿任意方向可微分的，那末函数在该点沿任意方向 L L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有 其中其中 为为x轴到方向轴到方向 L L 的转角的转角 xy coscosyfxflf l.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义（其其中中222)()()(zyx ）.coscoscos zfyfxflf 计算计算：定义定义 设函数设函数),(zyxfu 在区域在区域 D 内具有一内具有一阶连续偏导数，则对于每一点阶连续偏导数，则对于每一点DzyxP),(，都，都可定出一个向量可定出一个向量kzfjyfixf ，这向量称为函，这向量称为函
20、数数),(zyxfu 在点在点),(zyxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(zyxgradfkzfjyfixf （grad是是gradient（梯度）的缩写）梯度）的缩写）222d zuyuxuugra梯度的模为：梯度的模为：ugrad kzujyuixu 梯度的概念梯度的概念定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在平平面面区区域域 D 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点DyxP),(，都都可可定定出出一一个个向向量量jyfixf ，这这向向量量称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP的的梯梯度度，记记为为 梯度的概念梯度的概念梯度与方向导数的关系
21、梯度与方向导数的关系),(yxgradfjyfixf 梯度的方向是函数增长最快的方向，即梯度的方向是函数增长最快的方向，即它的方它的方向与取得最大方向导数的方向一致向与取得最大方向导数的方向一致，且，且 lflmax.gradf1616、多元函数的极值、多元函数的极值极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值.极极大大值值点点、极极小小值值点点统统称称为为极极值值点点.若若 ),(),(00yxfyxf，则则称称),(00yxf为为极极小小值值，),(00yx为为极极小小值值点点.设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异
22、异于于),(00yx的的点点),(yx：若若 ),(),(00yxfyxf，则则称称),(00yxf为为极极大大值值，),(00yx为为极极大大值值点点；定理定理 1 1（必要条件必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且在具有偏导数，且在点点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：零：0),(00 yxfx，0),(00 yxfy.多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点偏导数存在偏导
23、数存在定理定理 2 2（充分条件充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值，当当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值.求函
24、数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),(yx 下下的的极极值值可可能能点点先先构构造造函函数数 ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 .0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx
25、 解解出出,yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值),(),(),(yxyxfyxL 例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求极限求极限)0(,sin,cos yx令令.0)0,0(),(等价于等价于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 .0)(lim2200 yxxxyyx故故二、典型例题二、典型例题特别要注意特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要但要注意在定义域内注意在定义域内 r r,的变
26、化应该是任意的的变化应该是任意的.如如下下解解法法是是否否正正确确？思思考考：求求极极限限,0 00 0yxxyyx lim);)11(lim(0111limlim000000 xyxyyxxyyxyxyx法法一一：；原原式式为为是是分分母母的的高高阶阶无无穷穷小小，时时，分分子子法法二二：00,0 xyyx;00lim00limlimlimlim000000 xxxyxxyyxxyxxyxyx法法三三：.0sincossincoslim)sin(cossincoslimlim00,0,sin,cos02000 yxxyyxyxyx，时时，当当法法四四：令令）原式原式（令（令12 xxy.10
