1、 向量空间又称线性空间向量空间又称线性空间,是线性代数中一个是线性代数中一个化了化了.具一般性具一般性.当然当然,推广后的向量概念也就更加抽象推广后的向量概念也就更加抽象要把这些概念推广要把这些概念推广,使向量及向量空间的概念更使向量及向量空间的概念更量量,并介绍过向量空间的概念并介绍过向量空间的概念.在这一章中在这一章中,我们我们最基本的概念最基本的概念.在第四章中在第四章中,我们把有序数组叫向我们把有序数组叫向 (设设 ,V;,R):;凡定义了线性运算的集合凡定义了线性运算的集合,就称为就称为 简言之简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算凡满足八条规律的加法及乘数运算,.就称为就称为.在第
2、四章中在第四章中,我们把有序数组称为向量我们把有序数组称为向量,并对它定并对它定.;定义有了很大的推广定义有了很大的推广:显然显然,那些只是现在定义的特殊情形那些只是现在定义的特殊情形.最后最后,把对于运算封闭的有序数组的集合称为向量空间把对于运算封闭的有序数组的集合称为向量空间.义了加法和乘数运算义了加法和乘数运算,容易验证这些运算满足八条规律容易验证这些运算满足八条规律.比较起来比较起来,现在的现在的 次数不超过次数不超过 n 的多项式的全体的多项式的全体,记作记作P x n,即即R00111,a,|aaxaxaxapxPnnnnnn对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空对于通常
3、的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空下面举一些例子下面举一些例子.算封闭算封闭:种运算显然满足线性运算规律种运算显然满足线性运算规律,故只要验证故只要验证 P x n 对运对运间间.这是因为通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两这是因为通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两,)()()()()(00110101nnnnnnnnxPbaxbaxbabxbxbaxaxa,)()()()(0101nnnnnxPaxaxaaxaxa所以所以 P x n 是一个向量空间是一个向量空间.n 次多项式的全体次多项式的全体0,R,|001nnnnnaaaaxaxapxQ且对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向
4、量空间对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空间.算不封闭算不封闭.是因为是因为 0 p=0 xn+0 x+0 Q x n,即即 Q x n 对运对运这这 正弦函数的集合正弦函数的集合R,|)sin(BABxAsxS对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间.,)sin(sin)(cos)()sincos()sincos()sin()sin(21212211221121xSBxAxbbxaaxbxaxbxaBxABxAss规律规律,故只要验证故只要验证 S x 对运算封闭对运算封闭:这是因为通常的函数加法及数乘运算显然满足线性运算这是因为通常
5、的函数加法及数乘运算显然满足线性运算,)sin()()sin(11111xSBxABxAs所以所以 S x 是一个向量空间是一个向量空间.检验一个集合是否构成向量空间检验一个集合是否构成向量空间,当然不能只检验对当然不能只检验对足八条线性运算规律足八条线性运算规律.不是通常的实数间的加乘运算不是通常的实数间的加乘运算,则就应仔细检验是否满则就应仔细检验是否满运算的封闭性运算的封闭性(如上面两例如上面两例).若所定义的加法和数乘运算若所定义的加法和数乘运算R,|),(1T21nnnxxxxxxS对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 n 个有序实数组成的
