1、立体图形的直观图本资料分享自千人教师本资料分享自千人教师QQ群群323031380 期待你的加入与分享期待你的加入与分享 1.直观图的概念直观图的概念把把空间图形（平面图形空间图形（平面图形和立体图形的和立体图形的统称）画统称）画在平面在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做关系和度量关系的图形叫做直观图。直观图。【思考思考】直观图与立体图形之间有什么关系？直观图与立体图形之间有什么关系？提示：提示：直观图与立体图形的形状往往不完全直观图与立体图形的形状往往不完全相同。在相同。在立体几何中，空间几何体的直观图是在
2、平行投影下画立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的出的平面图形。平面图形。2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤（1）画轴）画轴：在已知图形中取互相垂直的：在已知图形中取互相垂直的x轴和轴和y轴，两轴，两轴相交于点轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的，画直观图时，把它们画成对应的x轴和轴和y轴，两轴交于轴，两轴交于O，且使，且使xOy=45（或（或135），），它们确定的平面表示它们确定的平面表示水平面。水平面。（2）画）画线：已知图形中平行于线：已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直轴的线段，在直观图中分别画成平
3、行于观图中分别画成平行于x轴轴或或y轴的轴的线段。线段。（3）取）取长度：已知图形中平行于长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观轴的线段，在直观图中长度不变，平行于图中长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为轴的线段，在直观图中长度为原来的原来的一半。一半。【思考思考】用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的直线还平行吗？原来长度相等的线段长度还相等吗？直线还平行吗？原来长度相等的线段长度还相等吗？提示：提示：用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的直线仍然平行；原来长度相等的线段长度不一平
4、行的直线仍然平行；原来长度相等的线段长度不一定相等，因为与定相等，因为与x轴平行的线段，长度不变，与轴平行的线段，长度不变，与y轴平轴平行的线段，长度行的线段，长度减半。减半。3.空间几何体直观图的画法空间几何体直观图的画法（1）画轴）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是轴，直观图中与之对应的是z轴。轴。（2）画）画底面：平面底面：平面xOy表示水平平面，平面表示水平平面，平面yOz和和xOz表示竖直表示竖直平面。平面。（3）画）画侧棱：已知图形中平行于侧棱：已知图形中平行于z轴（或轴（或在在z轴轴上）的上）的线段，在其直观图中
5、平行性和长度都线段，在其直观图中平行性和长度都不变。不变。（4）成）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。虚线。【思考思考】空间几何体的直观图中实虚线表示什么意思？空间几何体的直观图中实虚线表示什么意思？提示：提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线表示见的部分，虚线表示看不见（被遮挡）的部分。看不见（被遮挡）的部分。【素养小测素养小测】1.思维思维辨析（对辨析（对的打的打“”，错的打，错的打“”）（1）用）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，
6、原来垂直的仍的线段，原来垂直的仍垂直。（垂直。（）（2）用）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍的线段，原来平行的仍平行。（平行。（）（3）正方形）正方形的直观图为的直观图为平行四边形。（平行四边形。（）（4）梯形）梯形的直观图不是的直观图不是梯形。（梯形。（）提示提示：（1）。由。由直观图的性质知，原来垂直的直观图的性质知，原来垂直的不一定不一定垂直。垂直。（2）。斜。斜二测画法中平行关系二测画法中平行关系不变。不变。（3）。利用。利用斜二测画法，原来平行的线段仍然平行，斜二测画法，原来平行的线段仍然平行，所以正方形的直观图为
7、所以正方形的直观图为平行四边形。平行四边形。（4）。利用。利用斜二测画法所得梯形的直观图仍是斜二测画法所得梯形的直观图仍是梯形。梯形。2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中能是下图中的（的（）【解析解析】选选A。由。由直观图可知，该平面图形为两腰不平直观图可知，该平面图形为两腰不平行且不与底边垂直的行且不与底边垂直的梯形。梯形。3.用斜二测画法画水平放置的用斜二测画法画水平放置的ABC时，若时，若A的两边的两边分别平行于分别平行于x轴、轴、y轴，且轴，且A=90，则在直观图中，则在直观图中A=（）A.45B.135C.45或或
