1、第四章第四章 二维变换和二维观察二维变换和二维观察二维变换内容二维变换内容n图形变换预备知识图形变换预备知识nBasic transformation（基本变换）（基本变换）nMatrix representation（矩阵表示）（矩阵表示）nComposite transformation（复合变换）（复合变换）nOther 2D transformations（其他变换）（其他变换）nTransformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换）（坐标系间的变换）nRaster method of transformation（变换（变换的光栅方法）的
2、光栅方法）4.0 4.0 图形变换预备知识图形变换预备知识n 矢量n矢量和 zyxuuuUzyxvvvVzzyyxxvuvuvuVU4.0.1 矢量和矩阵矢量和矩阵n矢量的数乘 n矢量的点积n性质zyxkukukuUkzzyyxxvuvuvuVUUVVUVUVU000UUUn矢量的长度 n单位矢量 n矢量的夹角n矢量的叉积 222zyxuuuUUUVUVUcoszyxzyxvvvuuukjiVUn矩阵 n 阶矩阵nn阶方阵n零矩阵n行向量与列向量n单位矩阵n矩阵的加法 n矩阵的数乘 n矩阵的乘法 n矩阵的转置 n矩阵的逆 m n矩阵的含义矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个 整体，简称mn矩阵
3、。mnmmnnaaaaaaaaa .21222211 1211A=矩阵运算n加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=n数乘kA=k*aij|i=1.m,j=1,.n .b .b m22111112121111mnmnmmmnnbaababaaban乘法设A为32矩阵，B为23矩阵 C=A B=C=Cmp=Am n Bnp cij=aik*bkjn单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。Am n=Am n In babab abababababababababa322322221221312321221121321322
4、121211311321121111 k=1,nn逆矩阵若矩阵A存在AA-1=A-1A=I，则称A-1为A的逆矩阵n矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn的行和列互换而得到的nm矩阵称为A的转置矩阵,记作AT。(AT)T=A (A+B)T=AT+BT (aA)T =aAT (AB)T =BT AT 当A为n阶矩阵，且A=AT，则 A是对称矩阵。矩阵运算的基本性质n交换律与结合律师 A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+Cn数乘的分配律及结合律 a(A+B)=aA+aB;a(A B)=(aA)B=A(aB)(a+b)A=aA+bA a(bA)=(ab)An矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C
5、)=(A B)C (A+B)C=A C+B C C(A+B)=C A+C Bn矩阵的乘法不适合交换律所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如 普 通 坐 标 系 下 的 点（2,3）变 换 为 齐 次 坐 标 可 以 是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h齐次坐标由齐次坐标h普通坐标 3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐
6、标。4.0.2 齐次坐标齐次坐标(x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线(,)xyhhh0,hhyyhxxhhhzhyyhxxhhh1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（x h,y h,h)，令h等于03.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。4.变换具有统一表示形式的优点n便于变换合成n便于硬件实现齐次坐标的作用图形变换是计算机图形学基础内容之一。几何变换，投影变换，视窗变换线性变
7、换，属性不变，拓扑关系不变。作用：n把用户坐标系与设备坐标系联系起来；n可由简单图形生成复杂图形；n可用二维图形表示三维形体；n动态显示。4.0.3 图形变换图形变换图形的几何变换n图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。n图形变换的两种形式：n1.图形不变，坐标系改变；n2.图形改变，坐标系不变。n我们所讨论的是针对坐标系的改变而讲的。二维变换内容二维变换内容n图形变换预备知识图形变换预备知识nBasic transformation（基本变换）（基本变换）nMatrix representation（矩阵表示）（矩阵表示）nComposite transformation（复
