1、第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性中南财经政法大学信息系中南财经政法大学信息系定义定义 n个数个数a1,a2,an组成的一个有序数组组成的一个有序数组 (a1,a2,an)称为一个称为一个n维向量维向量,记为记为naaa.21 列向量列向量其中第其中第i个数个数ai称为向量的第称为向量的第i个分量个分量.本书中向量一般指列向量本书中向量一般指列向量.),(21nTaaa 行向量行向量一、n维向量及其线性运算 基本单位向量组基本单位向量组:).1,0,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(21n 零向量零向量:0=(0,0,0)T 负向量负向量:向量相等向量相等:设设;
2、),(21Tnaaa,),(21Tnaaa Tnbbb),(21 若若 则则,2,1,nibaii.称为称为 的负向量的负向量 向量组向量组:一组同维的行向量一组同维的行向量(列向量列向量),),称为向量组；称为向量组；定义定义,),(21Tnaaa Tnbbb),(21 设设向量加法向量加法向量数乘向量数乘;),(2211Tnnbababa kTnkakaka),(21.向量的线性运算：向量的线性运算：设设,k l 是是向向量量是是常常数数则则 ();()()(;()0;()0)(;()1;()()(kllk;()kkk)(;()lklk)(.这两种运算满足以下这两种运算满足以下八条运算规律
3、八条运算规律:向量加法、数乘两种运算向量加法、数乘两种运算,称为向量的称为向量的线性运线性运算算.对一般的线性方程组：对一般的线性方程组：11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 设设111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa x x12,nxxx 12.mbbb 则线性方程组的矩阵形式为：则线性方程组的矩阵形式为：AX向向量量与与方方程程组组线线性性方方程程组组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 若 令 mjjjjaaa21,nj,2,1
4、;mbbb21 方程组的向量形式方程组的向量形式设A为nm矩阵,mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211,向向量量与与矩矩阵阵显然显然,矩阵矩阵A既对应一个既对应一个行向量组行向量组,又对应一又对应一 个个列向量组列向量组:12(,),1,2,Tiiiinaaaim 其中其中 12,jjjmjaaa 1,2,jn 12m mA 21 n 21 二、二、向量的线性组合向量的线性组合定义定义3.1设设 是是s 个个n维向量，维向量，12,s 12,skkk是任意是任意s个常数，个常数，1122sskkk表达式表达式称为这个向量组称为这个向量组 的的线性组合线性组合.s ,.,21若
5、对对于向量若对对于向量,存在常数存在常数,.,21skkk使得使得sskkk .2211则称则称向量向量 可以由向量组可以由向量组 线性表示线性表示或或线性表出线性表出.s ,.,21s 001211(2)向量组中任意向量可以向量组中任意向量可以由该向量组由该向量组“线性表线性表示示”.”.(1)12o000s零向量是任意向量组的零向量是任意向量组的“线性组合线性组合”.”.例例2线性表示线性表示、线性组合的例：、线性组合的例：(3)若若 则则nnaaa 2211任意任意n n维向量可由维向量可由n n维基维基本单位向量组本单位向量组“线性表线性表示示”.”.,),(21Tnaaa 任给一组任
6、给一组n维向量维向量12,s 及及,如何判断向量如何判断向量 是否是否能由向量组能由向量组12,s线性表出呢？设线性表出呢？设 1122,1,2,;,jjjnjnababjsab 上面上面已已验证，验证，向量组关系式向量组关系式 1122ssxxx （3.163.16）与方程组关系式与方程组关系式 11 11221121 1222221 122,ssssnnnssna xa xa xba xa xa xba xa xa xbLLLLLLL （3.13.17 7）是等价的是等价的。).,r(),r(k 21212211s21 sssskk 有解线性方程组线性表出，能由线性表出：线性表出：，是否能
7、由向量组是否能由向量组如何判断如何判断 s21 解解 考虑考虑,332211 xxx即非齐次线性方程组即非齐次线性方程组.12,1,1312132xxxxxx对方程组的增广矩阵进行初等行变换对方程组的增广矩阵进行初等行变换,得得110011100101221011101011120110111110A110000101001可见方程组有唯一解可见方程组有唯一解:11x,02x,13x.3210 .对矩阵对矩阵B B 进行初等进行初等行行变换变换,得得例例 4 4 设设T0,2,8,2,T3,2,2,11,T6,4,4,22,T6,3,0,13 B000000002100212163002100
