1、9组合变形9-1 概述概述*工程中几种常见的组合变形：工程中几种常见的组合变形：斜弯曲斜弯曲 斜屋架上的檩条拉弯组合拉弯组合 冻结管偏心压缩偏心压缩 设有吊车的厂房柱子弯扭组合变形弯扭组合变形机床中靠齿轮传递的轴 由于组合变形是几种基本变形相互组合的结果，因此，在进行组合变形下的强度和刚度计算时，只需分别计算形成这种组合变形的几种基本变形下的应力和变形，然后进行叠加即可得到组合变形下的应力和变形。计算组合变形强度问题的步骤如下计算组合变形强度问题的步骤如下：三应力分析，确定危险点三应力分析，确定危险点 分别计算处每种基本变形在危险截面上的应力，根据叠加原理确定危险点的位置及应力值。二内力分析，
2、确定危险截面二内力分析，确定危险截面 分别作出各个载荷分量作用下各个载荷分量作用下的内力图一载荷处理：一载荷处理：在载荷作用点附近将作用的任意载荷，分解或静力平移为几个各自只能引起一种基本变形的载荷分量载荷分量。目录目录四危险点处应力状态分析四危险点处应力状态分析 取危险点单元体，求出主应力。五强度计算五强度计算 根据危险点处应力状态，选用相应的强度理论。9-2 斜弯曲斜弯曲一概念：一概念：1平面弯曲：平面弯曲：梁变形后，轴线位于外力所在的平面之内（纵向对称面）平面之内（纵向对称面）。2斜弯曲：斜弯曲：梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外平面之外。二斜弯曲梁的强度计算：二斜弯曲梁的强度计算：如
3、图：有一矩形截面悬臂梁，梁上载荷P垂直梁轴线且通过截面形心。P与主轴Y的夹角为 K的正应力。求距自由端为X处的截面上一点例例9-1：解：解：一将P沿Y、Z轴分解，得：二分别求出 ZPyP所引起的应力。1内力：v Py在X截面上所引起的弯矩为：v Pz在X截面上所引起的弯矩为：sinPPZcosPPycoscosMxPxPMyZsinsinMxPxPMzy2应力（应力（K点）点）vMz在K点引起的应力为：ZZIyMvMy在K点引起的应力为：yyIzM 3叠加：叠加：根据叠加原理，得：根据叠加原理，得：注意，求横截面上任一点的正应力时，只需将此注意，求横截面上任一点的正应力时，只需将此点的坐标（含
4、正负点的坐标（含正负）代入上式即可。代入上式即可。（9-1）sincos yZyyZZIzIyMIzMIyM三斜弯曲时，截面的中性轴斜弯曲时，截面的中性轴斜弯曲时，截面的中性轴一定过截面的形心（证明看教斜弯曲时，截面的中性轴一定过截面的形心（证明看教材）材）,其与其与Z轴夹角为轴夹角为tgIIzytgyz00其中其中(y0,z0)为中性轴上各点的坐标。为中性轴上各点的坐标。上式表明：中性轴的位置只与上式表明：中性轴的位置只与 角和截面的形状、角和截面的形状、大小有关，而与外力的大小无关；一般情况下，大小有关，而与外力的大小无关；一般情况下，中性轴不与外力作用平面垂直；对于圆形、正方形和正中性轴
5、不与外力作用平面垂直；对于圆形、正方形和正多边形，通过形心的轴都是形心主轴，多边形，通过形心的轴都是形心主轴，此时梁不会发生斜弯曲。此时梁不会发生斜弯曲。yzII,yzII四强度校核：四强度校核：首先作出梁的弯矩图，根据弯矩图，确定弯矩值最大的危险截面，然后将危险截面上的两个弯矩分量 、代入maxZMmaxYM（9-2）即可进行强度校核。（9-3）yYZZWMWMmaxmaxmax（9-2）yYZZyyZZWMWMzIMyIMmaxmaxmax 对矩形截面，可以直接断定截面的 maxmaxYL必发生在 具有相同符号的截面角点处。五挠度叠加：五挠度叠加：两个载荷分量在自由端所引起的挠度分别为：两
6、个载荷分量在自由端所引起的挠度分别为：ZZYyEILPEILP3cos33333sin33ZZyyPLP LEIEI二者的矢量和为：二者的矢量和为：22zy设挠度 的方向与Y轴间的夹角夹角，则：则：tgIItgyzyz讨论：讨论：由上式可看出：要使得 必须：yzII 即，只 yzII 有在 的条件下，才是平面弯曲，否则是斜弯曲。思考题思考题正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还是斜弯曲？目录目录9-3 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合变形与弯曲的组合变形例例1：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力，试