6、数组的全体个有序实数组成的数组的全体TT21)0,0,0(),(nxxx不构成向量空间不构成向量空间.01x 可以验证可以验证 Sn 对运算封闭对运算封闭.但因但因不满足运算规律不满足运算规律(v),即所定义的运算不是线性即所定义的运算不是线性个集合个集合,若定义两种不同的线性运算若定义两种不同的线性运算,就构成不同就构成不同的概念是集合与运算二者的结合的概念是集合与运算二者的结合.一般地说一般地说,同一同一空间而空间而 Sn 则不是向量空间则不是向量空间.由此可见由此可见,向量空间向量空间由于在其中所定义的运算不同由于在其中所定义的运算不同,以致以致 Rn 构成向量构成向量 比较比较 Sn
7、与与 Rn,作为集合作为集合,它们是一样的它们是一样的,但但运算运算,所以所以 Sn 不是向量空间不是向量空间.的向量空间；若定义的运算不是线性运算的向量空间；若定义的运算不是线性运算,就不就不构成向量空间构成向量空间.下例下例.为了对线性运算的理解更具有一般性为了对线性运算的理解更具有一般性,请看请看可以说可以说,把向量空间叫做线性空间更为合适把向量空间叫做线性空间更为合适.间的本质间的本质,而其中的元素是什么倒不重要而其中的元素是什么倒不重要,由此由此所以所以,所定义的线性运算是向量空所定义的线性运算是向量空 正实数的全体正实数的全体,记作记作 R+,在其中定义在其中定义加法及乘数运算为加
8、法及乘数运算为,)R,(baabba,)R,R(aaa验证验证 R+对上述加法与数乘运算构成线性空间对上述加法与数乘运算构成线性空间.;Rabba 对任意的对任意的 a,b R+,有有 实际上要验证十条实际上要验证十条:对任意的对任意的 R,a R+,有有;Raa;abbaabba);()()()()(cbabcacabcabcba R+中存在零元素中存在零元素 1,对任何对任何 a R+,有有;11aaa 对任何对任何 a R+,有负元素有负元素 a-1 R+,使使;111aaaa ;11aaa ;)()()(aaaaa ;)(aaaaaaaa .)()()(bababaababba 因此因
9、此,R+对于所定义的运算构成线性空间对于所定义的运算构成线性空间.下面讨论线性空间的性质下面讨论线性空间的性质.记作记作-.的负向量的负向量 在第四章中在第四章中,我们提过子空间我们提过子空间,今稍作修正今稍作修正.是是 V 的一部分的一部分,V 中的运算对于中的运算对于 L 而言而言,规规 一个非空子集要满足什么条件才构成子空间一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?因因 L律律(i),(ii),(v),(vi),(vii),(viii)显然是满足的显然是满足的,因此只要因此只要 L 此我们有此我们有的性质知的性质知,若若 L 对运算封闭对运算封闭,则即能满足规律则即能满足规律(iii),(
10、iv).对运算封闭且满足规律对运算封闭且满足规律(iii)、(iv)即可即可.但由线性空间但由线性空间因因 在第四章中在第四章中,我们用线性运算来讨论我们用线性运算来讨论 n 维数组维数组这些概念和性质这些概念和性质.性空间中的元素仍然适用性空间中的元素仍然适用.以后我们将直接引用以后我们将直接引用有关的性质只涉及线性运算有关的性质只涉及线性运算,因此因此,对于一般的线对于一般的线组合、线性相关与线性无关等等组合、线性相关与线性无关等等.这些概念以及这些概念以及向量之间的关系向量之间的关系,介绍了一些重要概念介绍了一些重要概念,如线性如线性 在第四章中我们已经提出了基与维数的概念在第四章中我们
11、已经提出了基与维数的概念,的主要特性的主要特性,特再叙述如下特再叙述如下.这当然也适用于一般的线性空间这当然也适用于一般的线性空间.这是线性空间这是线性空间 维数为维数为 n 的线性空间称为的线性空间称为,记作记作 Vn.若知若知 1,2,n为为 Vn 的一个基的一个基,则则 Vn 可表示为可表示为,R,|12211nnnnxxxxxV这就较清楚地显示出线性空间这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造的构造.并且这组数是唯一的并且这组数是唯一的.=x1 1+x2 2+xn n,都有一组有序数都有一组有序数 x1,x2,xn,使使若若 1,2,n为为 Vn 的一个基的一个基,则对任何则对任何 V