8、42002121,继续用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵继续用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵,可得可得 B,000000002100402112342,2.xcxcx (c为任意常数为任意常数)1342 若令若令c=0，有，有定义定义3.2 若向量组若向量组()中中每个每个向量均向量均可由向量组可由向量组()线性表示线性表示,则称则称向量组向量组()可以由向量组可以由向量组()线性表示线性表示.s ,.,21t ,.,21 若向量组若向量组()与向量组与向量组()可以相互线性表示可以相互线性表示,则称这则称这两个向量组两个向量组等价等价.显然显然,这种等价关系具有反身性、对称性、传递性这种等
9、价关系具有反身性、对称性、传递性.两组向量间的线性表示：两组向量间的线性表示：，例例如如基基本本单单位位向向量量组组,0,1,00,0,121TT Tn1,0,0 ，和和,0,1,1,0,0,121TT 等等价价。Tn1,1,1 阵阵，使使得得矩矩是是：存存在在）线线性性表表出出的的充充要要条条件件）能能由由（，（和和（并并设设）（）（设设有有两两个个向向量量组组例例 ),),4 21212121 BA ttsssSttttccccccccc 22112222112212211111)(）线线性性表表出出，即即可可以以由由（若若证明证明：),21s （tsttsstccccccccc21222
10、211121121),（.,212222111211BCAcccccccccCtsttss 则则令令分分性性易易证证。以以上上过过程程是是可可逆逆的的，充充课堂练习课堂练习1.试问下列向量 能否由其余向量线性表示?若能,写出线性表示式:(1)2,0,1(1T,)0,8,2(2T,)1,2,1(T;(2)T)2,3,3(1,T)2,1,2(2,T)1,2,1(3,T)6,5,4(;返回(1)不能(2)321432 ;练习答案或提示：练习答案或提示：0 ,:22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意.0 ,0,1.221112
11、1成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn .,2.线线性性相相关关性性无无关关就就是是不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组定义定义3.33.3三、线性相关性的概念三、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A.,0,0,4.线线性性无无关关则则若若线线性性相相关关则则若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 .3.组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,5.两两式式不不一一定定同同时时成成立立或或者者线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是，两两个个向向量量 kk
12、.,1321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例0 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有,0)()(133322211 xxx）（即即,0)()()332221131 xxxxxx（亦即亦即线性无关，故有线性无关，故有，因因321 .0 ,0 ,0 322131xxxxxx证证02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行.,0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 四、线性相关性的判定四、线性相关性的判定.)(),(2.0 1,
13、21221121sArAxxxssss ，）记记（有有非非零零解解）齐齐次次线线性性方方程程组组（线线性性相相关关的的充充要要条条件件向向量量组组 定理定理3.43.4.相相关关时时，向向量量组组一一定定线线性性向向量量个个数数大大于于向向量量维维数数推论推论2 2推论推论1 10 21 snn 条条件件是是维维向向量量线线性性相相关关的的充充要要个个解解.),(21阶阶单单位位矩矩阵阵是是的的矩矩阵阵维维单单位位坐坐标标向向量量组组构构成成neeeEnn 01 E由由.的的故此向量组是线性无关故此向量组是线性无关维维向向量量组组n TnTTeee1,0,0,0,1,0,0,0,121 ，.,
14、讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维基基本本单单位位向向量量组组称称为为n例例 例例 3 3 判断向量组判断向量组 1 T)2,1,1(,2 T)3,1,2(,3 T)1,1,3(是否线性相关是否线性相关?解解 考虑齐次线性方程组考虑齐次线性方程组 ，1122330 xxx A(321,)132111321 另解：另解：定理定理3.53.5向量组向量组 （当（当 时）线性相时）线性相关的充分必要条件是关的充分必要条件是 中至少有一个中至少有一个向量可由其余向量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,21m ,211 m2 m证明证明充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如