7、求圆杆的最大拉应力t和最大压应力和最大压应力 c。XYAA34kNkN解：解：任意横截面 上的内力x:xxYxMYFXFAASAN4)(kN4kN3mkN8kN311MFN，：截面上危险截面，其上MPa9.811.813210841033323tddWMAFNcMWAFNMWZPMyPMyz例9-2.如图所示一矩形截面柱，y轴和z轴为柱截面的二根对称轴，设压力P作用在载面上的某一点C处，点C距离截面z轴为yp，距y轴为zp，试求截面mn上K点的应力。偏心拉伸（压缩）偏心拉伸（压缩）1.将将p向向o点简化，得点简化，得p，Mzp，Myp其中：pzpyPMpypzPM2.求求p，Mzp，Myp三者
8、各自单独作用时三者各自单独作用时K点处的正应力。点处的正应力。(1).在在P单独作用时：单独作用时：*此时柱受轴向压缩，横截面上的应力均匀分布，如图：APK（1）（负号表示，应力为压应力）（负号表示，应力为压应力）解解:hbq（2）在）在Mz单独作用下单独作用下:*此时柱相当于一个纯弯曲梁，z轴为截面的中性轴，此时截面上的应力沿y轴方向呈线性分布，如图：（3）在）在 My单独作用下单独作用下:*此时柱相当于一个纯弯曲梁，y轴为截面的中性轴，此时截面上的应力沿z轴方向呈线性分布，如图：hbyzZPKZZMyPy yII 3根据叠加原理，求根据叠加原理，求K点处的正应力：点处的正应力：PPkKKK
9、ZyPyyPzzPAII bqhyzyPKyyMzPz zII 4讨论：讨论：（1）中性轴位置的确定：）中性轴位置的确定：现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 yaza分别将0,ya0,za 代入 k表达式得：根据中性轴上应力为零，根据中性轴上应力为零，22(1)0PPPPkZyzyPyyPzzyyzzPPAIIAii 根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。可得中性轴的方程式为：可得中性轴的方程式为：2210PPzyyyzzii 由ay、az就可把应力零线的位置确定下来，应力零线就是该截面的中性轴中性轴。上式表明ay、az 均与yp、zp符
10、号相反，所以中性轴与偏心压力分别在坐标原点的两侧，以中性轴为界，一侧受拉，一侧受压。（2）最大最小的正应力）最大最小的正应力。由 k的表达式可看出：要使得 maxk必须：，maxyy；maxzz 且必须 kk同时为正。2ZyPiay 2yZPiaz 要使得 mink必须：，maxyy maxzz 且必须 ,kk同时为负。（对偏心压缩来说：APK为一定值。）即：即：yPZPWPzWPyAPmaxyPZPWPzWPyAPmin故：偏心压缩时的强度条件为：故：偏心压缩时的强度条件为：lmaxymin，同样道理：对偏心拉伸而言。同样道理：对偏心拉伸而言。yPZPWPzWPyAPmaxlmax由于土建工
11、程中绝大部分材料的由于土建工程中绝大部分材料的 yl故此时无须校核故此时无须校核 ymin目录目录NAPcd MWPad cyy26MWPbcdzz26任意横截面上的内力：NPMPaMPbyz,NAM zIM yIPcdPazd cPb ycdyyzz331212ctyyzzNAMWMWPcdPad cPbcd 22669-4 扭转与弯曲的组合变形扭转与弯曲的组合变形A截面为危险截面：截面为危险截面：MPlTPa k1k2nWTWM13222220r313224224nWTWMMTW22r412223231212()()()223MTW220 75.MWTWt,16,3233dWdWnrrMT
12、WMTWWd322422307532.圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：例例2xz平面内的弯矩：平面内的弯矩：LabFMrYmaxxy平面内的弯矩：平面内的弯矩：LFabMZmax虽然 maxYM和 maxZM但因圆截面杆不会发生斜弯曲，只可能发生平面弯曲圆截面杆不会发生斜弯曲，只可能发生平面弯曲，因而可以采用矢量合成矢量合成的方法（见下图）求出其合成弯矩。是在相互垂直相互垂直的两个主平面中的弯矩，2222maxmaxFFLabMMMrZYW1D1DM 从图从图可看出：合成弯矩可看出：合成弯矩Mw的作用平面垂直于矢量。的作用平面垂直于矢量。在危险截面上，与在危