27、3)0,0(,0,0(0),()(301)0,0(,0,0(0),()(113)0,0(,0,0(),()(;3,1)0,0(,3)0,0(00),(32001)0,0(，的的切切向向量量为为在在点点曲曲线线；，的的切切向向量量为为在在点点曲曲线线；，的的法法向向量量为为在在点点曲曲面面）（）则则（附附近近有有定定义义，且且），在在（分分）设设函函数数年年考考研研题题，练练习习一一：（fyyxfzDfyyxfzCfyxfzBdydxdzAffyxfyx ).(C答答案案：.1)(),(,()(,3,2,1)1,1()1,1(),(3)1,1()1,1(xxdxdxxfxfxyfxffyxfz
28、求求且且处处可可微微，在在点点练练习习二二：设设函函数数)1,1(,1()1(ff1)(dd3xxx1)1,1(f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf),(,(2xxfxf),(1xxf),(2xxf 1x 351解解:由题设23)32(处处的的两两个个偏偏导导数数存存在在。在在点点）（处处可可微微；在在点点）（处处的的两两个个偏偏导导数数连连续续；在在点点）（处处连连续续；在在点点）（条条性性质质：的的下下面面练练习习三三：考考虑虑二二元元函函数数),(),(4),(),(3),(),(2),(),(14),(00000000yxyxfyxyxfyxyxfyxyxfyxf).4()1
29、()3)();1()4()3)();1()2()3)();1()3()2)(,DCBAQPQP则则有有（）推推出出性性质质表表示示可可由由性性质质若若用用).(;A答案答案例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2214fxfxx )(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx .2422114213f yf yxfxfx )(2
30、214fxfxx .,0),(,sin,0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数设设 例例3 3解解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显然显然,dxdz求求得得求求导导数数两两边边对对的的情情形形视视为为方方程程组组及及对对,sin0),(2xxyzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解.,0,0,.0),(,0),(),()(dxduzhygzxhzyxgy
31、xfuxu试求试求且且所确定所确定由方程组由方程组设函数设函数 的函数的函数都看成是都看成是以及以及将方程组的变元将方程组的变元xzyu,)3(.0)2(,0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(.0)2(,0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入 .0),(,0),(),(zxhzyxgyxfu.),(),
32、(72002duzeyexeyxzzzyxfuzyx所所确确定定，求求由由方方程程有有连连续续的的偏偏导导数数，且且分分）设设函函数数年年数数学学三三考考研研题题，练练习习（dzfdyfdxfduzyx 解解法法一一：,1111dyezydxezxdzzyzx 则则dyezyffdxezxffdzfdyfdxfduzyzyzxzxzyx)11()11(,11,11,),(zyzyzxzxzyxezyFFyzezxFFxzzeyexezyxF 则则设设dyyzdxxzdz 而而0,0 dzzedzedyyedyedxxedxezeyexedzfdyfdxfduzzyyxxzyxzyx两两边边微微
33、分分得得由由解解法法二二：zyxezdyeydxexdz)1()1()1(dyezyffdxezxffdzfdyfdxfduzyzyzxzxzyx)11()11(解解?,),(0000222222模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的具具有有什什么么关关系系时时的的方方向向导导数数，问问的的向向径径处处沿沿点点在在点点求求cbarzyxMczbyaxu 例例5 5 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 处处的的方方向向导导数数为为在在点点 M coscoscos0MMMMzuyuxuru 002000200020222rzczryby
34、rxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 处的梯度为处的梯度为在点在点又又MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgraduM ,时时当当cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的相相等等时时故故当当cba之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例6 6解解.22
35、61,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得
36、唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(定定攀攀登登起起点点的的位位置置。达达到到最最大大值值的的点点，试试确确的的）中中上上找找使使（的的边边界界线线是是说说，要要在在也也就就的的点点作作为为攀攀登登的的起起点点。脚脚寻寻找找一一上上山山坡坡度度最最大大山山攀攀岩岩活活动动，为为此此需需要要在在）现现欲欲利利用用此此小小山山举举行行（的的表表达达式式。试试写写出出最最大大值值为为数数的的数数最最大大？若若记记此此方方向向导导面面上上什什么么方方向向的的方方向向导导在在该该点点沿沿平
