1、6.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间二、多元函数概念二、多元函数概念 三、多元函数的极限三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 提示：提示：一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间 1.1.平面点集平面点集 坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P的点的集合的点的集合 称为平面点集称为平面点集 记作记作 E(x y)|(x y)具有性质具有性质P 集合集合R2 R R(x y)|x y R表示坐标平面表示坐标平面 一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间 1.1.平面点集平面点集 坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某
2、种性质P的点的集合的点的集合 称为平面点集称为平面点集 记作记作 E(x y)|(x y)具有性质具有性质P 例如例如 平面上以原点为中心、平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集为半径的圆内所有点的集合是合是 C(x y)|x2 y2r2 或或 C P|OP|r 其中其中P表示坐标为表示坐标为(x y)的点的点|OP|表示点表示点P到原点到原点O的距离的距离 注：注：设设P0(x0 y0)是是xOy平面上的一个点平面上的一个点 是某一正数是某一正数 点点P0的的 邻域记为邻域记为U(P0 )它是如下点集它是如下点集 v邻域邻域|),(00PPPPU 或 )()(|),(),(20200y
3、yxxyxPU 点 P0的去心邻域 记作),(0PU 即|0|),(00PPPPU 如果不需要强调邻域的半径如果不需要强调邻域的半径 则用则用U(P0)表示点表示点P0的某的某个邻域个邻域 点点P0的某个去心邻域记作的某个去心邻域记作 )(0PU 任意一点任意一点P R2与任意一个点集与任意一个点集E R2之间必有以下三种之间必有以下三种关系中的一种关系中的一种 v点与点集之间的关系点与点集之间的关系 内点内点 如果存在点如果存在点P的某一邻域的某一邻域U(P)使得使得U(P)E 则称则称P为为E的内点的内点 外点外点 如果存在点如果存在点P的某个邻域的某个邻域U(P)使得使得U(P)E 则称
4、则称P为为E的外点的外点 边界点边界点 如果点如果点P的任一邻域内既有属的任一邻域内既有属于于E的点的点 也有不属于也有不属于E的点的点 则称则称P点为点为E的边点的边点 边界点边界点内点内点外点外点提问提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于的内点、外点、边界点是否都必属于E？E的边界点的全体的边界点的全体 称为称为E的边界的边界 记作记作 E v开集开集 如果点集如果点集E的点都是内点的点都是内点 则称则称E为开集为开集 v闭集闭集 如果点集的余集如果点集的余集Ec为开集为开集 则称则称E为闭集为闭集 举例举例 点集点集E(x y)|1x2 y20 函数函数z arcsin(x2 y2)的
5、定义域为的定义域为 (x y)|x2 y2 1 举例举例 222222yxazyxaz和 z ax by cv二元函数的图形二元函数的图形 点集点集(x y z)|z f(x y)(x y)D称为称为二元函数二元函数z f(x y)的图形的图形 二元函数的图形是一张曲面二元函数的图形是一张曲面 z ax by c表示一张平面表示一张平面 举例举例 方程方程x2 y2 z2 a2确定两个二元函数确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面分别表示上半球面和下半球面 其定义域其定义域均为均为D(x y)|x2 y2 a2 三、多元函数的极限三、多元函数的极限v二重极限的定义二重极限的定义 设二元函数
6、设二元函数f(P)f(x y)的定义域为的定义域为D P0(x0 y0)是是D的点的点 如果存在常数如果存在常数A 对于任意给定的正数对于任意给定的正数e e总存在正数总存在正数 使得当使得当),(),(0PUDyxP时 都有|f(P)A|f(x y)A|e e成立成立 则称常数则称常数A为函数为函数f(x y)当当(x y)(x0 y0)时的极限时的极限 记为记为APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0)也记作也记作 注注 上述定义的极限也称为二重极限上述定义的极限也称为二重极限 0000(,)(,)lim(,),(,)(,)(,),x yxyf x yAf x yA x yx y或 证
7、明证明 因为因为 例例1 1 例 4 设22221sin)(),(yxyxyxf 求证0),(lim)0,0(),(yxfyx 222222|01sin)(|0),(|yxyxyxyxf 所以0),(lim)0,0(),(yxfyx 22)(0,0)lim()0 xyxy（，v必须注意必须注意 (1)二重极限存在二重极限存在 是指是指P以任何方式趋于以任何方式趋于P0时时 函数都无函数都无限接近于限接近于A (2)如果当如果当P以两种不同方式趋于以两种不同方式趋于P0时时 函数趋于不同的函数趋于不同的值值 则函数的极限不存在则函数的极限不存在 讨论讨论 函数0 00 ),(222222yxyx