12、n,反之反之,任给一组有序数任给一组有序数 x1,x2,xn,总有唯一的总有唯一的来表示元素来表示元素 .于是我们有于是我们有之间存在着一种一一对应的关系之间存在着一种一一对应的关系,因此可以用这组有序数因此可以用这组有序数(x1,x2,xn)T 这样这样,Vn 的元素的元素 与有序数组与有序数组 元素元素 =x1 1+x2 2+xn n Vn.=(x1,x2,xn)T.,并记作并记作 在线性空间在线性空间 P x 4 中中,p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4 就是它的一个基就是它的一个基.任一不超过任一不超过 4 次的多项式次的多项式 p=a4x4+a3x3+a2x2+a
13、1x+a0 都可表示为都可表示为 p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5,因此因此 p 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为 (a0,a1,a2,a3,a4 )T.若另取一若另取一 个基个基,21)(54433221110qaqaqaqaqaap因此因此 p 在这个基下的坐标为在这个基下的坐标为.),21,(T432110aaaaaa,2,1,145342321xqxqxqxqq则则 建立了坐标以后建立了坐标以后,就把抽象的向量就把抽象的向量 与具体的数组与具体的数组于是于是 =y1 1+y2 2+yn n,=x1 1+x2 2+xn n,设设 ,Vn,有有的线性运算与数组的线性
14、运算联系起来的线性运算与数组的线性运算联系起来.向量向量(x1,x2,xn)T 联系起来了联系起来了.并且还可把并且还可把 Vn 中抽象中抽象 +=(x1+y1)1+(xn+yn)n,=(x1)1+(xn)n,即即 +的坐标是的坐标是(x1,xn)T=(x1,xn)T.的坐标是的坐标是 =(x1,xn)T+(y1,yn)T,(x1+y1,xn+yn)T 总之总之,设在设在 n 维线性空间维线性空间 Vn 中取定一个基中取定一个基 1,2,们可以说们可以说 Vn 与与 Rn 有相同的结构有相同的结构,我们称我们称Vn与与 Rn 同构同构.也就是说也就是说,这个对应关系保持线性组合的对应这个对应关
15、系保持线性组合的对应.(ii)(x1,xn)T.(i)+(x1,xn)T+(y1,yn)T;设设 (x1,xn)T,(y1,yn)T,则则系具有下述性质系具有下述性质:(x1,xn)T 之间就有一个一一对应的关系之间就有一个一一对应的关系,且这个关且这个关,n,则则 Vn 中的向量中的向量 与与 n 维向量空间维向量空间 Rn 中的向量中的向量 因此因此,我我的维数所决定的维数所决定.的线性空间都同构的线性空间都同构.从而可知线性空间的结构完全被它从而可知线性空间的结构完全被它 显然显然,任何任何 n 维线性空间都与维线性空间都与 Rn 同构同构,即维数相等即维数相等合的对应合的对应,那么就说
16、线性空间那么就说线性空间 V 与与 U.向量之间有一一对应关系向量之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组且这个对应关系保持线性组一般地一般地,设设 V 与与 U 是两个线性空间是两个线性空间,如果在它们的如果在它们的 同构的概念除向量一一对应外同构的概念除向量一一对应外,主要是保持线性运主要是保持线性运不一定有意义不一定有意义.在在 Vn 中就不一定具备中就不一定具备,例如例如 Rn 中的内积概念在中的内积概念在 Vn 中就中就的性质就都适用于的性质就都适用于 Vn.但但 Rn 中超出线性运算的性质中超出线性运算的性质,为为 Rn 中的线性运算中的线性运算,并且并且 Rn 中的凡是只涉及
17、线性运算中的凡是只涉及线性运算算的对应关系算的对应关系.因此因此,Vn 中的抽象的线性运算就可转化中的抽象的线性运算就可转化 由例由例 6 可见可见,同一向量在不同的基下有不同同一向量在不同的基下有不同的坐标的坐标,的两个基的两个基,且有且有 设设 1,2,n 及及 1,2,n 是线性空间是线性空间 Vn 中中 那么那么,不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢?)1(,22112222112212211111nnnnnnnnnnppppppppp把把 1,2,n 利用向量和矩阵的形式利用向量和矩阵的形式,(1)式可表示为式可表示为(1,2,n),这这 n