37、平上上一一点点，问问为为区区域域设设小小山山的的高高度度为为函函数数为为区区域域坐坐标标面面，其其底底部部所所占占的的的的底底面面所所在在平平面面为为分分）设设有有一一小小山山，取取它它年年数数学学一一考考研研题题，（例例),(1752),(),(),(),()1(.75),(,75:),(720027220000002222yxgxyyxDyxgyxgyxhDyxMxyyxyxhxyyxyxDxOy .855)2()2(),(),()2()2(),(),(),(1002020200200000000000000yxyxyxxyyxgradhyxgjyxixyyxgradhyxMyxh ，最最
38、大大值值为为方方向向的的方方向向导导数数值值最最大大处处沿沿梯梯度度在在点点）由由梯梯度度的的性性质质知知，解解：（.075855),(max,855),(),(22222222 xyyxxyyxyxfxyyxyxgyxf约约束束条条件件：则则模模型型为为）令令（),75(855),(2222xyyxxyyxyxLLagrange 函函数数做做 )3(.075)2(,0)2(810)1(,0)2(81022xyyxLyxxyLxyyxLyx 得得.2,0)2)()2)(1(或或式式相相加加可可得得xyyx.35,353,1,2 yxxy）再由（再由（）由（由（若若.5,5)3(,yxxy由由若
39、若),35,35(),35,35(),5,5(),5,5(44321 MMMM个可能的极值点个可能的极值点得得可可作作为为攀攀登登的的起起点点。或或故故由由于于)5,5()5,5(,150)()(,450)()(214321 MMMfMfMfMf542 zyx_042)42003(122平行的切平面的方程是平行的切平面的方程是与平面与平面曲面曲面一一 zyxyxz:2003年数学一考研题年数学一考研题的的极极值值点点。是是否否为为根根据据条条件件无无法法判判断断点点的的极极小小值值点点。是是点点的的极极大大值值点点。是是点点的的极极值值点点。不不是是点点则则且且的的某某个个邻邻域域内内连连续续
40、，在在点点已已知知函函数数一一),()0,0()(),()0,0()(),()0,0()(),()0,0()(,1)(),(lim)0,0(),()42003(422200yxfDyxfCyxfByxfAyxxyyxfyxfyx A:2003年数学一考研题年数学一考研题四、四、(2003三三)设设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足具有二阶连续偏导数，且满足 ，又，又 ,求求12222 vfuf)(21,),(22yxxyfyxg 2222ygxg vfxufyxg 解：解：.vfyufxyg vfvfxvufxyufyxg 2222222222.2222222222vfvfyuvfxyuf
41、xyg 222222222222)()(vfyxufyxygxg .22yx :2003年数学一考研题年数学一考研题处处的的导导数数不不存存在在。在在处处的的导导数数小小于于零零。在在处处的的导导数数大大于于零零。在在处处的的导导数数等等于于零零。在在则则下下列列结结论论正正确确的的是是区区的的极极小小值值，在在点点设设函函数数0000000000),()(),()(),()(),()(),(),()8(yyyxfByyyxfCyyyxfByyyxfAyxyxf A:2003年数学三考研题年数学三考研题测测 验验 题题 一、一、选择题选择题:1 1、二元函数二元函数22221arcsin4ln
42、yxyxz 的定义的定义 域是域是().().（A A）4122 yx；（B B）4122 yx；（C C）4122 yx；（D D）4122 yx.2 2、设、设2)(),(yxyxxyf ,则则),(yxf().().（A A）22)1(yyx；（B B）2)1(yyx；（C C）22)1(xxy；（D D）2)1(yxy.3 3、22)(lim2200yxyxyx().().(A)0 (A)0 ；(B)1 (B)1 ；(C)2 (C)2 ；(D)(D)e .4 4、函数、函数),(yxf在点在点),(00yx处连续处连续,且两个偏导数且两个偏导数 ),(),(0000yxfyxfyx存在
43、是存在是),(yxf在该点可微在该点可微 的的().().（A A）充分条件）充分条件,但不是必要条件；但不是必要条件；（B B）必要条件）必要条件,但不是充分条件；但不是充分条件；（C C）充分必要条件；）充分必要条件；（D D）既不是充分条件）既不是充分条件,也不是必要条件也不是必要条件.5 5、设、设),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 则在原点则在原点)0,0(处处),(yxf().().(A)(A)偏导数不存在；偏导数不存在；(B)(B)不可微；不可微；(C)(C)偏导数存在且连续；偏导数存在且连续；(D)(D)可微可微.6 6、设、设),(),(yx
44、vvvxfz 其中其中vf,具有二阶连续偏具有二阶连续偏 导数导数.则则 22yz().().(A)(A)222yvvfyvyvf ；(B)(B)22yvvf ；(C)(C)22222)(yvvfyvvf ；(D)(D)2222yvvfyvvf .7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积成的四面体的体积 V=().V=().(A)(A)323a；(B)(B)33a；(C)(C)329a；(D)(D)36a.8 8、二元函数、二元函数33)(3yxyxz 的极值点是的极值点是().().(A)(1,2)(A)(1,2)；(B)(1.
