1、4.1 函数第四章 一次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.掌握函数的概念以及表示方法（重点）2.会求函数的值，并确定自变量的取值范围（难点）导入新课导入新课情境引入人间四月芳菲尽，人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。山寺桃花始盛开。白居易白居易高处不胜寒高处不胜寒苏轼苏轼早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，说明_随_的变化而变化.高处不胜寒，说明 _随_的变化而变化.天气温度时间高山气温海拔高度 万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢?讲授新课讲授新课函数的概念及表示方法一想一想，如果你坐在摩天轮上
2、，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？情景一O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12310h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1231037h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123103745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123103745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123103745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
3、23103745h（米）t（分）下图反映了摩天轮上的一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系.(1)根据左图填表：(2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？1137 45 373 10 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？填写下表：1361015对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？层数 n物体总数y唯一一个y值情景二 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273，则气体的压强为零.因此，物理学把-273作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t()之间有如下数量关系：T=t+273,T0
4、.(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？（2）给定任一个大于-273 的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？230K、246K、273K、291K唯一一个T值解：当t=-43时，T=-43+273=230（K）情景三上面的三个问题中，有什么共同特点？时间 t、相应的高度 h；层数n、物体总数y；摄氏温度t、热力学温度T.共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.归纳总结 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是
5、自变量.函数注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.表示函数的一般方法列表法图象法关系式法(解析式法、表达式法)情景一情景二情景三讨论：1.y与x 的图象如图所示，问y是x的函数吗？xyo12-22.下列各图中，x是自变量，则y是x的函数吗？为什么？y是x的函数y不是x的函数典例精析例1 下列关于变量x，y 的关系式：y=2x+3；y=x2+3；y=2|x|；y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.方法yx 一个x值有两个y 值与它对应自变量的取值范围二问题：上述的三个
6、问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？自变量t的取值范围:_t0情景一1361015层数 n物体总数y情景二 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？自变量n的取值范围：_.n取正整数 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273，则气体的压强为零.因此，物理学把-273作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t()之间有如下数量关系：T=t+273,T0.情景三自变量t的取值范围：_.t-273例2 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/k
7、m.（1）写出表示y与x的函数关系的式子.解:(1)函数关系式为:y=500.1x0.1x表示的意义是什么？叫做函数的关系式（2）指出自变量x的取值范围；(2)由x0及500.1x 0得0 x 500自变量的取值范围是 0 x 500 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.归纳汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？当 x=200时,函数 y 的值为y=500.1200=30.因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L做一做：下列函数中自变量x的取值范围是什么？2(5)1xyx(1)31
8、yx1(2)2yx(3)5yx21xx 且5x 20 x50 x10 x 20 x12xx 即312)4(xy.0.-1.-2x-2x取全体实数x取全体实数使函数解析式有意义的自变量的全体.函数值三T(K)与 t()的函数关系：T=t+273（T 0），当t=1时，T=1+273 =274（K）.那么，274就是当t=1时的函数值.情景三 函数值函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系而函数值是一