8、合变换）（复合变换）nOther 2D transformations（其他变换）（其他变换）nTransformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换）（坐标系间的变换）nRaster method of transformation（变换（变换的光栅方法）的光栅方法）4.1 Basic Transformations基本变换基本变换nDef.改变改变对象对象坐标描述坐标描述的变换称为几何变换，例如的变换称为几何变换，例如改变对象的方向、尺寸和形状。改变对象的方向、尺寸和形状。nDef.Geometric transformations alter
9、coordinate descriptions of objects,such as changes in orientation,size and shape.nTypesnTranslation平移平移nRotation旋转旋转nScaling变比变比4.1.1 2D 平移平移nTranslation平移平移nDef.图形对象沿直线运动产生的图形对象沿直线运动产生的变换变换nParameters:平移平移向向量量(tx,ty)nFormula:x=x+txy=y+tyxyPPn矩阵表示矩阵表示 x x txP=P=T=y y tyP=P+TxyPP5010050100(-20，20)308
10、070120 xyxyExample4.1.2 2D 旋转旋转nRotation旋转旋转nDef.图形对象沿圆弧路径运动产生的变换图形对象沿圆弧路径运动产生的变换nParametersn基准点基准点(pivot)(pivot)，坐标原点或任意点，坐标原点或任意点n旋转角旋转角n方向方向,约定：约定：逆时针逆时针为正为正xy(x,y)(x,y)rxy(x,y)(x,y)r(Xr,Yr)绕原点旋转绕原点旋转绕任意点旋转绕任意点旋转nFormula 针对坐标原点针对坐标原点x=x*cos-y*sin y=x*sin+y*cosn 如何得到上述公式如何得到上述公式?n 针对任意点针对任意点(xr,yr
11、)旋转的计算公式旋转的计算公式?xyPP x=r*cos(+)=r*(cos*cos-sin*sin)=rcos*cos-rsin*sin=x*cos-y*sin y=r*sin(+)=r*(cos*sin+sin*cos)=rcos*sin+rsin*cos=x*sin+y*cosn矩阵表示矩阵表示 x x cos-sin P=P=R=y y sin cos P=R Pxy旋转也是一种不产生变形而移动对象的刚体变换。nScaling变比变比nDef.改变改变图形对象大小的变换图形对象大小的变换nParameters:变比因子变比因子(Sx,Sy),基准点，方向基准点，方向nFormula:针
12、对坐标原点针对坐标原点 针对固定参考点针对固定参考点(xf,yf)x=x*Sxx=xf+(x-xf)*Sxy=y*Sy y=yf+(y-yf)*Sy4.1.3 2D 变比（缩放）变比（缩放）n矩阵表示矩阵表示 x x sx 0 P=P=S=y y 0 sy P=S P11(2，1)12xyxy1Example2D变比变比讨论讨论n如果|Sx|或|Sy|大于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向放大；n如果|Sx|或|Sy|小于1，则表示图形在X轴方向或Y轴方向缩小；n如果|Sx|=|Sy|，则表示均匀缩放；n如果|Sx|Sy|，则表示差值缩放；n如果|Sx|或|Sy|等于1，则表示图形在X轴方向或
13、Y轴方向不变；n如果Sx或Sy小于零，则表示图形在X轴方向或Y轴方向作镜面变换。二维变换内容二维变换内容n图形变换预备知识图形变换预备知识nBasic transformation（基本变换）（基本变换）nMatrix representation（矩阵表示）（矩阵表示）nComposite transformation（复合变换）（复合变换）nOther 2D transformations（其他变换）（其他变换）nTransformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换）（坐标系间的变换）nRaster method of transformati
14、on（变换（变换的光栅方法）的光栅方法）4.2 2D 矩阵表示矩阵表示 n在图形系统中，矩阵式实现变换的标准方法。在图形系统中，矩阵式实现变换的标准方法。nP P =P+T(=P+T(平移平移););nP P =R=RP(P(旋转旋转););nP P =S=SP P(变比变比););n对于平移、旋转和缩放变换，每个基本的变换都可表示为对于平移、旋转和缩放变换，每个基本的变换都可表示为普通距阵形式：普通距阵形式：P=M1*P+M2 采用齐次坐标采用齐次坐标(xh,yh,h)表示每个表示每个2D坐标位置坐标位置(x,y)齐次坐标表示就是用齐次坐标表示就是用n+1维向量表示维向量表示n维向量。维向量
15、。P=M*P4.2 2D 矩阵表示矩阵表示 nPoint(x,y)-(xh,yh,h)-(x,y,1)Tn2D graph-3xnn基本变换参数基本变换参数-3x3n2D 图形变换坐标计算：图形变换坐标计算：P最终坐标最终坐标 =M变换矩阵变换矩阵*P原坐标原坐标n平移变换平移变换 x 1 0 tx xy=0 1 ty y 1 0 0 1 1 P=T(tx,ty)*P 举例n旋转变换旋转变换 x cos-sin 0 x y=sin cos 0 y 1 0 0 1 1 P=R()*P 举例n变比变换变比变换 x sx 0 0 xy=0 sy 0 y 1 0 0 1 1 P=S(sx,sy)*P