15、）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 几个判定定理几个判定定理：故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0，1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk.02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有,01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕.如果一个向量组中部分向量线性相关，则如果一个向量组
16、中部分向量线性相关，则整个向量整个向量 组线性相关组线性相关.推论推论1 1 如果一个向量组线性无关，则任一部分如果一个向量组线性无关，则任一部分组线性无关组线性无关.推论推论2 2部分相关部分相关,则整体相关则整体相关.整体无关整体无关,则部分无关则部分无关.所以存在不全为零的实数所以存在不全为零的实数 121,.,sskkkk使得使得.,21121且且表表示示式式是是唯唯一一的的线线性性表表示示必必能能由由向向量量组组向向量量则则线线性性相相关关而而向向量量组组线线性性无无关关设设向向量量组组sss 定理定理3.63.6)1(0.12211ssskkkk则必有则必有,01sk假设不然假设不
17、然,则有则有0.2211sskkk(不全为零不全为零)skkk,.,21s ,.,21线性相关线性相关,因为因为证明证明)2(.1212111ssssskkkkkk 这与这与 线性无关矛盾线性无关矛盾.s ,.,21从而对从而对(1)式变形得式变形得设有两种表示方法设有两种表示方法唯一性唯一性:ssss .22112211两式相减，得两式相减，得线性无关线性无关s ,.,21sss )(.)()(0222111 0,0,02211 ss ss ,2211即即.,nn 2121且且表表示示式式是是唯唯一一的的示示线线性性表表必必能能由由向向量量组组维维向向量量任任意意则则线线性性无无关关维维向向
18、量量个个如如果果nnn 推论推论.,2,1,1,1)3(,1112121线线性性表表出出不不能能由由向向量量组组）（线线性性表表出出；可可由由向向量量组组）（试试证证：个个向向量量线线性性无无关关后后向向量量线线性性相相关关个个中中，前前设设向向量量组组 nnnnnnn 例例证明：证明：个个向向量量线线性性无无关关后后1)1(n线线性性无无关关故故12,n 线线性性表表出出。可可由由向向量量组组121,n 线线性性相相关关而而11,n 线线性性表表出出能能由由向向量量组组）假假设设（11,2 nn 线线性性表表出出能能由由向向量量组组故故12,nn 线线性性表表出出可可由由向向量量组组）知知由
19、由（121,1 n 。线线性性相相关关，与与题题设设矛矛盾盾则则nn ,12:2121ssmnmn ，维维向向量量组组后后得得个个分分量量添添加加，维维向向量量组组定理定理3.73.7),2,1(,1121sjaaaaaaajmnjnnjjjnjjjj 线线性性相相关关。线线性性相相关关，则则向向量量组组，组组向向量量也也线线性性无无关关；反反之之，若若，线线性性无无关关，则则向向量量组组若若向向量量组组ss ,21s21s2121 低维无关低维无关,则高维无关则高维无关;高维相关高维相关,则低维相关则低维相关.定理定理3.8必线性相关。则向量组且线性表出可由若设有两个向量组 ,:,:2121
20、tsts 证明证明 根据条件根据条件,可设可设1112121222121212(,.,)(,),ssstttt sccccccccc AB(反证法反证法)假设假设s t,考虑方程组考虑方程组CX=0,则该方程组有非则该方程组有非零解零解(方程个数小于未知量的个数方程个数小于未知量的个数).于是于是 BCX=0,即即AX=0有非零解有非零解,这说明这说明 线性相关线性相关,矛盾矛盾.s ,.,21记矩阵记矩阵1212(,.,),(,),stAB 。且均线性无关，则等价若设有两个向量组tsts ,:,:2121 推论推论2。线性无关，则且向量组线性表出可由若设有两个向量组tsts ,:,:2121
21、 推论推论1.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（在线性方程组中的应用；（重点重点）.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，定理（定理（难点难点）四、小结思考题 1 1.设向量设向量 可以由向量组可以由向量组s ,21线性表示线性表示,证明表示证明表示法唯一的充分必要条件为法唯一的充分必要条件为:向量组向量组s ,21线性无关线性无关.课本课本P104第第11题。题。