9、个数，它是自变量确定时对应的因变量的值归纳总结例3 已知函数42.1xyx(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；(2)求当x取什么值时，函数的值为0.解：（1）当x=2时，y=;当x=3时，y=;当x=-3时，y=7;（2）令 解得x=即当x=时，y=0.5212把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.4 2-2=22+142=01xx，12当堂练习当堂练习1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中，是常量，是变量，是 的函数.60s=60t t和sst2.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间
10、t（min）之间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 .1302Qt060t 3.下列各表达式不是表示y是x的函数的是()A.B.C.D.23xy xy1)0(xxyxy18C4.小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20 min到达距离家800 m的公园，他在公园休息了10 min，然后用30 min原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离s（单位：m）与离家的时间t（单位：min）之间的函数关系图象大致是（）D 5.求下列函数中自变量x的取值范围：3(2)48yx(3)3yx1(4)11yxx 2)1(2xxy2x 3x 11xx 且480 x30 x10 x10 x 11xx 即.1.0.-1
11、x取全体实数 6.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）.（1）请分别写出当0 x3和x3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；解：（1）当0 x3时，y=8；当x3时，y=81.8（x3）=1.8x2.6.当x=2时，y=8；x=6时，y=1.862.6=13.4.（2）当0 x3和x3时，y都是x的函数吗？为什么？当0 x3和x3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.函数定义：自变
12、量、因变量、常量课堂小结课堂小结函数的关系式：三种表示方法函数值自变量的取值范围 时间是个常量，但对勤奋者来说是个变量，用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.前苏联史学家雷巴柯夫4.2 一次函数与正比例函数第四章 一次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS）教学课件导入新课导入新课情景引入 如果设蛤蟆的数量为x，y分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？y=xy=2xy=4xy=kx讲授新课讲授新课一次函数与正比例函数一 在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子?y=3+0.5x 情景一：
13、某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg,2 kg,3 kg,4 kg，5 kg 时的长度，并填入下表：33.544.555.5 情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.(1)完成下表：605448423630(2)你能写出y与x的关系吗?y=600.12x上面的两个函数关系式:(1)若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）当b=0时，称y是x的正比例函数.大家讨论一下
14、,这两个函数关系式有什么关系?下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)yx4;(2)y5x26；(3)y2x;(6)y8x2x(18x)(4);2xy2(5);yx解：(1)是一次函数，不是正比例函数；(2)不是一次函数，也不是正比例函数；(3)是一次函数，也是正比例函数；(4)是一次函数，也是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数练一练方法总结1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；2.判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零典例精析例1：写出下列各题中y与 x之间的
15、关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;解：由路程=速度时间，得y=60 x,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数.解：由圆的面积公式，得y=x2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.（2）圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水，因而 y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.例2：已知函数y(m5)xm22
16、4m1.(1)若它是一次函数，求m的值；(2)若它是正比例函数，求m的值 解：(1)因为y(m5)xm224m1是一次函数，所以 m2241且m50，所以 m5且m5，所以 m5.所以，当m5时，函数y(m5)xm224 m1是一次函数(2)若它是正比例函数，求 m 的值 解：(2)因为 y(m5)xm224m1是一次函数，所以 m2241且m50且m10.所以 m5且m5且m1，则这样的m不存在，所以函数y(m5)xm224m1不可能为 正比例函数【方法总结】函数是一次函数，则k0，且自变量的次数为1.当b0时，一次函数为正比例函数变式训练(1)若 是正比例函数，则m=；|1(2)mymx-
17、=-(2)若 是正比例函数，则m=；2(-1)-1ymxm=+-2-1 m-20，|m|-1=1，m=-2.m-10，m2-1=0，m=-1.例3：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）3%=10.8元.(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的关系式.解:y=0.03(x-3 500)(3500 x0该函数是正比例函数m2=101m1m根据正比例函数的性质，k0可得该图象经