8、135D.90【解析解析】选选C。在。在画直观图时，画直观图时，A的两边依然分别的两边依然分别平行于平行于x轴、轴、y轴，而轴，而xOy=45或或135。4.水平放置的水平放置的ABC的直观图如图所示，已知的直观图如图所示，已知AC=3，BC=2，则，则AB边上的中线的实际长度为边上的中线的实际长度为_。【解析解析】由于在直观图中由于在直观图中ACB=45，则在原图形，则在原图形中中ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5，AB边上的中边上的中线为线为2.5。答案：答案：2.5类型一平面图形的直观图类型一平面图形的直观图【典例典例】1.给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正给出以下关于斜二测
9、直观图的结论，其中正确的个数确的个数是（是（）角的水平放置的直观图一定是角；角的水平放置的直观图一定是角；相等的角在直观图中仍相等；相等的角在直观图中仍相等；相等的线段在直观图中仍然相等相等的线段在直观图中仍然相等；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。然平行。A.0B.1C.2D.32.画画出如图所示水平放置的等腰梯形的出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图。直观图。【思维思维引引】1.按照用斜二测画法画水平放置的平面图按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的要求逐个形的要求逐个判断。判断。2.按步骤画按步骤画直观图。直观图。【解析解析】
10、1.选选C。由。由斜二测画法规则可知，直观图保持斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以对，对；而线段的长度，角线段的平行性，所以对，对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，所以的大小在直观图中都会发生改变，所以错。错。2.画法画法：（：（1）如）如图所示，取图所示，取AB所在直线为所在直线为x轴，轴，AB中点中点O为为原点，建立直角坐标系，画对应的坐原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系标系xOy，使，使xOy=45。（2）以）以O为中点在为中点在x轴上取轴上取AB=AB，在，在y轴上轴上取取OE=OE，以，以E为中点画为中点画线段线段CDx轴，轴，并使并使CD=CD。（3）
11、连接）连接BC，DA，所得的四边形，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形就是水平放置的等腰梯形ABCD的的直观图。直观图。12【内化内化悟悟】画直观图时怎样建系，建系时应注意哪些问题？画直观图时怎样建系，建系时应注意哪些问题？提示：提示：建系时，要让尽可能多的点在坐标系上，另外建系时，要让尽可能多的点在坐标系上，另外还要注意对称还要注意对称原则。原则。【类题类题通通】画平面图形的直观图的关键点及对策画平面图形的直观图的关键点及对策（1）关键）关键点：画水平放置的平面多边形的直观图的点：画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点关键是确定多边形的顶点位置。位置。（2）对策）对策
12、：首先画与坐标轴平行的：首先画与坐标轴平行的线段（平行性不线段（平行性不变），变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段确定它的两个端点，然后连接成线段。线段。【习练习练破破】用斜二测画法画如图所示边长为用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三的水平放置的正三角形的角形的直观图。直观图。【解析解析】（1）如）如图所示，以图所示，以BC边所在的直线为边所在的直线为x轴，以轴，以BC边上的高线边上的高线AO所在的直线为所在的直线为y轴。轴。（2）画）画对应的对应的x轴、轴、y轴，使轴，使xOy=45。在。在x轴上
13、截取轴上截取OB=OC=OB=OC=2cm，在，在y轴上轴上取取OA=OA，连接，连接AB，AC，则，则三角形三角形ABC即为正三角形即为正三角形ABC的直观图，如图所的直观图，如图所示。示。12类型二空间几何体的直观图的画法类型二空间几何体的直观图的画法【典例典例】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图。直观图。【思维思维引引】本题所要画的是四棱锥的直观图，所以本题所要画的是四棱锥的直观图，所以要先画轴，再画水平放置的正方形的直观图，再画侧要先画轴，再画水平放置的正方形的直观图，再画侧棱，最后成棱，最后成图。图。【解析解析】画法画法：（：（1）画轴
