1、第第2727章章 圆圆27.1 27.1 圆的认识圆的认识第第3 3课时课时 圆的对称性圆的对称性垂直垂直 于弦的直径性质于弦的直径性质1课堂讲解课堂讲解圆的轴对称性圆的轴对称性垂径定理垂径定理垂径定理的推论垂径定理的推论2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点圆的轴对称性圆的轴对称性 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论？知知1 1导导知知1 1讲讲 圆是轴对称图形圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴
2、,经过圆心的经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴每一条直线都是圆的对称轴.下列说法：下列说法：(1)圆是轴对称图形；圆是轴对称图形；(2)圆有无数条对称圆有无数条对称轴；轴；(3)圆的任意一条直径都是圆的对称轴；圆的任意一条直径都是圆的对称轴；(4)圆所圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，其中正确的有其中正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知1 1练练1过圆内一点过圆内一点A可以作出可以作出()圆的对称轴圆的对称轴A1条条 B2条条C无数条无数条 D1条或无数条条或无数条知知1 1练练22知识点知识点垂径定理垂径定理知知
3、2 2导导按下面的步骤做一做：按下面的步骤做一做：第一步，第一步，在一张纸上任意画一个在一张纸上任意画一个 O，沿圆周将圆剪下，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，第二步，得到一条折痕得到一条折痕CD；第三步，第三步，在在 O上任取上任取一一点点A，过点，过点A作作CD折痕的垂线，折痕的垂线，得到新的折痕，其中点得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；是两条折痕的交点，即垂足；知知2 2导导第四步，第四步，将纸打开，新的折痕与将纸打开，新的折痕与圆交于另一点圆交于另一点B，如图，如图1 在上述的操作过程中，你发在上述的操作过程中，
4、你发现了哪些相等的线段和相等的弧现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？为什么？知知2 2讲讲1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦 所对的两条弧如图，所对的两条弧如图，CDAB于点于点E，CD是是 O的的 直径，那么可用几何语言表述为：直径，那么可用几何语言表述为：AEBECDADBDCDABACBC 是是直直径径知知2 2讲讲要点精析：要点精析：(1)“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”中的中的“直径直径”，还可以是垂直于弦，还可以是垂直于弦 的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆 心且垂
5、直于弦的线段、直线均可心且垂直于弦的线段、直线均可(2)垂径定理中的弦可以为直径垂径定理中的弦可以为直径(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据垂径定理是证线段、弧相等的重要依据知知2 2讲讲2.易错警示：易错警示：(1)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距弦弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距弦 与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则 它们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中，它们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中，弦越长，则其弦心距越小弦越长，则其弦心距越小(2)两条平行弦所夹的弧相等两条平行弦所夹的弧相等如图所示，如图所示，
6、AB是是 O的直径，的直径，CD为弦，为弦，CDAB于于点点E，则下列结论中不一定成立的是，则下列结论中不一定成立的是()ACEDE B.COEBED.知知2 2讲讲例例1CACAD CBDB 由垂径定理得由垂径定理得A,B,D中的结论一定成立故选中的结论一定成立故选C.导引：导引：如图，在如图，在 O中，中，AB为为 O的弦，的弦，C，D是直线是直线AB上上点，且点，且ACBD.求证：求证：OCD为等腰三角形为等腰三角形知知2 2讲讲例例2知知2 2讲讲要证要证OCD为等腰三角形，只需证为等腰三角形，只需证OCOD.导引：导引：过点过点O作作OMAB，垂足为，垂足为M，如图所示，如图所示则则
7、AMBM，ACBD，CMDM，又又OMCD，OCOD，OCD为等腰三角形为等腰三角形,证明：证明：(2015遂宁遂宁)如图，在半径为如图，在半径为5 cm的的 O中，弦中，弦AB6 cm，OCAB于点于点C，则，则OC等于等于()A3 cm B4 cm C5 cm D6 cm知知2 2练练1知知2 2练练(2015广元广元)如图，已知如图，已知 O的直径的直径ABCD于点于点E，则下列结论中错误的是则下列结论中错误的是()ACEDE BAEOEC.DOCE ODE2BCBD 知知2 2练练如图，在如图，在 O内有折线内有折线OABC，其中，其中OA8，AB12，AB60，则，则BC的长为的长为
8、()A16 B18 C19 D203知知3 3讲讲3知识点知识点垂径定理的推论垂径定理的推论1.推论：推论：(1)平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平的直径垂直于这条弦，并且平 分这条弦所对的两条弧，即：分这条弦所对的两条弧，即：要点精析：要点精析：推论中涉及两条弦，注意第一条弦不能为直径推论中涉及两条弦，注意第一条弦不能为直径(2)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，即：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，即：CDABCDAEBEADBDABACBC 是是直直径径不不是是直直径径CDABCDAEBEADBDACBC 是是直直径径知知3 3讲讲2拓展拓展：关于垂径定理及其
9、推论可归纳为：一条直线，：关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：它具备以下五个性质：(1)直线过圆心；直线过圆心；(2)直线垂直于弦；直线垂直于弦；(3)直线平分弦直线平分弦(不是直径不是直径)；(4)直线平分弦所对的优弧；直线平分弦所对的优弧；(5)直线平分弦所对的劣弧直线平分弦所对的劣弧 如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题组成的命题都是真命题长春长春如图，在同一平面内，有一组平行线如图，在同一平面内，有一组平行线l1，l2，l3，相邻两条平行线之间的距离均为，相邻两条平行线之间的距离均为
10、4，点，点O在直线在直线l1 上，上，O与直线与直线l3的交点为的交点为A，B，AB12，求，求 O的的 半径半径知知3 3讲讲例例3根据根据AB12，求出弦的一半，并利用垂径定理的推论构，求出弦的一半，并利用垂径定理的推论构造出直角三角形，利用勾股定理求出半径造出直角三角形，利用勾股定理求出半径知知3 3讲讲导引：导引：如图，取如图，取AB的中点的中点C，连结，连结OC，OA，则则AC AB 126，OCAB.在在RtAOC中，中，ACO90，OC428，OA 10，即即 O的半径为的半径为10.解：解：1212ACOC222268总总 结结知知3 3讲讲本题的解法是取本题的解法是取AB的中
11、点，运用垂径定理的推论构的中点，运用垂径定理的推论构造直角三角形求解，也可以过点造直角三角形求解，也可以过点O作作AB的垂线段，的垂线段，运用垂径定理求解运用垂径定理求解知知3 3练练（来自（来自 ）如图所示，如图所示，O的直径的直径CD10 cm，AB是是 O的弦，的弦，AMBM，OM OC3 5，则，则AB的长为的长为()A8 cm cm C6 cm D2 cm191知知3 3练练如图，如图，O的直径为的直径为10，弦，弦AB的长为的长为6，M是弦是弦AB上上的一个动点，则线段的一个动点，则线段OM的长的取值范围是的长的取值范围是()A3OM5 B4OM5C3OM5 D4OM52知知3 3
12、练练如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，BAC42，点，点D是弦是弦AC的中点，则的中点，则DOC的度数是的度数是_度度3(1)圆的轴对称性；圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用垂径定理及应用 方法：方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距 等问题的方法，构造直角三角形；等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距；弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所对的优弧；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧
