1、 陕西、湖北、山西陕西、湖北、山西 20192019- -20202020 学年高三下学期学年高三下学期 3 3 月联考月联考 高三数学试卷（文科）高三数学试卷（文科） 考生注意：考生注意： 1本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间分考试时间 120 分钟分钟 2请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容本试卷主要考试内容：高考全部内容 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中
2、，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.设集合 2 |50,|320AxNxBx xx，则 AB （ ） A. 0,3,4 B. 0,3,4,5 C. 3,4 D. 3,4,5 【答案】B 【分析】 分别用列举法表示 A、B两个集合，再计算 AB 即可. 【详解】由题得，0,1,2,3,4,5,1,2AB， 则0,3,4,5 AB . 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的补集运算，属于基础题. 2.复数 32 1 i i A. 15 22 i B. 15 22 i C. 15 22 i D. 15 22 i 【答案】B 【解析】 2 2 32132
3、33221 515 1111222 iiiiiii i iiii . 考点：复数的除法 3.若直线2 40xym 经过抛物线 2 2yx的焦点，则m（ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 2 D. 2 【答案】B 【分析】 计算抛物线的交点为 1 0, 8 ，代入计算得到答案. 【详解】 2 2yx可化为 2 1 2 xy，焦点坐标为 1 0, 8 ，故 1 2 m . 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题. 4.如图所示的是某篮球运动员最近 5 场比赛所得分数的茎叶图，则该组数据的方差是（ ） A. 20 B. 10 C. 2 D. 4 【答案】D 【分析】先根据茎叶图得
4、到数据 26，28，29，30，32，求出均值，再利用公式求出方差即可. 【详解】由茎叶图可知，5 场比赛得分的均值为 29， 故其方差为： 22222 1(26 29)(2829)(2929)(3029)(3229) 4 5 . 故选：D. 【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的方差的问题，属于简单题. 5.已知函数 2 2,0, ( ) 1,0, x x x f x xx ，则( ( 1)f f （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】根据分段函数直接计算得到答案. 【详解】因为 2 2,0, ( ) 1,0, x x x f x xx 所以 2 ( ( 1)(2)
5、222f ff. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力. 6.要得到函数2sin 2 6 yx 的图象，只需将函数 2cos2yx 的图象 A. 向左平移 3 个单位长度 B. 向右平移 3 个单位长度 C. 向左平移 6 个单位长度 D. 向右平移 6 个单位长度 【答案】D 【分析】 先将2sin 2 6 yx 化为2cos 2 6 yx，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为2sin 22cos 22cos 2 636 yxxx ， 所以只需将 2cos2yx 的图象向右平移 6 个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即
6、可，属于基础题型. 7.已知数列 n a是公差为()d d 0的等差数列，且 136 ,a a a成等比数列，则 1 a d （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由 136 ,a a a成等比数列得 2 316 aaa，即 2 111 25ada ad，已知0d ，解得 1 4 a d . 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 8.已知 21 53 2 121 ,log 353 abc ，则（ ） A. abc B. cba C. cab D. bca 【答
7、案】C 【分析】 加入 0 和 1这两个中间量进行大小比较，其中 2 5 1 0( )1 3 ， 1 3 2 ( )1 5 ， 2 1 log0 3 ，则可得结论. 【详解】 2 0 5 11 0( )( )1 33 ， 1 0 3 22 ( )( )1 55 ， 22 1 loglog 10 3 ，cab .故选：C. 【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中 选择中间量 0和 1 是解题的关键，属于基础题. 9.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一 半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请
8、公仔细算相还.”意思为有一个人要走 378里路，第一天健步行 走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多 走了（ ） A. 96 里 B. 72 里 C. 48 里 D. 24 里 【答案】B 【分析】 人每天走的路程构成公比为 1 2 的等比数列，设此人第一天走的路程为 1 a，计算 1 192a ，代入得到答案. 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为 1 2 的等比数列，设此人第一天走的路程为 1 a， 则 6 1 1 1 2 378 1 1 2 a ，解得 1 192a ，从而可得 3 24 11 19296,19224 22 a