14、。画）画轴。画Ox轴，轴，Oy轴，轴，Oz轴，轴，xOy=45（或（或135），），xOz=90，如，如图。图。（2）画底面。以）画底面。以O为中心在为中心在xOy平面内，画出正方形平面内，画出正方形的直观图的直观图ABCD。（3）画顶点。在）画顶点。在Oz轴上截取轴上截取OP使使OP的长度等于原四的长度等于原四棱锥的棱锥的高。高。（4）成图。顺次）成图。顺次连接连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图。直观图。【内化内化悟悟】画立体图形的直观图时，要注意哪些问题？画立体图形的直观图时，要注意哪些问题？
15、提示：提示：画立体图形时，我们一般从一个底面开始建系，画立体图形时，我们一般从一个底面开始建系，作图，画完底面后再画侧棱，全部画完后，把画图所作作图，画完底面后再画侧棱，全部画完后，把画图所作的辅助线擦掉，把遮挡住的部分改为的辅助线擦掉，把遮挡住的部分改为虚线。虚线。【类题类题通通】1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便的点，最后连点成图便可。可。2.直观图画法口诀可以总结为：直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，
16、横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系竖长不变，平行关系不变。不变。”【习练习练破破】画底面半径为画底面半径为2，高为，高为5的圆柱的的圆柱的直观图。直观图。【解析解析】画法画法：（：（1）画轴。画）画轴。画出出x轴，轴，y轴，轴，z轴。轴。（2）在）在z轴上取点轴上取点O，使，使OO等于等于5个单位长度，过个单位长度，过O作作x轴的平行线轴的平行线Ox，过，过O作作y轴的平行线轴的平行线Oy。在。在x轴，轴，x轴上分别取点轴上分别取点A，B，A，B，使，使OA=OB=OA=OB=2个单位长度，在个单位长度，在y轴，轴，y轴上轴上分别取分别取C，D，C，D，使，使OC=OD=OC=OD=1个个
17、单位长度，画两个单位长度，画两个圆（椭圆形），圆（椭圆形），即底面圆即底面圆O和底面和底面圆圆O。（3）连线。连接）连线。连接AA，BB，并擦去辅助线，则得到圆，并擦去辅助线，则得到圆柱柱OO。类型三直观图的还原与计算类型三直观图的还原与计算【典例典例】如图所示，梯形如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形是一平面图形ABCD的的直观图。若直观图。若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=OD1=1。试。试画出原四边形，并求原图形的画出原四边形，并求原图形的面积。面积。23【思维思维引引】逆用斜二测画法，还原原图逆用斜二测画法，还原原图形。先形。先定定点，再连线得原
18、图，点，再连线得原图，求面积。求面积。【解析解析】如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xOy，在，在x轴上截取轴上截取OD=OD1=1；OC=OC1=2。在过点在过点D与与y轴平行的直线上截取轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2。在过点在过点A与与x轴平行的直线上截取轴平行的直线上截取AB=A1B1=2。连接连接BC，便得到了原图，便得到了原图形。形。由作法可知，原四边形由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底是直角梯形，上、下底长度分别为长度分别为AB=2，CD=3，直角腰长为，直角腰长为AD=2。所以。所以面积面积为为S=2=5。232【类题类题通通】1.直观图的还原技巧直观图的
19、还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、轴、y轴平轴平行的直线或线段，且平行于行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不轴的线段还原时长度不变，平行于变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。可。2.直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S，则有S=S或S=2 S。利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积。242【习练习练破破】一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为为45，腰，腰为为，上底边为，上底边为1的等腰梯形，则这个平的等腰梯形，则这个平面图形的面积是面图形的面积是_。2【解析解析】如图所示，由已知斜二测直观图根据斜如图所示，由已知斜二测直观图根据斜二测画法画出原平面图形，所以二测画法画出原平面图形，所以BC=BC=1，OA=OA=1+1+1=3，OC=2OC=2，所以这，所以这个平面图形的面积为个平面图形的面积为（1+3）2=4。12答案：答案：4222谢 谢
