1、第四章第四章向量组的线性相关性向量组的线性相关性1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义：定义：n 个个有次序有次序的数的数 a1,a2,an 所组成的数组称为所组成的数组称为n 维向维向量量，这，这 n 个数称为该向量的个数称为该向量的 n 个个分量分量，第，第 i 个数个数 ai 称为第称为第 i 个分量个分量p分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量p分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量备注：备注：一般只讨论实向量（特别说明的除外）一般只讨论实向量（特别说明的除外）行向量和列向量总被看作是两个不同的向量行向量和列向量总被看作是两个不同的向量所讨论的
2、向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量列向量列向量用黑色小写字母列向量用黑色小写字母 a,b,a a,b b 等表示，行向量则用等表示，行向量则用 aT,bT,a aT,b bT 表示表示 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).只有一列的矩阵只有一列的矩阵 称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).12(,)nAa aa 12naaBa 二、特殊的矩阵n 维向量的运算维向量的运算1、向量相等（维数相同且对应元素相等）向量相等（维数相同且对应元素相等）),2,1(,niiiTT b ba ab ba a
3、当且仅当当且仅当),(2211nnTTb ba ab ba ab ba ab ba a ),(21nTkkkka aa aa aa a 向量加法和数乘运算统称为向量的线性运算向量加法和数乘运算统称为向量的线性运算2、向量相加（维数相同，对应元素相加）、向量相加（维数相同，对应元素相加）3、向量的数乘（数乘以向量的每一个分量）、向量的数乘（数乘以向量的每一个分量）n 维向量的运算律维向量的运算律b ba ab ba aa aa aa aa aa aa aa aa a b ba a b ba aa ab bb ba akkkkllk )(.7)()(.61.50)(.40.3)(.2.1定义：定义
4、：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组向量组11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa 1234,a a a aa a a a 123TTTb bb bb b 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应有限向量组有限向量组当当R(A)n 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组 Ax=0 的全体解组成的全体解组成的向量组含有的向量组含有无穷多个同维数的无穷多个同维数的向量向量定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1,a2,am，对于任何一组实数对于任何一
5、组实数 k1,k2,km，表达式，表达式k1a1+k2a2+kmam称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合k1,k2,km 称为这个称为这个线性组合的系数线性组合的系数定义：定义：给定向量组给定向量组 A：a1,a2,am 和向量和向量 b，如果存在一组，如果存在一组实数实数 l l1,l l2,l lm，使得，使得b=l l1a1+l l2a2+l lmam则向量则向量 b 是向量组是向量组 A 的线性组合，这时称的线性组合，这时称向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 的线性表示的线性表示线性方程组线性方程组 Ax=b 有解有解例：例：设设 123100,010001Ee
6、e e1002 03 17 0001 123237eee237b 那么那么线性组合的系数线性组合的系数e1,e2,e3的的线性组合线性组合一般地，对于任意的一般地，对于任意的 n 维向量维向量b，必有，必有1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 1000010000100001nE 回顾：线性方程组的表达式回顾：线性方程组的表达式1.一般形式一般形式3.向量方程的形式向量方程的形式2.增广矩阵的形式增广矩阵
7、的形式4.向量组线性组合的形式向量组线性组合的形式12312334521xxxxxx 34151121 12334151121xxx 12334151121xxx 方程组有解？方程组有解？向量向量 是否能用是否能用 线性表示？线性表示？341,112 51 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 1111211221222211221212,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxx ax ax aa aaxaaax1122mmbaaallllll11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaal ll ll l()(,)R A
8、R A b 向量向量b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax=b 有解有解结论：结论：定义：定义：设有向量组设有向量组 A：a1,a2,am 及及 B：b1,b2,bl，若若向量组向量组 B 中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称线性表示，则称向向量组量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个能互相线性表示，则称这两个向量向量组等价组等价 设有向量组设有向量组 A：a1,a2,am 及及 B：b1,b2,bl，若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A
9、 线性表示，即线性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbk ak akabk ak akabk ak ak a 1112221122121212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk 线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵设有向量组设有向量组 A：a1,a2,am 及及 B：b1,b2,bl，若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即n对于对于 b1，存在一组实数，存在一组实数 k11,k21,km1，使得，使得b1=k11a1+k21 a2+km1 am ；n对于对于 b2，存在一组实数，存在一组实数 k12,k2