9、a ，故 24 962472aa. 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 10.已知整数 , x y满足 22 10xy，记点M的坐标为( , ) x y，则点M满足 5xy的概率为（ ） A. 9 35 B. 6 35 C. 5 37 D. 7 37 【答案】D 【分析】列出所有圆内的整数点共有 37 个，满足条件的有 7 个，相除得到概率. 【详解】因为 , x y是整数，所以所有满足条件的点 ( , )M x y是位于圆 22 10xy（含边界）内的整数点， 满足条件 22 10xy的整数点有(0,0),(0, 1),(0, 2),(0, 3)
10、,( 1,0), ( 2,0),( 3,0),( 1, 1),( 2, 1),( 3, 1),( 1, 2),( 2, 2),( 1, 3) 共 37 个， 满足5xy的整数点有 7个，则所求概率为 7 37 . 故选：D. 【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力. 11.在高为3的正三棱柱 111 ABCABC中，ABC的边长为 2，D为棱 11 BC的中点， 若一只蚂蚁从点A沿 表面爬向点D，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 【答案】A 分析】 将正三棱柱展开，化平面图形中的距离最短的问题.有三种选择，第一种是从 A 点出发，经
11、过BC再到达点 D.第二种是从 A点出发，经过 11 AB再到达点 D.第三种是从 A 点出发，经过 1 BB，最后到达点 D.分别求出三 种情况的距离，选其中较小的值，即为所求最短距离. 【详解】如图 1，将矩形 11 BCBC翻折到与平面ABC共面的位置 11 BCC B , 此时，爬行的最短距离为2 3AD； 如图 2，将 111 A B C 翻折到与平面 11 ABB A共面的位置 111 ABC， 易知 11 3ADAA ， 1 120DA A，此时爬行的最短距离3AD； 如图 3，将矩形 11 BCBC翻折到与平面 11 ABB A共面的位置 11 BC C B ， 此时，爬行的最
12、短距离2 3AD. 综上，小蚂蚁爬行的最短距离为 3. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间想象能力，和平面几何的计算能力，解决本题的关键是依据“在平面内，两点之 间线段最短”.属于中档题. 12.过双曲线 22 22 1(0) xy ab ab 右焦点 2 F的直线交两渐近线于,P Q两点，90OPQ ，O为坐标原 点，且OPQ内切圆的半径为 3 a ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 5 2 C. 10 D. 10 2 【答案】B 【分析】 由双曲线的渐近线关于 x轴对称可知，OPQ的内切圆圆心 M在 x轴上，过点 M 分别作MNOP于 N， MTPQ 于 T，结合条件 2 F P
13、OP可知四边形 MTPN 为正方形，在 2 Rt OPF中求出OP，又由题意得 出PN的长，进而求得ON的长度.在Rt OMN中，求出tan NOM，也即是 b a 的值，再根据 2 1( ) b e a 求出离心率的值. 【详解】如图，设OPQ的内切圆圆心为 M，则 M 在 x轴上， 过点 M 分别作MNOP于 N，MTPQ于 T， 由 2 F POP得四边形 MTPN 为正方形， 由焦点到渐近线的距离为 b，得 2 F Pb， 又 2 OFc，所以OPa， 由 1 3 NPMNa，得 2 3 a NO ， 所以 1 1 3 tan 2 2 3 a MNb NOM aNO a ， 故 22
14、15 1 ( )1 ( ) 22 b e a . 故选：B. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，其中利用渐近线关于 x 对称，将内切圆的圆心固定在 x轴上，在 直角三角形中用边长之比表示 b a 是关键.属于较难题. 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13.已知向量(1,2),( 1,2)ab ，则|3|ab_ 【答案】4 2 分析】 先算出3a b 的坐标，再用求模的公式计算即可. 【详解】由(1,2),( 1,2)ab 可得3(4,4)ab， 则34 2ab
15、. 故答案为：4 2. 【点睛】本题考查了向量的模的坐标运算，属于基础题. 14.已知实数 , x y满约束条件 2 0, 25 0, 1, xy xy y ，则3zxy 的最大值为_. 【答案】8 分析】 画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案. 【详解】根据约束条件 2 0, 25 0, 1, xy xy y ，画出可行域，图中阴影部分为可行域. 又目标函数3 , 3 z zxy 表示直线30xyz在y轴上的截距， 由图可知当30xyz经过点(1,3)P时截距最大，故z的最大值为 8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 15.在长方体 1111 A
16、BCDABC D中， 1 3,4ADAAAB，则异面直线 1 AB与AC所成角的余弦值为 _ 【答案】 2 2 5 【分析】 由 1 / /ABCD可将直线 1 AB平移到CD，与AC相交，则 1 ACD异面直线 1 AB与AC所成角.在 1 ACD 中，利用余弦定理即可求值. 【详解】如图，连接 1 CD， 1 AD，则 1 / /ABCD， 所以 1 ACD为异面直线 1 AB与AC所成角， 由题意可得 1 5ACAD， 11 4 2ABCD， 则 222 11 1 1 cos 2 ACCDAD ACD AC CD 253225 2 5 4 2 2 2 5 . 故答案为： 2 2 5 .