18、个有序向量记作个有序向量记作nnnnnnnnnPppppppppp21T2121222121211121或或)2(.),(),(2121Pnn (1)或或(2)称为称为,矩阵矩阵 P 称为由基称为由基 1,2,由于由于 1,2,n 线性无关线性无关,故过渡矩阵故过渡矩阵 P 可逆可逆.,n 到基到基 1,2,n 的的.)3(.,211212121nnnnxxxPxxxxxxPxxx或 标满足坐标变换公式标满足坐标变换公式这个定理的逆命题也成立这个定理的逆命题也成立.即若任一向量的两种坐即若任一向量的两种坐，则两个基满足变换公式，则两个基满足变换公式 在在 P x 3 中取两个基中取两个基,22
19、31xxx,12231xx,12233xxx;1234xx,1232xxx及及.23234xxx,22233xxx,2222xx求坐标变换公式求坐标变换公式.在在 R3 中求向量中求向量173在基在基,5311,23620133下的坐标下的坐标.显然显然 T(A)B.T(A)=T()|A,记作记作 T(A),即即A 称为变换称为变换 T 的的.象的全体所构成的集合称为象的全体所构成的集合称为 1 称为称为 1 在变换在变换 T 下的下的,1 称为称为 1 在变换在变换T下的下的.设设 1 A,T(1)=1,就说变换就说变换 T 把元素把元素 1变为变为 1,变换的概念是函数概念的推广变换的概念
20、是函数概念的推广.是是 z0 的原像的原像;G 就是定义域就是定义域,Z 就是像集就是像集.函数值函数值 f(x0,y0)=z0 就是元素就是元素(x0,y0)的像的像,(x0,y0)就就函数关系函数关系 f 就是一个从定义域就是一个从定义域 G 到实数域到实数域 R 的变换的变换;z=f(x,y)的定义域为平面区域的定义域为平面区域 G,函数值域为函数值域为 Z,那么那么,例如例如,设二元函数设二元函数 简言之简言之,线性变换就是保持线性组合的对应的变换线性变换就是保持线性组合的对应的变换.nmnmmnnmxxxaaaaaaaaayyy2121222211121121就确定了一个从就确定了一
21、个从 Rn 到到 Rm 的变换的变换,并且是个线性变换并且是个线性变换.例如例如,关系式关系式 特别地特别地,在定义在定义5 中中,如果如果 Um=Vn,那么那么 T 是一个是一个下面我们只讨论线性空间下面我们只讨论线性空间 Vn 中的线性变换中的线性变换.从线性空间从线性空间 Vn 到其自身的线性变换到其自身的线性变换,称为称为 在线性空间在线性空间 P x 3中中,微分运算微分运算 D 是一个线性变换是一个线性变换.这是因为任取这是因为任取 p=a3x3+a2x2+a1x+a0 P x 3,q=b3x3+b2x2+b1x+b0 P x 3,则则 Dp=3a3x2+2a2x+a1,Dq=3b
22、3x2+2b2x+b1,且有且有 D(p+q)=D(a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a0+b0)=3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1)=(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b1)=Dp+Dq;D(kp)=D(ka3x3+ka2x2+ka1x+ka0)=k(3a3x2+2a2x+a1)=kDp.T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q);T(kp)=ka0=kT(p).如果如果 T1(p)=1,那么那么 T1 是个变换是个变换,但不但不 T1(p+q)=1,而而 T1(p)+T1(q)=1+1=2,故故 T1(p+q)T1(p)
23、+T1(q).是线性变换是线性变换,这是因为这是因为 如果如果 T(p)=a0,那么那么 T 也是一个线性变换也是一个线性变换.这是因为这是因为 由关系式由关系式yxyxTcossinsincos确定确定 xOy 平面上的一个变换平面上的一个变换 T,说明变换说明变换 T 的几何意义的几何意义.)设有设有 n 阶方阵阶方阵,),(21212222111211nnnnnnnaaaaaaaaaA其中其中,),2,1(21niaaaniiii定义定义 Rn 中的变换中的变换 y=T(x)为为 T(x)=Ax (x Rn),则则 T 是线性变换是线性变换.这是因为这是因为 设设 a,b Rn,则则 T
