1、 24.2.2 24.2.2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系2 2 切线的判定和性质切线的判定和性质 下雨天，当你快速转动雨伞时，伞面的下雨天，当你快速转动雨伞时，伞面的雨水沿什么方向飞出？雨水沿什么方向飞出？2.1 1根据切线的定义，和圆只有一个公共点的根据切线的定义，和圆只有一个公共点的 直线是圆的切线。直线是圆的切线。切线的定义：切线的定义：直线与圆只有直线与圆只有一个公共点一个公共点时，时，这条直线叫做圆的这条直线叫做圆的切线切线。3.3.还有别的判断圆的切线的方法吗？还有别的判断圆的切线的方法吗？2 2根据数量关系，到圆心的距离等于半径的根据数量关系，到圆心的距离等于半径的 直
2、线是圆的切线。直线是圆的切线。请按照下述步骤作图：作请按照下述步骤作图：作O O，在在O O上任取一点上任取一点A A，连接，连接OAOA，过点，过点A A作直作直线线l OAOA于点于点A A。思考以下问题思考以下问题:(1)(1)圆心圆心O O 到直线到直线l的距离是指那一条线段的长？的距离是指那一条线段的长？它和圆的半径有什么关系它和圆的半径有什么关系?(2)(2)直线直线 l和和O O 有什么位置关系有什么位置关系?(3)(3)结合作图过程，你发现了什么结合作图过程，你发现了什么?相等相等相切相切OAlOA (1)(1)直线直线 l l 经过半径经过半径OAOA的外端点的外端点A A；
3、(2)(2)直线直线 l l 垂直于半径垂直于半径0A0A 那么那么:直线直线 l l 与与OO相切相切 这样我们就得到了从这样我们就得到了从位置关系位置关系来判定直来判定直线是圆的线是圆的切线切线的方法的方法切线的判定定理切线的判定定理。AOl 发现：发现：直线与圆相切的直线与圆相切的判定定理判定定理：经过经过 的外端且的外端且这条半径的直线这条半径的直线是是圆的切线圆的切线思考：思考：应用判定定理证明切线时，必须具备哪应用判定定理证明切线时，必须具备哪些条件些条件?结论：结论：必须具备必须具备两个条件：两个条件：半径半径垂直垂直 经过经过半径半径外端外端垂直垂直于这条半径于这条半径 如下图
4、如下图 OA OA是半径是半径 l OA l OA于点于点A A 直线直线 l l 是是OO的切线。的切线。定理的几何符号表达：定理的几何符号表达：判断以下命题是否正确：判断以下命题是否正确：(1)(1)经过半径外端的直线是圆的切线。经过半径外端的直线是圆的切线。()()(2)(2)垂直于半径的直线是圆的切线。垂直于半径的直线是圆的切线。()()(3)(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切切 线。线。()()(4)(4)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线。过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线。()()（1）（2）（4）例例1 如图如图
5、,AB是是 O的直径的直径,ABT=45,AT=AB,求证求证:AT是是 O的切线的切线.ABATATBO例例2：直线：直线AB经过经过 O上的点上的点C，并且，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线求证：直线AB是是 O的切线。的切线。证明：连结证明：连结OC(OC(如图如图)。OABOAB中，中，OAOAOBOB,CA CACB,CB,ABOCABOC。OCOC是是O O的半径的半径 ABAB是是O O的切线。的切线。例例3 3：O O为为BACBAC平分线上一点，平分线上一点，ODABODAB于点于点D,D,以以O O为圆心，为圆心，ODOD为半径作为半径作OO。求证：求证：OO与与AC