10、2,km2，使得，使得b2=k12a1+k22 a2+km2 am ；n对于对于 bl，存在一组实数，存在一组实数 k1l,k2l,kml，使得，使得bl =k1l a1+k2l a2+kml am若若 Cmn=Aml Bln，即，即则则 1112121222121212,nnnllllnbbbbbbc cca aabbb 结论：结论：矩阵矩阵 C 的列向量组的列向量组能由矩阵能由矩阵 A 的列向量组的列向量组线性表示，线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllnccc
11、aaabbbcccaaabbbcccaaabbb 若若 Cmn=Aml Bln，即，即111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 则则1112111212222212TTlTTlTTmmmlmlaaarbaaarbaaarb 结论：结论：矩阵矩阵 C 的行向量组的行向量组能由矩阵能由矩阵 B 的行向量组的行向量组线性表示，线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵口诀：左行右列口诀：左行右列定理：定理：设设A是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，对对 A 施行一
12、次施行一次初等行变换初等行变换，相当于在，相当于在 A 的左边的左边乘以相应乘以相应的的 m 阶初等矩阵；阶初等矩阵；对对 A 施行一次施行一次初等列变换初等列变换，相当于在，相当于在 A 的右边的右边乘以相应乘以相应的的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵.结论：结论：若若 C=AB，那么，那么p矩阵矩阵 C 的行向量组的行向量组能由矩阵能由矩阵 B 的行向量组的行向量组线性表示，线性表示，A为为这一线性表示的系数矩阵这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）在左边）p矩阵矩阵 C 的列向量组的列向量组能由矩阵能由矩阵 A 的列向量组的列向量组线性表示，线性表示，B为为这一线性表示的系数矩阵这一线性表示的系
13、数矩阵（B 在右边）在右边）cABA 经过有限次初等经过有限次初等列列变换变成变换变成 B存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵P1,P2,Pl，使，使 AP1 P2,Pl=B存在存在 m 阶阶可逆矩阵可逆矩阵 P，使得，使得 AP=B矩阵矩阵 B 的列向量组的列向量组与矩阵与矩阵 A 的列向量组的列向量组等价等价rAB矩阵矩阵 B 的行向量组的行向量组与矩阵与矩阵 A 的行向量组的行向量组等价等价 同理可得同理可得 口诀：左行右列口诀：左行右列.把把 P 看成看成是是线性表示线性表示的的系数矩阵系数矩阵向量组向量组 B：b1,b2,bl 能由向量组能由向量组 A：a1,a2,am 线性表示线性
14、表示存在矩阵存在矩阵 K，使得，使得 AK=B 矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解有解 R(A)=R(A,B)R(B)R(A)推论：推论：向量组向量组 A：a1,a2,am 及及 B：b1,b2,bl 等价的充分等价的充分必要条件是必要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B)证明：证明：向量组向量组 A 和和 B 等价等价 向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示 向量组向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示从而有从而有R(A)=R(B)=R(A,B)因为因为 R(B)R(A,B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)例：例：设设证明向量证明向量 b 能
15、由向量组能由向量组 a1,a2,a3 线性表示，并求出表示式线性表示，并求出表示式12311111210,21432301aaab 解：解：向量向量 b 能由能由 a1,a2,a3 线性表示当且仅当线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)1111103212100121(,)2143000023010000rA b 因为因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量所以向量 b 能由能由 a1,a2,a3 线性表示线性表示1111103212100121(,)2143000023010000rA b 行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为通解为通解为所以所以 b=(3c+2)a1+(2c
16、1)a2+c a3 13233221xxxx 3232212110cxccc n 阶单位矩阵的列向量叫做阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量设有设有nm 矩阵矩阵 A=(a1,a2,am)，试证：，试证：n 维单位坐标向维单位坐标向量组能由矩阵量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A)=n 分析：分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的列向量组线性表示R(A)=R(A,E)R(A)=n （注意到：（注意到：R(A,E)=n 一定成立）一定成立）小结小结()(,)R AR A b 向量向量 b 能由能由向量组向量组 A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax=b 有解有解()(,)R AR A B 向量组向量组 B 能能由向量组由向量组 A线性表示线性表示矩阵方程组矩阵方程组AX=B 有解有解()()R BR A()()(,)R AR BR A B向量组向量组 A 与与向量组向量组 B等价等价知识结构图知识结构图n维向量维向量向量组向量组向量组与矩阵的对应向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的等价向量组的等价判定定理及必要条件判定定理及必要条件判定定理判定定理