24、(a+b)=A(a+b)=Aa+Ab=T(a)+T(b);T(ka)=A(ka)=kAa=kT(a).又又T 的像空间就是由的像空间就是由 1,2,n 所生成的向量所生成的向量空间空间 T(Rn)=y=x1 1+x2 2+xn n|x1,xn R;T 的核的核 ST 就是齐次线性方程组就是齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的解空间.上节例上节例 11 中中,关系式关系式 i=T(ei)(i=1,2,n)，为单位坐标向量为单位坐标向量),即即此此,考虑到考虑到 1=Ae1,2=Ae2,n=Aen(e1,e2,enRn 中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示中任何一个线性变换都能用这样的关系式
25、来表示.简单明了地表示出简单明了地表示出 Rn 中的一个线性变换中的一个线性变换.我们自然希望我们自然希望 T(x)=Ax (x Rn)为为可见如果线性变换可见如果线性变换 T 有关系式有关系式 T(x)=Ax,那么矩阵那么矩阵 A 应应 T(x)=T(e1,en)x =T(x1e1+x2e2+xnen)=x1T(e1)+x2T(e2)+xnT(en)=(T(e1),T(e2),T(en)x =(1,2,n)x=Ax.i(i=1,2,n),那么那么 T 必有关系式必有关系式以以 T(ei)为列向量为列向量.反之反之,如果一个线性变换如果一个线性变换 T 使使 T(ei)=总之总之,Rn 中任何
26、线性变换中任何线性变换 T 都能用关系式都能用关系式 把上面的讨论推广到一般的线性空间把上面的讨论推广到一般的线性空间,我们有我们有表示表示,其中其中 A=(T(e1),T(en).T(x)=Ax (x Rn),)(,)(,)(22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA 显然显然,矩阵矩阵 A 由基的像由基的像 T(1),T(2),T(n)唯一唯一,1niiix Vn 中的任意元素记为中的任意元素记为T 必须满足的关系式必须满足的关系式.那么那么,根据变换根据变换 T 保持线性关系的特性保持线性
27、关系的特性,我们来推导变换我们来推导变换 ,n 下的矩阵下的矩阵,也就是给出了这个基在变换也就是给出了这个基在变换 T 下的像下的像,如果给出一个矩阵如果给出一个矩阵 A 作为线性变换作为线性变换 T 在基在基 1,2,确定确定.于是有于是有niniiiiiTxxT11)()(nnxxxTTT2121)(,),(),(,),(2121nnxxxA即即)1(.),(),(21212121nnnnxxxAxxxT这个关系式唯一地确定一个变换这个关系式唯一地确定一个变换 T,可以验证所确定可以验证所确定的线性变换的线性变换 T 由关系式由关系式(1)唯一确定唯一确定.的变换的变换 T 是以是以 A
28、为矩阵的线性变换为矩阵的线性变换.总之总之,以以 A 为矩阵为矩阵 定义定义 6 和上面一段讨论表明和上面一段讨论表明,在在 Vn 中取定一个基以中取定一个基以坐标分别为坐标分别为由关系式由关系式(1),可见可见 与与 T()在基在基 1,n 下的下的A 也可唯一地确定一个线性变换也可唯一地确定一个线性变换 T,后后,由线性变换由线性变换 T 可唯一地确定一个矩阵可唯一地确定一个矩阵A,由一个矩阵由一个矩阵 与矩阵之间就有一一对应的关系与矩阵之间就有一一对应的关系.这样这样,在线性变换在线性变换,)(,2121nnxxxATxxx即按坐标表示即按坐标表示,有有 T()=A .在在 P x3 中
29、中,取基取基,22xp,31xp,3xp,14p求微分运算求微分运算 D 的矩阵的矩阵.,00303D432121ppppxp,02002D43212ppppxp,00000D43214ppppp,10001D43213ppppp所以所以 D 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为.0100002000030000A 在在 R3 中中,T 表示将向量投影到表示将向量投影到 平面的线性变换平面的线性变换,即即xOy,)(j yi xkzj yi xT 取基为取基为,kji求求 T 的矩阵的矩阵;取基为取基为,kjiji求求 T 的矩阵的矩阵.,0,kTjjTiiT即即.000010001),(),
