1、2029人教人教版版8 8年级数学年级数学下下册册第第1717章章 勾股定理勾股定理u求实际中长（高）度的应用求实际中长（高）度的应用u求实际中的求实际中的最短距离的最短距离的应用应用 如图所示，一棱长为如图所示，一棱长为3 cm的正方体把所有的面都的正方体把所有的面都分成分成33个小正方形，个小正方形，假若一只蚂蚁每秒爬假若一只蚂蚁每秒爬2 cm，则它从，则它从下底面下底面A点，沿表面爬行至右侧的点，沿表面爬行至右侧的B点，最少点，最少要花几秒要花几秒?1知识点知识点求实际中长（高）度的应用求实际中长（高）度的应用问问 题题 如图所示，从电线杆离地面如图所示，从电线杆离地面8 m处向地面拉一
2、条钢索处向地面拉一条钢索，若，若这条钢索在这条钢索在地面的固定点距离地面的固定点距离电线杆电线杆底部底部6 m，那么需要多长的钢索，那么需要多长的钢索?归归 纳纳 应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角三角形，把问题转化为已知两边求直角三角形中第三三角形，把问题转化为已知两边求直角三角形中第三边的问题边的问题.然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理a2b2=c2求出待求的线段长度，即三角形的边长求出待求的线段长度，即三角形的边长.勾股勾股定理在生活中有广泛应用，例如长度，高度，距离，定理在生活中有广泛应用，例如长度
3、，高度，距离，面积，体积等问题都可以利用勾股定理来解答面积，体积等问题都可以利用勾股定理来解答.可以看出，木板横着或竖着都不能从门可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过框内通过，只能试试斜着能否通过.门框门框对角线对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度的长度是斜着能通过的最大长度.求出求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.在在RtABC中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=2.24.因为因为AC大于木板的宽大于木板的宽2.2 m，所，所以木板能从门框内通过以木板能从门框内通过
4、.例例1 一一个门框的尺寸如图所个门框的尺寸如图所示示，一一块长块长3 m，宽宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通的长方形薄木板能否从门框内通 过？为什么？过？为什么？5分析：分析：解：解：总总 结结 实际问题经常转化为数学问题，也就是建立实际问题经常转化为数学问题，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理来解答直角三角形模型，利用勾股定理来解答.解：解：可以看出，可以看出，BD=OD-OB.在在RtAOB中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.在在RtCOD中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4
5、-0.5)2=3.15.OD=1.77,BD=OD-OBl.77-1=0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外时，梯子底端并不是也外 移移0.5 m，而是外移约而是外移约0.77 m.例例2 如图如图,一架一架2.6 m长的梯子长的梯子AB斜靠在一竖直的斜靠在一竖直的 墙墙AO上，这时上，这时AO为为2.4 m.如果梯子的顶端如果梯子的顶端A沿沿 墙下滑墙下滑0.5 m，那么梯子底端那么梯子底端B也外移也外移0.5 m吗？吗？13.15总总 结结 生活中的一些实际问题常常通过构建数学模型生活中的一些实际问题常常通过构建数学模型(直直角三角形角三角形)
6、来求解，勾股定理在生活中应用面广，建立来求解，勾股定理在生活中应用面广，建立的模型有时并不是已知两边求第三边，而只是告诉了的模型有时并不是已知两边求第三边，而只是告诉了其中的一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它其中的一些关系，一般可设未知数，用未知数表示它们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题们之间的关系，然后根据勾股定理列方程解决问题1 如图，池塘边有两点如图，池塘边有两点A，B，点，点C是与是与BA方向成方向成 直角的直角的AC方向上一点，测得方向上一点，测得 BC=60 m，AC=20 m.求求A，B两点间的距离两点间的距离(结果取整数结果取整数).在在RtBAC中，中，BC6
7、0 m，AC20 m，由勾股定理，由勾股定理，得得AB 57(m)答：答：A，B两点间的距离约为两点间的距离约为57 m.解：解：22BCAC2260202 如图，在平面直角坐标系中有两点如图，在平面直角坐标系中有两点 A(5，0)和和 B(0，4).求这两点之间的距离求这两点之间的距离.由点由点A(5，0)，B(0，4)可知可知OA5，OB4，又因为又因为BOA90，所以根据勾股定理，所以根据勾股定理，得得AB 解：解：22OBOA 224541.3 (中考中考安顺安顺)如图，有两棵树，一棵高如图，有两棵树，一棵高10米，另一米，另一 棵高棵高4米，两树相距米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树
8、的树米，一只小鸟从一棵树的树 顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行()A8米米 B10米米 C12米米 D14米米B【中考中考绍兴绍兴】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为米，则小巷的宽度为()A0.7米米 B1.5米米 C2.2米米 D2.4米米4C【中考中考黄
9、冈黄冈】在黄冈长江大桥的东端一处空地上，在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示如图所示)，已知标语牌，已知标语牌的高的高AB5 m，在地面的点，在地面的点E处，测得标语牌点处，测得标语牌点A的的仰角仰角(即即AEB)为为30，在地面的点，在地面的点F处，测得标语处，测得标语牌点牌点A的仰角的仰角(即即AFB)为为75，且点，且点E，F，B，C在同一直线上，求点在同一直线上，求点E与点与点F之间的距离之间的距离(计算结计算结果精确到果精确到0.1 m，参考数据：，参考数据：1.41，1.73)523如图，作如图，作FHAE于于H.由题意可知由题意可
10、知HAFHFA45，AHHF，设设AHHFx m，则，则EF2x m，EH x m，在在RtAEB中，中，E30，AB5 m，AE2AB10 m，x x10，x5 5，EF10 107.3(m)，答：答：点点E与点与点F之间的距离约为之间的距离约为7.3 m.解：解：33332知识点知识点求实际中的最短距离的应用求实际中的最短距离的应用 如图如图1所示，有一个圆柱，它的高等于所示，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面上圆的周长等于，底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱在圆柱下底面的点下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点面与点A相对的点相对的点B处的食物，沿圆
