1、 11.2集合间的基本关系集合间的基本关系 1观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1)A1,2,3，B1,2,3,4,5(2)Ax|x3，Bx|3x60(3)A正方形，B四边形 对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么称集合A是 集 合 B 的，记 作 A B(或BA)用图表示为子集 用平面上封闭曲线的表示集合的方法称作图示法这种图称作Venn图 2理解子集概念注意以下几点：(1)不含任何元素的集合称作空集规定：是任何集合的子集(2)任何一个集合是它本身的子集(3)对于集合A、B、C，如果AB，BC，那么A C；内部空集(4)集合A不包含于集合B(A B
2、)包括如下图所示几种情况：3集合相等与真子集 如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同时集合B的所有元素都是集合A的元素，那么就称集合A等于集合B.(即：若AB，且BA，则AB)如果集合A是集合B的子集，并且存在xB，且 ，则称A是B的真子集 值得说明的是：x A(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素A的元素；(2)子集包括真子集和相等两种情况；(3)空集 是任何非空集合的真子集；不是 本节重点：子集的概念 本节难点：属于与包含之间的区别 1学习子集的概念要特别注意概念中“任何一个元素”而不是某些元素 2正确区别各种符号的含义(1)与的区别 表示元素与集合之间的
3、关系，因此有1N，-1 N等；和表示集合与集合之间的关系，因此有NR，R等，要正确区分属于和包含关系(2)a与a的区别 一般地，a表示一个元素，而a表示只有一 个 元 素 a 的 集 合，因 此 有11,2,3,00，11,2,3，aa，b，c，aa，b，c(3)空集是集合中的特殊现象，AB包括A 的情形容易漏掉，解题时要特别留意(4)0与 的区别 0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此有 0，0与 0都是错误的要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系 3正确地理解子集、真子集的概念 如果A是B的子集(即AB)，那么有A是B的真子集(AB)或A与B相等(AB)两种情况“AB”
4、和“AB”二者必居其一反过来，A是B的真子集(AB)也可以说A是B的子集(AB)；AB也可以说A是B的子集(AB)要注意AB与BA是同义的，而AB与BA是不同的 4用Venn图表达集合与集合之间的关系直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解总结评述：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时，要抓住基本概念去解题此时要注意辨明集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认，以避免因疏忽而出错.例2判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：(1)Ax|x2m1，mZ，Bx|x4n1，nZ，(2)Ax|xa24，a
5、R，By|yb23，bR，(3)A(x，y)|xy0，xR，yR，B(x，y)|x0，y0，x，yR 解析(1)A奇数,4n1(nZ)必是奇数，BA.又当m为偶数时，设m2n(nZ)，则2m14n1；当m为奇数时，设m2n1(nZ)，则2m14n1.由此可见，不论m是何整数，2m1B.故AB.综上所述，AB.(2)a244，b233，Ax|x4，By|y3 A B.(3)若x0，y0，则必有xy0，BA.又若x1，y2时，xy0，(1,2)A.又x10，(1,2)B，B A.总结评述：如果要证明AB，只要证明AB与BA同时成立即可 已知AB，证明A B，并不需要将属于B而不属于A的所有元素无一
6、遗漏地全部列出，只要举出一个即可同理要说明AB成立，须给出严格的证明过程，但要说明AB不成立，只要能找出一个元素x0A，但x0 B即可 注意集合表示的意义，它与表示集合时所采用字母的名称无关 指出下列各对集合之间的关系(1)Ax|x是两组对边分别平行的四边形，Bx|x是一组对边平行且相等的四边形(2)Ax|x是能被3整除的数，Bx|x是能被6整除的数(3)Ax|x3，Bx|x5 解析(1)A平行四边形，B平行四边形，AB.(2)能被3整除的数不一定能被6整除，但能被6整除的数一定能被3整除，B A.(3)x5x3，但x3/x5，B A.例3已知Mx|x1，Nx|xa，且M N，则()Aa1 B