6、AC相切。相切。证：过点证：过点O O作作OEACOEAC于点于点E E AOAO平分平分BACBAC，ODABODAB于点于点D D OE OEODOD 即即OEOE是半径是半径 又又 OEACOEAC于点于点E E AC AC是是O O切线。切线。例例2 2与例与例3 3的辅助线、证法有何不同的辅助线、证法有何不同?有交点，连半径有交点，连半径,证垂直。证垂直。无交点，作垂直，证半经。无交点，作垂直，证半经。一定垂直一定垂直B理由：假设半径理由：假设半径OA与切线与切线 l 不垂直。不垂直。那过点那过点O O可作可作OB l 于点于点B,那么那么OA为直角三角形的斜边，为直角三角形的斜边，
7、OB的长就是的长就是圆心圆心0到切线到切线l的距离的距离,即即OA=OB，这与这与“直角三角形的斜边大于直角边相矛盾，直角三角形的斜边大于直角边相矛盾，所以所以半径半径OA与切线与切线 l 不垂直的假设不成立。不垂直的假设不成立。那半径那半径OA与切线与切线 l 垂直成立。垂直成立。圆的圆的切线切线于过切点的于过切点的 定理的几何符号表达：定理的几何符号表达：直线直线 l 切切 O于点于点A lOA 垂直垂直切线切线垂直垂直得出 例例4：如图，如图，AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上上一点，一点，AD和过和过C点切线互相垂直，垂足为点切线互相垂直，垂足为D.求证求证:AC平分平分DAB
8、OA 证：连接证：连接OC123 ADDC于点于点D DC 为切线为切线1=3又又OA=OC2=32=1 AC平分平分DAB 有切线，连半径，得垂直。有切线，连半径，得垂直。4DCOC于点于点CDAOCB D C【变式【变式1】如图如图,AB为为 O的直径的直径,C为为 O上一点上一点,ADCD于点于点D,AC平分平分DAB.求证求证:CD是是 O的切线的切线 CB OA D 1234 ADCD于点于点D AC平分平分DAB1=2OA=OC2=4OC为半径为半径CD是是 O的切线的切线 证证:连接连接OC1=4 ADOCD+DCO=180D=90 DCO=90DCOC于点于点C 【变式【变式2
9、】如图如图,AB为为 O的直径的直径,AC平分平分DAB,CDCD是是 O的切线的切线.求证求证:ADCDCB OA D 证：连接证：连接OCOC1234 AC AC平分平分DABDAB 1=2CDCD是是OO的切线的切线 OCOCCDCD于点于点C CD=90OA=OCOA=OC2=4DCODCO=90=90 ADCD ADCDADOCADOCD+DCO=180D+DCO=1801=4【变式【变式3】:如图如图,AB是是 O的直径的直径,O过过BE的的 中点中点C,CDAE于点于点D.求证求证:DC是是 O的切线的切线ABCDEO证：证：连接连接OCOC CDAE CDAE于点于点D DED
10、CEDC=9090点点C C为为EBEB的中点的中点 点点O O为为ABAB的中点的中点 COCOAEAE1OCDOCD=DCE=902DCDCOCOC于点于点C C又又OCOC为半径为半径DCDC是是OO的切线的切线一、判定切线的方法有哪些？一、判定切线的方法有哪些？1.与圆有与圆有唯一公共点唯一公共点直线直线是圆的是圆的切线切线。2.与圆心的与圆心的距离距离等于圆的等于圆的半径半径的直线的直线是圆的是圆的切线切线。3.经过经过半径半径外端且外端且垂直垂直这条半径的直线这条半径的直线是圆的是圆的切线切线。二、切线判定常用的添辅助线方法？二、切线判定常用的添辅助线方法？三、圆的切线性质定理：三、圆的切线性质定理：1.有交点，连半径，证垂直。有交点，连半径，证垂直。2.无交点，作垂直，证半径。无交点，作垂直，证半径。1.圆的切线圆的切线垂直垂直于经过切点的半径于经过切点的半径。2.辅助线作法辅助线作法“有切线，连半径，得垂直。有切线，连半径，得垂直。课本第课本第101页习题第页习题第4、5题题