11、柱侧面处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？爬行的最短路程是多少？(1)自己做一个圆柱，尝试从点自己做一个圆柱，尝试从点A到点到点B沿圆柱侧面沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？问问 题题图图1 (2)如图如图2所示，将圆柱侧所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点面剪开展成一个长方形，从点A到点到点B的最短路线是什么？你的最短路线是什么？你画对了吗？画对了吗？(3)蚂蚁从点蚂蚁从点A出发，想吃到点出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？侧面爬行的最短路程是多少？(4)若蚂蚁先从点若蚂蚁先从点A直接爬到点直
12、接爬到点C，然后再从点，然后再从点C沿地沿地面直径爬到点面直径爬到点B，这样爬的总路程与沿圆柱侧面爬行的最，这样爬的总路程与沿圆柱侧面爬行的最短路程比较，哪一条更短些？短路程比较，哪一条更短些？图图2归归 纳纳 最短路径问题要转化到平面图形上，建最短路径问题要转化到平面图形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答立直角三角形模型，利用勾股定理解答.例例3 如图所示的长方体的高为如图所示的长方体的高为4 cm，底面是长为，底面是长为5 cm，宽，宽 为为3 cm的长方形一只蚂蚁从顶点的长方形一只蚂蚁从顶点A出出 发沿长方体的表面爬到顶点发沿长方体的表面爬到顶点B.求：求：(1)蚂蚁经过的最短路程
13、；蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一不能重复爬行同一 条棱条棱)的最长路程的最长路程 (1)蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两点之间，两点之间，线段最短线段最短”去探求，而与顶点去探求，而与顶点A，B相关的两个面展开共相关的两个面展开共 有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁 爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程 (2)最长路线应该是依次经过长为最长路线应该是依次经过长为5 cm，4 cm，5 cm，4 cm，3
14、cm，4 cm，5 cm的棱的棱导引：导引：(1)将长方体与顶点将长方体与顶点A，B相关的两个面展开，共有三相关的两个面展开，共有三 种方式，如图所示若蚂蚁沿侧面爬行，如图种方式，如图所示若蚂蚁沿侧面爬行，如图，则爬行的最短路程为则爬行的最短路程为 若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图，22534804 5 cm;（）（）解：解：则爬行的最短路程分别为则爬行的最短路程分别为 因为因为 4 3 ，所以蚂蚁经过的最短路程是所以蚂蚁经过的最短路程是 cm.(2)545434530(cm)，所以蚂蚁沿着棱，所以蚂蚁沿着棱 爬行的最长路程是爬行的最长路程是30 cm.22453903
15、 10 cm（）（），2243574 cm（）（）.7451074总总 结结 几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决方法是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题，是将几何体表面展开，即将立体问题转化为平面问题，然后利用然后利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”去确定路线，最后利用去确定路线，最后利用勾股定理计算勾股定理计算如图，圆柱的底面周长为如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直是底面圆的直径，高径，高BC6 cm，P是母线是母线BC上一点，且上一点，且PC BC.一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行出发沿着圆柱
16、的侧面爬行到点到点P的最短距离是的最短距离是()A.cmB5 cmC3 cm D7 cm152364B【中考中考营口营口】如图，在如图，在ABC中，中，ACBC，ACB90，点，点D在在BC上，上，BD3，DC1，点，点P是是AB上的动点，则上的动点，则PCPD的最小值为的最小值为()A4 B5 C6 D72B【中考中考安徽安徽】如图，在长方形】如图，在长方形ABCD中，中，AB5，AD3，动点，动点P满足满足SPAB S长方形长方形ABCD，则点，则点P到到A、B两点距离之和两点距离之和PAPB的最小值为的最小值为()A.B.C D.32913345 241D1.勾股定理从边的角度刻画了直角
17、三角形的重要特征勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的重要特征，应用，应用勾股定理可以求勾股定理可以求出直角三角形中的直角边出直角三角形中的直角边或者斜边或者斜边的长度，在实际应用中要注意：的长度，在实际应用中要注意：(1)勾股定理的应用是以直角三角形存在勾股定理的应用是以直角三角形存在(或容易或容易构造直角三角形构造直角三角形)为基础；为基础；(2)表示直角三角形边长的表示直角三角形边长的a,b,c不是固定不变的不是固定不变的，c不一定是斜边的长不一定是斜边的长.1知识小结知识小结2.在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离之和之和最短的方法：先找到
18、其最短的方法：先找到其中一个点关于这条直线中一个点关于这条直线的对称点的对称点，连接对称点与另一个点的线段与该直线，连接对称点与另一个点的线段与该直线的交的交点点即为所找的点，对称点与另一个点的线段长即为所找的点，对称点与另一个点的线段长就是就是最短距离之和以连接对称最短距离之和以连接对称点与另一个点的点与另一个点的线段为线段为斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形斜边，构造出一个两条直角边已知的直角三角形，然后，然后利用勾股定理即可求出最短距离之和利用勾股定理即可求出最短距离之和 如图，长方体的长为如图，长方体的长为15，宽为，宽为10，高为，高为20，点，点B离点离点C 的距离为的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点爬到点B，需要爬行的最短距离是，需要爬行的最短距离是()A5 B25 C10 5D35B2易错小结易错小结易错点：易错点：求最短路径时对立体图形展开情况考虑不全面求最短路径时对立体图形展开情况考虑不全面 导致错解导致错解.2152029人教人教版版8 8年级数学年级数学下下册册