13、险截面上，与Mn对应的剪应力在边缘各点上达到极大值，对应的剪应力在边缘各点上达到极大值，其值为：其值为：nnnWT 在危险截面上，与合成弯矩在危险截面上，与合成弯矩Mw对应的弯矩正应力，在对应的弯矩正应力，在D1和和D2点上达到极大值，其值为：点上达到极大值，其值为：WMWW根据图b上的剪应力和正应力的分布可知：1D和 2D点上的扭转剪应力与边缘上其他各点相同，而弯曲正应力为最大弯曲正应力为最大值值，故 D1和D2点应为危险点危险点，其中D1点的应力状态如图C所示。在抗拉和抗压强度相等的情况下，D1和D2中只要校核一点就行了（下面以（下面以D1为例）为例）对于图对于图C所示的二向应力状态，利用
14、公式所示的二向应力状态，利用公式22minmax22nyxyx可得：可得：222231421222nWWnWW或1 1D点的最大主应力最大主应力 3 1D点的最小主应力最小主应力 二二.强度校核：强度校核：对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。1.第三强度理论：第三强度理论：31将将C式代入上式得：式代入上式得：222214nWbanWTMW代入弯扭组合变形情况下的第三强度理论表达式弯扭组合变形情况下的第三强度理论表达式2.第四强度理论：第四强度理论：21323222121将将C式代入上式，简化整理后可得：式代入上式，简化整理后可得：2
15、23nW 代入代入式即可得：式即可得：2275.01nWTMW弯扭组合变形的圆轴的第四强度理论表达式弯扭组合变形的圆轴的第四强度理论表达式（弯扭组合变形的圆轴的第三强度理论表达式）（弯扭组合变形的圆轴的第三强度理论表达式）及及 2275.01nWTMW弯扭组合变形的圆轴的第四强度理论表达式弯扭组合变形的圆轴的第四强度理论表达式对于弯扭组合变形的圆轴，该两公式可直接应用，无须再去对于弯扭组合变形的圆轴，该两公式可直接应用，无须再去求解主应力。求解主应力。221nWTMW注：注：公式 例例9-4：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，C为形心，梁上作用 有均布载荷，其作用方向及位置如图所示，该梁变形有四
16、种答案：（A）平面弯曲；（B）斜弯曲；（C）纯弯曲；（D）弯扭结合。例例9-5：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中力F，该杆的变形设有四种答案：（A）平面弯曲变形；（B）斜弯曲变形；（C）弯扭组合变形；（D）压弯组合变形。FF 例例9-6：具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：（1）m-m截面上的最大拉应力t 和最大压应力c；（2）此t是截面削弱前的t值的几倍？F解：(1)tcNAMW624222aaaFaF2248aFaFFFFa/4F例例9-7：图示偏心受压杆。试求该杆中不出现拉应力时的最大偏心距。解：eFMFN,tNAMW62hbFebhF 0eb6F 例例9-8：偏心拉伸杆，弹性模量为E
17、，尺寸、受力如图所示。求：（1）最大拉应力和最大压应力的位置和数值；（2）AB长度的改变量。解：(1)2,2,bFMhFMFNzy最大拉应力发生在AB线上各点最大压应力发生在CD线上各点zzyyctWMWMAN626222hbFbbhFhbhF)5(7bhFbhFFlFlFyz思考题思考题91：求图示杆在P=100kN作用下的t数值，并指明所 在位置。解：t100101002001050000201620362.MPa最大拉应力发生在后背面上各点处思考题思考题9-2：空心圆轴的外径D=200mm，内径d=160mm。在端部有 集中力P=60kN，作用点为切于圆周 的A 点。=80MPa，试用第三强度理论校核 轴的强度。思考题思考题9-3：直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受垂直 力P=0.2kN，已知=170MPa。试用第 三强度理论确定的许可值。思考题思考题9-4：圆截面水平直角折杆，直径d=60mm，垂直分布 载荷q=0.8kN/m;=80MPa。试用第三强度 理论校核其强度。目录目录此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
