1、24.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径如图，如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，你能求赵州桥，你能求赵州桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？1创设情境，导入新知创设情境，导入新知问题问题&探究探究1 1 用纸剪一个圆（课前布置学生准备好）用纸剪一个圆（课前布置学生准备好）沿着圆的任意一条直径对折，重复沿着圆的任意一条直径对折，重复 做几次，你发现了什么？做几次，你发现了什么？由此你能
2、得到什么结论？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形圆是轴对称图形，任何一条，任何一条直径直径所在直线所在直线都是它的对称轴都是它的对称轴2探究新知探究新知 在纸上的圆中任意画一条弦在纸上的圆中任意画一条弦 作直径作直径垂直弦垂直弦于于(垂直于垂直于弦的直径弦的直径)垂足为垂足为E.想一想：想一想：（1）此图是轴对称图形吗？如果）此图是轴对称图形吗？如果是对称轴是什么？是对称轴是什么？（2）你能发现哪些相等的线段和）你能发现哪些相等的线段和弧？为什么？弧？为什么？你能得到什么结论？你能得到什么结论？问题问题&探究探究2 2动动脑筋动动脑筋 已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦
3、，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E。求证：。求证：AEBE，ACBC，ADBD。C.OAEBD叠叠 合合 法法证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB。因为垂直于弦因为垂直于弦AB的直径的直径CD所在的所在的直线既是等腰三角形直线既是等腰三角形OAB的对称轴的对称轴又是又是 O的对称轴。所以，当把圆的对称轴。所以，当把圆沿着直径沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两两侧的两个半圆重合，个半圆重合，A点和点和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、BD重合。因此重合。因此AEBE，ACBC，ADBD垂径定理垂径定理垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分平分这条弦这
4、条弦，并并且且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧3获得新知获得新知3获得新知获得新知垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧对的两条弧.DOCAEB知二推三知二推三问题问题&探究探究3 3 问题：把垂径定理中的题设问题：把垂径定理中的题设垂直于弦垂直于弦的的直径换为直径换为平分弦平分弦的直径。你会得到什么结论？的直径。你会得到什么结论？平分弦（不是直径）的直径平分弦（不是直径
5、）的直径垂直于垂直于弦弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧。4新知强化新知强化下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？DOCAEBDOCAEB图图1图图2图图3图图4OAEBDOCAEB5利用新知问题回解利用新知问题回解ACDBO 解：如图，用解：如图，用AB表示主表示主桥拱，设桥拱，设AB所在的圆的圆心所在的圆的圆心为为O，半径为，半径为R，经过圆心，经过圆心O做弦做弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB交于点交于点C，D是是AB的中点，的中点，C是是AB的中点，的中点，CD是拱高是拱高AB=37.4，CD=7.2
6、AD=1/2AB=1/23.74=18.7=18.7OD=OC-CD=R-7.2在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即即R2=18.72+（R-7.2）2解得解得R27.9（m）因此，赵州桥的主桥拱半径为因此，赵州桥的主桥拱半径为27.9mC 变式训练变式训练改变赵州桥问题中的条件改变赵州桥问题中的条件（1）已知跨度、半径求拱高。）已知跨度、半径求拱高。（2）已知半径、拱高求跨度）已知半径、拱高求跨度（3）已知弦心距、半径求跨度）已知弦心距、半径求跨度判断判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.()（2）
7、弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧()如图，已知在两同心圆如图，已知在两同心圆 O 中，大圆弦中，大圆弦 AB 交小圆交小圆于于 C，D，则，则 AC 与与 BD 间可能存在什么关系？间可能存在什么关系？6利用新知解决问题利用新知解决问题DOCAB变式变式1 如图，若将如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论向下平移，当移到过圆心时，结论
8、 AC=BD 还成立吗？还成立吗？6利用新知解决问题利用新知解决问题DOCAB变式变式2 如图，连接如图，连接 OA，OB，设，设 AO=BO，求证：求证：AC=BD6利用新知解决问题利用新知解决问题DOCAB变式变式3 连接连接 OC，OD，设，设 OC=OD，求证：求证：AC=BD6利用新知解决问题利用新知解决问题DOCAB内容：内容：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧对的两条弧构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线重要思路：（由）垂径定理重要思路：（由）垂径定理构造直角三角形构造直角三角形 （结合）勾股定理（结合）勾股定理建立方程建立方程7归纳小结归纳小结教科书习题教科书习题 24.1第第 1，2 题题8布置作业布置作业
