1、精品文档简单几何体的体积礼泉二中礼泉二中 袁格丽袁格丽1精品文档 前面学习了微积分在几何中的简单应用前面学习了微积分在几何中的简单应用-求求曲线围成的平面图形的面积。接下来继续看它在曲线围成的平面图形的面积。接下来继续看它在几何学中的应用几何学中的应用-求体积的问题。求体积的问题。2精品文档 例例1 给定直角边为给定直角边为 1 的等腰直角三角形，绕一的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求其体积。条直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求其体积。3精品文档 在平面直角坐标系中，直角边为在平面直角坐标系中，直角边为1的等腰直角三的等腰直角三角形可以看作是由直线角形可以看作是由直线
2、y=x，x=1 及及 x 轴轴所围成的所围成的平面图形。平面图形。分析：分析：xoyix1 把这个三角形分割成许多垂直把这个三角形分割成许多垂直于于 x 轴的小梯形，轴的小梯形，设第设第 i 个小梯形的宽是个小梯形的宽是 ，它绕，它绕 x 轴轴旋转一周就得旋转一周就得到一个厚度是到一个厚度是 的小圆台。的小圆台。ixixxoyix4精品文档)102202niixxxxV（iiixxV2圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和：圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和：所以求体积是定积分问题。所以求体积是定积分问题。解：解：圆锥体的体积为：圆锥体的体积为：33103102xdxxV 当当 很小时，每个小圆台
3、近似于底面半径很小时，每个小圆台近似于底面半径为为 的小圆柱，因此，小圆台的体积近似为的小圆柱，因此，小圆台的体积近似为ixix5精品文档6精品文档7精品文档22(),()bbaayf xxa xbxxf xdxy dx由，和 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周，则V=结论结论 18精品文档练习：练习：一个半径为一个半径为 1 的的球可看作由曲线球可看作由曲线 与与 x 轴轴所围成的区域（半圆）绕所围成的区域（半圆）绕 x 轴轴旋转一周得到旋转一周得到的，求球的体积。的，求球的体积。21xy9精品文档 定积分求旋转体的体积：定积分求旋转体的体积：（1）画示意图；）画示意图；（2）确定积分的上、下限
4、；）确定积分的上、下限；（3）确定被积函数（分清积分变量）；）确定被积函数（分清积分变量）；（4）列式求解。）列式求解。小结小结10精品文档 某电厂某电厂冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其中轴冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其中轴旋转得到的曲面，旋转得到的曲面，A、A是双曲线顶点，是双曲线顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，已知是冷却塔上口直径的两个端点，已知：AA=14 m，BB=22m，CC=18m，塔高，塔高 20m，求冷却塔的容，求冷却塔的容积。（塔壁厚度不计，精确到积。（塔壁厚度不计，精确到10 ）3m1984922yx双曲线方程为双曲线方程为)(1025.433mVAABCCB20
5、m22m18m14m容积为容积为dyxV8122xyiy对对y求积分求积分例例211精品文档22=(),()bbaaxyya ybyyVydyx dy旋转体由曲线和 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周后体积结论结论 212精品文档222,MMyxx yxxV 探究3 设两抛物线所围成的图形为，将绕 轴旋转一周所得旋转体的体积？13精品文档2.521.510.5-0.5-1-1.5-3-2-11234g x 2f x 2+222yxx 2yx14精品文档2222()()MM()()()()bayf xyg xxVf xg xdxf xg x探由和所围成的图形为，将绕轴旋转一周所得旋转体的体积结论结论 315精品文档四、课堂小结四、课堂小结 本节课用定积分解决了简单旋转体的体积，注意：1、注意 2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤16