18、过一、三象限.解：（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是_.变式1：已知正比例函数y=(k+1)x.k-1（2）若函数图象经过点（2，4），则k_.解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+10，解得k-1.解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得4=(k+1)2，解得k=1.=1变式2：当x0时，y与x的函数解析式为y=2x，当x0时，y与x的函数解析为y=-2x，则在同一直角坐标系中的图象大致为()C正比例函数图象的性质二画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y=x,y=3x,y=-x和 y=-4x 的图象.21 这四个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?当k0时
19、,x增大时,y的值也增大；当k0时,x增大时,y的值反而减小.xy024 y=2xy=2x 1224y随x的增大而增大y随x的增大而减小 y=xy=x 32-3-6xy0想一想：下列函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?在正比例函数y=kx中：当k0时，y的值随着x值的增大而增大;当k0)的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1x2，则y1 y2.k2 B k1=k2 C k1k2 D 不能确定y=k1xy=k2xxyoA例3 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.解：因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,所以4=mm，解
20、得m=2.又y的值随着x值的增大而减小，所以m0，故m=2.（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？（2）正比例函数y=-x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.21议一议1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（）当堂练习当堂练习B2.对于正比例函数y=（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围（）Ak2Bk2Ck2Dk2C3.函数y=-7x的图象经过第_象限，经过点_与点 ，y随x的增大而_.二、四（0，0）（1,
21、-7）减小4.已知正比例函数y=(2m+4)x.（1）当m ，函数图象经过第一、三象限；（2）当m ，y 随x 的增大而减小；（3）当m ，函数图象经过点（2，10）.-2”或“0时，经过第一、三象限；当k0时，y的值随x值的增大而增大；当k0时，y的值随着x值的增大而增大;当kk 0，b 0k 0，b 0k 0，b 0k 0，b 0k 0，b 00时，直线经过 一、二、四象限；b0时，直线经过一、二、三象限；b0，解得(2)由题意得1-2m0且m-10，即(3)由题意得1-2m0且m-10，解得1.一次函数y=x-2的大致图象为（）CoyxoyxoyxyxoA B C D 当堂练习当堂练习
22、2.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是().A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2 D.y=-x-2C 3.直线y=3x-2可由直线y=3x向 平移 单位得到.4.直线y=x+2可由直线y=x-1向 平移 单位得到.下2上35.点A(-1,y1),B(3,y2)是直线y=kx+b(k”或“6.已知一次函数y(3m-8)x1-m图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值.解解:由题意得 ，解得38010mm81m3又m为整数,m2课堂小结课堂小结一次函数函数的图象和性质当k0时，y的值随x值的增大而增大；当k0，b0时，经过一、二、三象限；当k
23、0，b0时，经过一、三、四象限；当k0时，经过 一、二、四象限；当k0，b50时，y与x的函数表达式；解:当0 x50 时，由图象可设 y=k1x，其经过（50，25），代入得25=50k1，k1=0.5，y=0.5x;当x50时，由图象可设 y=k2x+b，其经过（50,25）、（100,70），得k2=0.9,b=-20,y=0.9x-20.25 50 75 100255070100Oy(元）x(度）75根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准是多少？解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按0.9元/度计算.一次函数的应用一次函
24、数与一元一次方程的关系课堂小结课堂小结单个一次函数图象的应用4.4 一次函数的应用第四章 一次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 两个一次函数图象的应用八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.掌握两个一次函数图象的应用（重点）2.能利用函数图象解决数学问题（难点）导入新课导入新课观察与思考200406080100单位:cm观察下图，你能发现它们三条函数直线之间的差别吗？讲授新课讲授新课两个一次函数的应用一x/吨吨y/元元O123456100040005000200030006000引例：l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，根据图意填空：l1 当销售量为2吨时，销售收入元，
25、2000销售收入x/吨吨y/元元O123456100040005000200030006000 l1 反映了公司产品的销售收入与销售量的关系.销售收入销售收入 l1对应的函数表达式是，y=1000 xl1x/吨吨y/元元O123456100040005000200030006000 l2 反映了公司产品的销售成本与销售量的关系销售成本l2对应的函数表达式是.y=500 x+2000l2x/吨吨y/元元O123456100040005000200030006000l2 当销售成本为4500元时，销售量吨；5 销售成本销售成本x/吨吨y/元元O123456100040005000200030006