17、【点睛】本题考查了平移法求异面直线所成角，属于基础题. 16.已知函数( )1 x f xeax，若0,( ) 0xf x厖恒成立，则a的取值范围是_. 【答案】 1,) 【分析】 求导得到( ) x fxea，讨论1 0a 和10a 两种情况，计算10a 时，函数 ( )f x在 0 0,x上单调 递减，故( )(0)0f xf，不符合，排除，得到答案。 【详解】因为( )1 x f xeax，所以( ) x fxea，因为0x，所以 ( )1fxa. 当1 0a ，即1a时，( ) 0fx ，则 ( )f x在0,)上单调递增，从而( )(0)0f xf ，故1a符 合题意； 当10a ，
18、即1a 时，因为( ) x fxea在0, )上单调递增，且(0)10fa ，所以存在唯一 的 0 (0,)x ，使得 0 0fx. 令( )0fx ，得 0 0 xx，则( )f x在 0 0,x上单调递减，从而( )(0)0f xf，故1a 不符合题意.综 上，a的取值范围是 1,) . 故答案为： 1,) . 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共0 分解答应写岀必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写岀必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为
19、必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17.在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别是, ,a b c，且2 5 sin2 cosacBbC . （1）求tanB； （2）若5,3ac，求b. 【答案】 （1） 2 5 tan 5 B （2）2b 【分析】 （1）根据正弦定理到2cos5sinBB，得到答案. （2）计算 5 cos 3 B ，再利用余弦定理计算得到答案 【详解】 （1）由25 sin2 cosacBbC，可得2sin5sinsin2sincosACBBC 2s
20、in()5sinsin2sincosCBCBBC,2sincos5sinsinCBCB 因为sin0C ，所以2cos5sinBB，所以 2 5 tan 5 B . （2）2cos5sin0BB，又因为 22 sincos1BB，所以 5 cos 3 B . 因为 222 2cosbacacB，所以 2 5 592534 3 b ，即2b . 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力. 18.如图，已知四棱锥PABCD的底面为矩形，PA 平面, 3,4,ABCD ABADAPE为PD的中 点 （1）证明：AEPC （2）若M为线段BC上的一点，且1BM ，求点M到平面PCD
21、的距离 【答案】 （1）见解析； （2） 3 2 2 【分析】 （1）要证明AEPC只需证明AE平面PCD，只需证明AECD和AEPD.其中AECD需要 通过CD平面PAD来证明，找到条件矩形ABCD可得ADCD，条件PA 平面ABCD可证得 PACD.AEPD可以通过等腰APD底边的中线AE即为高来证明. （2）利用 M PCDP CDM VV 等体积法，即可求点M到平面PCD的距离. 【详解】解： （1）证明：PA 平面ABCD，PACD， 底面ABCD为矩形，AD CD， 又PAADA， CD平面PAD，则AECD， 4ADAP，E为PD的中点， AEPD，且CDPDD， AE平面PCD
22、， 则AEPC； （2）PDCD 1 6 2 2 PCD SPD CD， 1 6 3 P CDMMCD VSPA ， 设点 M 到平面 PCD的距离为 h， MPCDP CDM VV ， 1 6 26 3 h， 3 2 2 h . 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理，线线垂直的证明问题，利用等体积法求点到平面的 距离问题，属于中档题. 19.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了 100 名高中生，根据问卷调查， 得到以下数据： 作文成绩优秀 作文成绩一般 总计 课外阅读量较大 35 20 55 课外阅读量一般 15 30 45 总计 50 50 100