45、-2 (B)(1.-2)；(C)(-1,2)(C)(-1,2)；(D)(-1,-1).(D)(-1,-1).9 9、函数、函数zyxusinsinsin 满足满足 )0,0,0(2 zyxzyx 的条件极值是的条件极值是 ().().(A)1 (A)1 ；(B)0 (B)0 ；(C)(C)61 ；(D)(D)81 .10 10、设函数、设函数),(),(yxvvyxuu 在点在点),(yx的某邻的某邻 域内可微分域内可微分,则则 在点在点),(yx处有处有 )(uvgrad().().)(;)(;)(;)(graduvDgradvuCgraduvgradvuBgradvgraduA 二、讨论函
46、数二、讨论函数33yxyxz 的连续性，并指出间断点类型的连续性，并指出间断点类型.三、求下列函数的一阶偏导数三、求下列函数的一阶偏导数:1 1、yxzln ；2 2、),(),(yxzxyzxyxfu ；3 3、000),(2222222yxyxyxyxyxf.四、设四、设),(zxfu ,而而),(yxz是由方程是由方程)(zyxz 所所 确的函数确的函数,求求du.五五、设设yxeuyxuz ),(,其其中中f具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导 数数,求求yxz 2.六、六、设设uvzveyvexuu ,sin,cos,试求试求xz 和和yz .七、七、设设x轴 正 向 到 方 向轴
47、正 向 到 方 向l的 转 角 为的 转 角 为,求 函 数求 函 数22),(yxyxyxf 在点在点(1,1)(1,1)沿方向沿方向l的方向导的方向导数数,并分别确定转角并分别确定转角,使这导数有使这导数有(1)(1)最大值；最大值；(2)(2)最小值；最小值；(3)(3)等于零等于零.八、八、求平面求平面1543 zyx和柱面和柱面122 yx的交线上与的交线上与xoy平面距离最短的点平面距离最短的点.九九、在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面1222222 czbyax的的切切平平面面,使使该该切切平平面面与与三三坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体的的体体积积最最 小小,求求
48、这这切切平平面面的的切切点点,并并求求此此最最小小体体积积 .一、一、1 1、A A；2 2、B B；3 3、B B；4 4、B B；5 5、D D；6 6、C C；7 7、A A；8 8、A A；9 9、D D；10 10、B.B.二、二、(1)(1)当当0 yx时时,在点在点),(yx函数连续；函数连续；(2)(2)当当0 yx时时,而而),(yx不是原点时不是原点时,则则),(yx为可去间断点为可去间断点,)0,0(为无穷间断点为无穷间断点.三、三、1 1、1ln)(ln yxxyz,yyxyxzlnln；2 2、,)(321fxyzyzyffuxx 32)(fxyzxzxfuyy .3 3、,0,00,)(2),(22222223 yxyxyxxyyxfx测验题答案测验题答案 0,0,)()(),(2222222222yxoyxyxyxxyxfy.四、四、dyzyzfdxzyff1)()()1)(221 .五、五、uyxyxuyuyyuuyfeffxefefxe 2.六、六、.)sincos(,)sincos(uuevvvuyzevuvvxz 七、七、,sincos lf,4,45 43.47 及及 )3()2()1(八、八、).1235,53,54(九、切点九、切点abcVcba23),3,3,3(min.