26、000l1l2（1）当销售量为6吨时，销售收入元，销售成本元，利润元.60005000（2）当销售量为 时，销售收入等于销售成本.4吨销售收入销售成本销售成本1000销售收入和销售成本都是4000元.x/吨吨y/元元O123456100040005000200030006000l1l2（3）当销售量时，该公司赢利(收入大于成本)；当销售量时，该公司亏损(收入小于成本)；大于4吨小于4吨销售收入销售成本56123P你还有什么发现？78x/吨吨y/元元O123456100040005000200030006000销售成本销售成本销售收入销售收入l1：y=1000 x和l2：y=500 x+2000
27、中的k和b的实际意义各是什么？l2l1想一想k的实际意义是表示销售每吨产品可收入或增加成本的量；b的实际意义是表示变化的起始值.如k1表示销售每吨产品可收入1000元b2表示销售成本从2000元开始逐步增加b1表示收入从零到有如k2表示销售每吨产品成本为500元典例精析例1：我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图）.海海岸岸公公海海BA 下图中 l1，l2 分别表示两船相对于海岸的距离S与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题（1）哪条线表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系？解：观察图象，得当t0时，B距海岸0海里，即S0，故 l1 表
28、示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系；246810O2468t/分分s/海里海里l1l2（2）A、B 哪个速度快？t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，l1的纵坐标增加了5.246810O2468t/分分s/海里海里l1l2即10分内，A 行驶了2海里，B 行驶了5海里，所以 B 的速度快75当t15时，l1上对应点在l2上对应点的下方 这表明，15分钟时 B尚未追上 A.246810O2468t/分分s/海里海里l1l21214（3）15分钟内B能否追上 A？15246810O2468t/分分s/海里海里l1l21214（4）如果一直追下去，那么 B 能否追上 A？如图延伸如图延伸l
29、1、l2 相交于点相交于点P.因此，如果一直追下去，那么因此，如果一直追下去，那么 B 一定能追上一定能追上 A.P246810O2468t/分分s/海里海里l1l21214P（5）当 A 逃到离海岸12海里的公海时,B将无法对其进行检查.照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？从图中可以看出，l1 与 l2 交点P的纵坐标小于12，这说明在 A 逃入公海前，我边防快艇 B能够追上 A.10 k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2海里/分，快艇B的速度是0.5海里/分.246810O2468t/分分s/海里海里l1l21214（6）l1与l2 对应的两个一次函
30、数y=k1x+b1与y=k2x+b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？下图 l1,l2 分别是龟兔赛跑中s-t函数图象.（1）这一次是 米赛跑.（2）表示兔子的图象是 .100l2练一练s/米米（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 米；l1l212345O O10020120406080t/分分687（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米；（5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟；-11291011-3-240404 4-44040例2：已知一次函数y xa和y xb的图象都经过点A(4，0)，且与y轴分别交于B、C两点，求ABC的面积解：y x
31、a与y xb的图象都过点A(4，0)，(4)a0，(4)b0.a6，b2.两个一次函数分别是y x6和y x2.2321232321212123y x6与y轴交于点B，则y 066，B(0，6)；y x2与y轴交于点C，则y2，C(0，2)如图所示，SABC BCAO 4(62)16.2323212121方法总结：解此类题要先求得顶点的坐标，即两个一次函数的交点和它们分别与x轴、y轴交点的坐标当堂练习当堂练习1.如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h 解析：根据图象可得出：甲的速度为1205
32、=24（km/h），乙的速度为(1204)5=23.2（km/h），速度差为2423.2=0.8（km/h），0.8B解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意得 1600+100a=1400+100b,1600+300a=1400+200b,解得a=2,b=4.故这次越野跑的全程为1600+3002=220米2.一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米2200 3.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明8：30从学
33、校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示根据图象得到结论，其中错误的是（）A小亮骑自行车的平均速度是12km/hB小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园C小明在距学校12km处追上小亮D9：30小明与小亮相距4kmD解：A.根据函数图象小亮去滨湖湿地公园所用时间为108=2小时，小亮骑自行车的平均速度为：242=12（km/h），故正确；B.由图象可得，小明到滨湖湿地公园对应的时间t=9.5，小亮到滨湖湿地公园对应的时间t=10，109.5=0.5（小时），小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园，故正确；C.由
34、图象可知，当t=9时，小明追上小亮，此时小亮离开学校的时间为98=1小时，小亮走的路程为：112=12km，小明在距学校12km出追上小亮，故正确；D.由图象可知，当t=9.5时，小明的路程为24km，小亮的路程为12（9.58）=18km，此时小明与小亮相距2418=6km，故错误；故选：D4.在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 .30厘米、25厘米 2时、2.5时（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？y甲=-15x+30y乙=-10 x+25x=1x1x1两个一次函数的应用方案选择问题课堂小结课堂小结实际生活中的问题