30、(kjikjiT ,jiTjTiT即即.000110101),(),(T 由上例可见由上例可见,同一个线性变换在不同的基下有不同同一个线性变换在不同的基下有不同 的矩阵的矩阵.一般地一般地,我们有我们有 按定理的假设按定理的假设,有有 (1,n)=(1,n)P,P 可逆可逆;及及 T(1,n)=(1,n)A,T(1,n)=(1,n)B.于是于是 (1,n)B=T(1,n)=T(1,n)P=T(1,n)P =(1,n)AP=(1,n)P-1AP,因为因为 1,n 线性无关线性无关,所以所以 B=P-1AP.这个定理表明这个定理表明 B 与与 A 相似相似,且两个基之间的过渡矩且两个基之间的过渡矩
31、阵阵 P 就是相似变换矩阵就是相似变换矩阵.设设 V2 中的线性变换中的线性变换 T 在基在基 1,2 下的矩下的矩阵为阵为,22211211aaaaA求求 T 在基在基 2,1 下的矩阵下的矩阵.,0110),(),(2112即即,01101P,0110P求得求得于是于是 T 在基在基(2,1)下的矩阵为下的矩阵为0110011022211211aaaaB011012112221aaaa.11122122aaaa 若若 T 的秩为的秩为 r,则则 T 的核的核 ST 的维数为的维数为 n-r.显然显然,若若 A 是是 T 的矩阵的矩阵,则则 T 的秩就是的秩就是 R(A).知道线性空间的定义
32、知道线性空间的定义.线性空间的定义中有两个集合线性空间的定义中有两个集合,一个是非空集一个是非空集合合 V,一个是实数域一个是实数域 R.有两种被称作线性运算的有两种被称作线性运算的运算运算,一种是一种是 V 中元素中元素(统称为向量统称为向量)之间的运算之间的运算,另一种是另一种是 V 中元素与实数中元素与实数 k 之间的运算之间的运算,要求要求 V 对对这两种运算都封闭这两种运算都封闭.有八条运算法则有八条运算法则,这两种运算这两种运算要满足八条运算法则要满足八条运算法则.线性空间是第三章中向量空间的推广线性空间是第三章中向量空间的推广,也就也就是说是说 n 元有序数组是一种线性空间元有序
33、数组是一种线性空间,记为记为 Rn,此此外常见的线性空间有外常见的线性空间有:次数不超过次数不超过 n 的多项式的的多项式的全体全体,记作记作 P x n;元素皆为实数的元素皆为实数的 m 行行 n 列矩列矩阵的全体阵的全体,记作记作 Rmn.设设 L 是线性空间是线性空间 V 的非空子集的非空子集,如果如果 L 对对 V 中定义的两种线性运算也成线性空间中定义的两种线性运算也成线性空间,则称则称 L 是是 V 的子空间的子空间.L 为为 V 的子空间的充要条件是的子空间的充要条件是 L 对对 V 中的线中的线性运算封闭性运算封闭.线性空间线性空间 V 中的中的 n 个向量个向量 1,2,n,
34、如如果满足果满足(1)1,2,n 线性无关线性无关,(2)V 中任一中任一向量可由向量可由 1,2,n 线性表示线性表示,则称则称 1,2,n 为为 V 的一个的一个.V 中任一个基中的向量个数叫做中任一个基中的向量个数叫做 V 的的.如如:我们已经学过的我们已经学过的 Rn,它的一个基是它的有它的一个基是它的有序数组序数组:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).又如又如:1,x,xn 是是 P x n 的一个基的一个基,因此因此P x n 的维数是的维数是 n+1.再如再如:记记 aij=1,其他元素都是其他元素都是 0 的矩阵的矩阵 Eij,则则 Eij,i 从从 1 到到 m,
35、j 从从 1 到到 n 是是 Rmn 的一个基的一个基,Rmn 的维数是的维数是 mn.设设 1,2,n 是线性空间是线性空间 V 的一个基的一个基,则则 V,有唯一的等式有唯一的等式 =x1 1+x2 2+xn n,称称 x1,x2,xn 为向量为向量 在基在基 1,2,n 下下的坐标的坐标.若在两个线性空间若在两个线性空间 V1,V2 之间有保持线性之间有保持线性运算的一一对应运算的一一对应,则称则称 V1 与与 V2 同构同构.任何任何 n 维线性空间维线性空间 V 与与 Rn 同构同构,任何两个维任何两个维数相同的线性空间同构数相同的线性空间同构.若若 1,2,n 与与 1,2,n 是