23、（1）根据列联表，能否有 99.5%的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关； （2）若用分层抽样的方式从课外阅读量一般的高中生中选取了 6名高中生，再从这 6名高中生中随机选取 2 名进行面谈，求面谈的高中生中至少有 1名作文成绩优秀的概率 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】 （1）有 0 0 99.5的把握认为课外阅读量的大
24、小与作文成绩优秀有关； （2） 3 5 【分析】 （1）计算观测值 K2，与 7.879比较大小，即可得结论； （2）根据分层抽样，分别计算出 6人中成绩一般的人数和成绩优秀的人数，再将所有的结果一一列举出来， 用古典概型的公式进行计算. 【详解】解： （1） 2 2 100 (35 3020 15)100 9.0917.879 50 50 55 4511 K 有 0 0 99.5 的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关； （2）由题意可知选取的 6名高中生中作文成绩一般的人数是 30 64 1530 ，记为a，b，c，d， 作文成绩优秀的人数是 15 62 1530 ，记为 E，F，
25、从所选的 6 名高中生中随机选取 2名的情况有： ( , )a b，( , )a c，( , )a d ，( ,)a E，( , )a F，( , )b c， ( , )b d，( ,)b E ， ( ,)b F，( , )c d ，( ,)c E，( ,)c F， ( ,)d E，( ,)d F，( ,)E F，共 15种， 其中符合条件的情况有( ,)a E，( , )a F，( ,)b E ， ( ,)b F， ( ,)c E，( ,)c F，( ,)d E，( ,)d F，( ,)E F，共 9 种， 故所求的概率为 93 155 P . 【点睛】本题考查了独立性检验问题，分层抽样，列
26、举法求古典概型.属于中档题. 20.椭圆 22 22 :1(1) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，椭圆E上两动点,P Q使得四边形 12 PFQF为 平行四边形，且平行四边形 12 PFQF的周长和最大面积分别为 8和2 3. （1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线 2 PF与椭圆E的另一交点为M，当点 1 F在以线段PM为直径的圆上时，求直线 2 PF的方程. 【答案】 （1） 22 1 43 xy （2）3730xy或3730xy 【分析】 （1）根据题意计算得到2a，3,1bc，得到椭圆方程. （2） 设 2 1122 :1 , PF lxmyP x yM xy
27、， 联立方程得到 12 2 12 2 6 , 34 9 . 34 m yy m y y m ， 根据 11 0FP FM， 计算得到答案. 【详解】 （1）由平行四边形 12 PFQF的周长为 8，可知4 8a，即2a. 由平行四边形的最大面积为2 3，可知3bc ，又1ab，解得3,1bc. 所以椭圆方程为 22 1 43 xy . （2）注意到直线 2 PF的斜率不为 0，且过定点 2(1,0) F. 设 2 1122 :1, PF lxmyP x yM xy， 由 22 1, 3412, xmy xy 消x得 22 34690mymy ，所以 12 2 12 2 6 , 34 9 . 3
28、4 m yy m y y m ， 因为 111122 2,2,FPmyyFMmyy， 所以 2 1112121212 22124FP FMmymyy ymy ym yy 2 22 222 91 1279 4 343434 m mm mmm . 因为点 1 F在以线段PM为直径的圆上，所以 11 0FP FM，即 7 3 m ， 所以直线 2 PF的方程3 730xy或3730xy. 【点睛】本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为 11 0FP FM是解题的 关键. 21.已知函数( ) lnf xxxx （1）求曲线( )yf x在xe处的切线方程； （2）若不等式(
29、 )f xmxm对任意(0,1)x恒成立，求正整数m的最小值 【答案】 （1）3yxe； （2）1 【分析】 （1）求出切线斜率( )fe ，切点坐标( ,( )e f e，即可求得切线方程； （2）分离参数得 ln 1 xxx m x 对(0,1)x恒成立，构造新的函数 ln ( ) 1 xxx g x x ，对( )g x求导，得 2 ln2 ( ) (1) xx g x x ，再构造函数( )ln2h xxx.再求( )h x ，分析( )h x的单调性，利用零点存在定理 发现( ) h x在区间(0,1)上存在一个零点 0 x， 由 0 ( ) 0h x得 00 ln2xx.同时可得