8、yxxyyxf在点(0 0)有无极限？v多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 解 例2 例 5 求xxyyx)sin(lim)2,0(),(yxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(221lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(yxyxyyxyxyxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(221lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(yxyxyyxyx ),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性v二元函数连续性定
9、义二元函数连续性定义 二元函数的连续性概念可相应地推广到二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数元函数f(P)上去上去 设二元函数设二元函数f(P)f(x y)的定义域为的定义域为D P0(x0 y0)为为D的聚的聚点点 且且P0 D 如果如果则称函数则称函数f(x y)在点在点P0(x0 y0)连续连续 如果函数如果函数f(x y)在在D的每一点都连续的每一点都连续 那么就称函数那么就称函数f(x y)在在D上连续上连续 或者称或者称f(x y)是是D上的连续函数上的连续函数 所以所以f(x y)sin x在点在点P0(x0 y0)连续连续 由由P0的任意性知的任意性知 sin x作为作为
10、x y的二元函数在的二元函数在R2上连续上连续 例例3 3 设设f(x,y)sin x 证明证明f(x y)是是R2上的连续函数上的连续函数 对于任意的对于任意的P0(x0 y0)R2 因为因为 类似的讨论可知类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的它们在各自的定义域内都是连续的 ),(sinsinlim),(lim000),(),(),(),(0000yxfxxyxfyxyxyxyx 证证有洞曲面有洞曲面有缝曲面有缝曲面 设函数设函数f(x y)的定义域为的定义域为D P0(x0 y0
11、)是是D的聚点的聚点 如果函数如果函数f(x y)在点在点P0不连不连续续 则称则称P0为函数为函数f(x y)的间断点的间断点 v函数的间断点函数的间断点 间断点可能是孤立点也可能是曲线间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点上的点 函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf的间断点为 O(0 0)函数11sin22yxz的间断点为曲线 x2y21 上的点 间断点举例间断点举例 提示提示 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的连续函数的商在分母不为零处仍连续商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连多元连续函数的复合函数也是连续
12、函数续函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 v多元初等函数的连续性多元初等函数的连续性 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的有限次的四则运算和复合运算而得到的 提示提示 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 v根据连续性求极限根据连续性求极限 如果如果f(P)是初等函数是初等函数 且且P0是是f(P)的定义域的内
13、点的定义域的内点 则则)()(lim00PfPfPP 例 7 求xyyxyx)2,1(),(lim 例例4 4 解 函数xyyxyxf),(是初等函数 它的定义域为 解解 因为因为P0(1 2)为为D的内点的内点 所以所以 D(x y)|x 0 y 0 23)2 ,1(),(lim)2,1(),(fyxfyx23)2 ,1(),(lim)2,1(),(fyxfyx v根据连续性求极限根据连续性求极限 如果如果f(P)是初等函数是初等函数 且且P0是是f(P)的定义域的内点的定义域的内点 则则)()(lim00PfPfPP 例 8 求xyxyyx11lim)0 ,0(),(例例5 5 解解)11
14、()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(xyxyxyxyxyxyyxyx21111lim)0 ,0(),(xyyx )11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(xyxyxyxyxyxyyxyx 注注 性质性质1(1(有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数上的多元连续函数 必定在必定在D上有界上有界 且且能取得它的最大值和最小值能取得它的最大值和最小值 v多元连续函数的性质多元连续函数的性质 根据性质根据性质1 若若f(P)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续 则必定存在常则必定存在常数数M 0 使得对一切使得对一切P D 有有|f(P)|M 且存在且存在P1、P2 D 使得使得 f(P1)maxf(P)|P D f(P2)minf(P)|P D 性质性质2(2(介值定理介值定理)在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值最小值之间的任何值