36、线性空是线性空间间 V 的两组基的两组基,且且,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaaaaaaa记记,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA,),(),(2121Ann称矩阵称矩阵 A 为基为基 1,2,n 到基到基 1,2,n 的过渡矩阵的过渡矩阵.过渡矩阵一定可逆过渡矩阵一定可逆,且由基且由基 1,2,n 到到基基 1,2,n 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 A-1.如果向量如果向量 在基在基 1,2,n 下的坐标下的坐标为为(x1,x2,xn)T,在基在基 1,2,n 下的坐下的坐标为标为(x1,x2 ,xn )T,则则.,211212121nn
37、nnxxxAxxxxxxAxxx或 称线性空间称线性空间 V 到其自身的保持线性运算的变到其自身的保持线性运算的变换叫线性变换换叫线性变换.线性变换有如下性质线性变换有如下性质:T(0)=0,T(-)=-T(),T(k1 1+k2 2+kn n)=k1T(1)+k2T(2)+knT(n).若若 T(1),T(2),T(n)线性无关线性无关,则则 1,2,n线性无关线性无关(注意反之不真注意反之不真).线性变换线性变换 T 把把 V 的子的子空间空间 V1 映射成映射成 V 的子空间的子空间,即即 T(V1)是是 V 的子的子空间空间.称称 T(V)是线性变换是线性变换 T 的像集的像集,使使
38、T()=0(V)的全体叫线性变换的全体叫线性变换 T 的核的核,核也是核也是 V 的的子空间子空间.设设 T 是线性空间是线性空间 V 的线性变换的线性变换,1,2,n 是是 V 的一组基的一组基,且且,)(,)(,)(22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT记记,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA则则,),()(,),(),(),(212121ATTTTnnn且称矩阵且称矩阵 A 为线性变换为线性变换 T 在基在基 1,2,n 下下的矩阵的矩阵.在线性空间基给定的前提下在线性空间基给定的前提下,有一个线性变有一个线性变换就有一
39、个矩阵换就有一个矩阵;反之反之,有一个矩阵就确定了一有一个矩阵就确定了一个线性变换个线性变换.现给出线性空间的两个基现给出线性空间的两个基:基基、基基,从基从基到基到基的过渡矩阵为的过渡矩阵为 P,线性变换线性变换 T 在基在基、基基下的矩阵分别为下的矩阵分别为 A,B,则有则有 B=P-1AP.了解线性空间的定义了解线性空间的定义,了解了解 Rn,P x n,Rmn 是线性空间是线性空间.掌握线性子空间的判别定理掌握线性子空间的判别定理,并能用来并能用来判定判定 Rn,P x n,Rmn 的子集是否是线性空间的子集是否是线性空间.掌握基变换公式、坐标变换公式掌握基变换公式、坐标变换公式,并能
40、求并能求向量在基下的坐标、向量在基下的坐标、基之间的过渡矩阵基之间的过渡矩阵.清楚清楚 Rn 是是 n 维的维的,P x n 是是 n+1 维的维的,Rmn 是是 mn 维的线性空间维的线性空间,并能举出各自的基并能举出各自的基.会判定线性空间的变换是否是线性变换会判定线性空间的变换是否是线性变换,会求线性变换在给定基下的矩阵会求线性变换在给定基下的矩阵.掌握线性变换掌握线性变换在不同基下的矩阵之间的关系在不同基下的矩阵之间的关系.线性变换与线性空间的定义与性质线性变换与线性空间的定义与性质.线性变换与线性空间的判别法线性变换与线性空间的判别法.T)1,1,0(0111,1011,1101,11104321,1,12433xxPxxP,1,232231xxPxxxP0111,1011,1101,11104321AAAA,)1,1,1,1(,)0,1,2,1(T2T1;)1,0,1,1(,)1,1,2,1(T4T3,)2,2,1,0(,)1,0,1,2(T2T1.)2,1,3,1(,)2,1,1,2(T4T3,1,2232231xxxpxxxp;1,12234233xxpxxxp,22,1222231xxqxxq.23,22234233xxxqxxxqT)1,1,2,1(.1111,1111,1111,11114321