30、0 0xx时，( )g x单调 递增， 0 1xx时，( )g x单调递减，则 max00 ( )()g xg xx，则 0 mx.又因为 0 (0,1)x ，m 为正整数， 所以m的最小值是 1. 【详解】解： （1）( )ln2fxx ， 切线的斜率为( )3f e， 又( )2f ee， 所求切线的方程为3yxe； （2）当01x时，( )f xmxm整理可得 ln 1 xxx m x ， 令 ln ( ) 1 xxx g x x ，则 2 ln2 ( ) (1) xx g x x ， 令( )ln2h xxx，则 1 ( )1h x x ， 由( )0h x ，得1x ， 当01x时，
31、( )0h x ，函数( )h x单调递减， (1)10h ， 2222 1111 ()ln20h eeee ， ( )h x 在区间(0,1)上存在一个零点 0 x， 此时 000 ()ln20h xxx，即 00 ln2xx， 当 0 0xx时，( )0h x ，即( )0g x，函数( )g x单调递增， 当 0 1xx时，( )0h x ，即( )0g x，函数( )g x单调递减， ( )g x 有极大值，即最大值为 000000 00 00 ln(2) () 11 xxxx xx g xx xx ， 则 0 mx， 0 (0,1)x ， 正整数m的最小值是 1. 【点睛】本题考查了
32、利用导函数求切线方程，利用导函数解决不等式恒成立，构造函数求函数的最值的问 题，属于难度较大的题. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，曲线C的标准方程为 2 2 1 4 x y.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系，直线l的极坐标方程为2 sin3 5 4 . （1）求直线l的直角坐标方程； （2）若点P在曲线C上，点Q在直线l上，求|PQ的最小值. 【
33、答案】 （1）3 50xy（2）10 【分析】 （1）直接利用极坐标公式计算得到答案 （2）设(2cos ,sin)P， |5sin()3 5 | 2 d ，根据三角函数的有界性得到答案. 【详解】 （1）因为2 sin3 5 4 ，所以sincos3 50， 因为 cos , sin , x y 所以直线l的直角坐标方程为3 50xy. （2）由题意可设(2cos ,sin)P， 则点P到直线l的距离 |2cossin3 5 | 5sin()3 5 | 22 d . 因为1 sin() 1剟，所以102 10d剟， 因为|PQd，故|PQ的最小值为10. 【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方
34、程，意在考查学生的计算能力和转化能力. 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数( ) | 1|42 |f xxx. （1）求不等式 1 ( )(1) 3 f xx 的解集； （2）若函数 ( )f x的最大值为m，且2(0,0)abm ab ，求 21 ab 的最小值. 【答案】 （1）1,4（2）3 【分析】 （1）化简得到 5,1, ( )33, 12, 5,2. xx f xxx xx 剟，分类解不等式得到答案. （2） ( )f x的最大值(2)3mf ，23(0,0)abab，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】 （1） 5,1, ( )14233, 12, 5,
35、2. xx f xxxxx xx 剟 因为 1 ( )(1) 3 f xx ，故 1, 1 5(1) 3 x xx 或 12, 1 33(1) 3 x xx 剟 或 2, 1 5(1), 3 x xx 解得12x剟或24x ，故不等式 1 ( )(1) 3 f xx 的解集为1,4. （2）画出函数图像，根据图像可知 ( )f x的最大值(2)3mf. 因为23(0,0)abab，所以 211211 221 (2)5(225)3 333 ab ab ababba ， 当且仅当1ab时，等号成立，故 21 ab 的最小值是 3. 【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