7、a1 Ca1 Da1 分析为了形象直观地表示集合的关系可借助数轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得出1与a的关系 解析随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足MN的情况如图，显见a1，故选B.总结评述：要特别注意a能否取到1，若把其它条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：Mx|x1；Nx|xa；MN；MN；M N.已知Ax|x3，Bx|xa(1)若BA，则a的取值范围是_；(2)若AB，则a的取值范围是_；(3)若AB，则a的取值范围是_；(4)若AB，则a的值是_ 答案(1)a3(2)a3(3)a3(4)3 解析(1)若BA应满足a3；(2)若AB应满足a3；(3)AB应
8、满足a3；(4)若AB则a3.例4设集合Ax|x24x0，xR，Bx|x22(a1)xa210，xR，若BA，求实数a的值 分析BA包括BA与BA两种情形当BA时，集合B中一元二次方程有两实根0和4；当B A时，有B 或B中一元二次方程有两相等实根0(或4)解析A4,0 1若BA，则4,0是方程x22(a1)xa210的两根，a1.2若B，则4(a1)24(a21)0，a1，3若B中只有一个元素，则0，a1，经验证a1时，B0满足 综上所述a1或a1.点评B A时，容易漏掉B 的情况；B0或4易造成重复讨论，应直接由0，求得a值再验证B A是否成立；分类讨论应按同一标准进行 本题解答中，实际是
9、按0，0，0对应BA；0对应B0或B4；0对应B.若非空集合Ax|x2pxq0，Bx|x23x20，且BA，求p、q满足的条件 解析因为B1,2，AB，A.A1，2或1,2(1)A1,2时，p3，q2；(2)A1时，p2，q1；(3)A2时，p4，q4.例5已知集合Ax，xy，xy，集合B0，|x|，y，若AB，求实数x，y的值 分析有限集合的相等，即集合中的元素一一对应相等，可以由此建立关于x、y的方程组来解决问题 解析(1)0B，AB，0A，又由集合中元素的互异性，可以断定|x|0，y0，x0，xy0，故xy0，即xy，此时Ax，x2,0，B0，|x|，x，x2|x|，当x1时x21矛盾，
10、x1，xy1.*(江苏苏北四市2010模拟)已知集合A0,2，a2，B1，a，若AB0,1,2,4，则实数a的值为_ 答案2 解析AB0,1,2,4，a4或a24，若a4，则a216，但16 AB，a24，a2，又2 AB，a2.例6(1)Aa，b，c，求集合A子集的个数(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？*(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数 解析(1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为a，b，c共3个，含有两个元素时子集为a，b，a，c，b，c共3个，含有3个元素时子集为a，b，c共1个，另外还有空集
11、，因此集合A共有8个子集(2)按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.a1，a2Aa1，a2，a3，a4，a5，求满足上述条件的集合A的个数 解析集合A首先含有元素a1，a2，然后再从剩下的3个元素中选取，即a3，a4，a5的子集总数为238个，这样的集合A共有8个 例7若集合Ax|x2x60，Bx|mx10，BA，求m的值 错解Ax|x2x603,2，BA，mx10的解为3或2.辨析要解答本题，首先要
12、搞清楚集合A的元素是什么，然后根据B A，求m的值 在这里未考虑“B，即方程mx10无解”这一情形导致错误 一、选择题 1下列四个命题：空集没有子集；空集是任何集合的真子集；任何集合至少有两个子集；若 A，则A，其中正确的个数是()A1个B2个 C3个 D4个 答案A 解析空集是本身的子集，但不是本身的真子集，它只有本身这一个子集，故错，只有正确答案D 二、解答题 3设集合A1,1，试用列举法写出下列集合(1)Bx|xA；(2)C(x，y)|x，yA；(3)Dx|xA 解析(1)B1,1(2)C(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)(3)D，1，1，1,1 4已知集合Ax|2x5，非空集合Bx|m1x2m1，且BA，求m的取值集合 解析BA且B，故所求集合为m|2m3 若把条件BA，改为(1)B A或(2)A B，请再求实数m的取值集合 5已知集合A1,3,5，求集合A的所有子集的元素之和 分析先写出集合A的所有子集，再求这些子集的所有元素之和 解析集合A的子集分别是：，1，3，5，1,3，1,5，3,5，1,3,5注意到A中的每个元素x出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次故所求之和为(135)436.