16、注意：上述三种都是针对坐标原点和X/Y轴方向的。举例nBasic transformation（基本变换）（基本变换）nMatrix representation（矩阵表示）（矩阵表示）nComposite transformation（复合变换）（复合变换）nOther 2D transformations（其他变换）（其他变换）nTransformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换）（坐标系间的变换）nRaster method of transformation（变换（变换的光栅方法）的光栅方法）二维变换内容二维变换内容4.3 复合复合变换变
17、换 n进行一次以上的基本变换进行一次以上的基本变换 复合变换复合变换n利用矩阵表示，就可通过计算单个变换的矩阵利用矩阵表示，就可通过计算单个变换的矩阵乘积，将任意顺序变换的矩阵建立为乘积，将任意顺序变换的矩阵建立为组合变换组合变换矩阵矩阵。n形成变换矩阵的乘积被称为矩阵的合并形成变换矩阵的乘积被称为矩阵的合并(concatenation)或复合或复合(composition)4.3 复合复合变换变换 nTranslations 连续连续平移平移nRotations 连续连续旋转旋转nScalings 连续连续变比变比nGeneral pivot-point transformations 通用
18、基准点的变换通用基准点的变换nGeneral Directions transformations 通用方向的变换通用方向的变换4.3.1 Translations 连续连续平移平移 nn个连续的平移向量个连续的平移向量(tx1,ty1),(tx2,ty2),(txn,tyn)被用被用于点于点P，那么最后的点坐标可计算为，那么最后的点坐标可计算为 P=T(txn,tyn)*T(tx2,ty2)*T(tx1,ty1)P =T(txn,tyn)*T(tx2,ty2)*T(tx1,ty1)P n计算时，可先计算两个平移变换矩阵的乘积计算时，可先计算两个平移变换矩阵的乘积 T(tx2,ty2)T(tx
19、1,ty1)=T(tx2+tx1,ty2+ty1)n连续平移是可加的连续平移是可加的n平移变换平移变换 x 1 0 tx 1 0 tx1y=0 1 ty 0 1 ty1*P 1 0 0 1 0 0 1 1 0 tx+tx1 P=0 1 ty+ty1*P0 01举例4.3.2 Rotations 连续连续旋转旋转 n应用于点应用于点P的的n个连续旋转个连续旋转(1),(2).(n)，得到，得到的点的点P的坐标可计算为的坐标可计算为 P=R(n)*R(2)R(1)P =R(n)*R(2)R(1)P nR(2)R(1)=R(1+2)则则P的坐标可计算为的坐标可计算为 P=R(1+2)Pn连续旋转是可
20、加的连续旋转是可加的.自己推导。自己推导。举例4.3.3 Scalings 连续连续变比变比 nn个连续缩放操作个连续缩放操作S(sx1,sy1),S(sx2,sy2),S(sxn,syn)的变换距阵连接，产生的组合变换距阵的变换距阵连接，产生的组合变换距阵 P=S(sxn,syn)*S(sx2,sy2)*S(sx1,sy1)*Pn S(sx2,sy2)*S(sx1,sy1)=S(sx1*sx2,sy1*sy1)n连续缩放操作是相乘的连续缩放操作是相乘的，非叠加的，非叠加的，自己推导自己推导。n前三个基本变换是针对原点和前三个基本变换是针对原点和X,Y轴的。轴的。举例4.3.4 通用基准点通用
21、基准点变换变换nSolutionn平移使基准点移动到坐标原点平移使基准点移动到坐标原点(T)n针对原点做指定变换针对原点做指定变换(M)n反向平移使基准点回到原始位置反向平移使基准点回到原始位置(T-1)nExamplesExample1 针对固定点变比针对固定点变比 xy(xf,yf)yxxyxy 1 0 xf 0 1 yf 0 0 1 sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 1 0-xf 0 1-yf 0 0 1Example2 针对固定点旋转针对固定点旋转 1 0 xf 0 1 yf 0 0 1xy(xf,yf)yx cos-sin 0 sin cos 0 0 0 1 1 0-xf 0
22、1-yf 0 0 1xyxy4.3.5 通用方向变换通用方向变换nSolutionn旋转对象使任意方向与坐标轴方向重合旋转对象使任意方向与坐标轴方向重合n针对坐标轴方向做指定变换针对坐标轴方向做指定变换n反向旋转使任意方向回到原方向反向旋转使任意方向回到原方向nExamplexyS2S1Example cos-45 sin-45 0Sin-45 cos-45 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1xyS2S1xy11S1=1,S2=2=45x11ycos45-sin45 0sin45 cos45 0 0 0 1 3/2 1/2 0 1/2 3/2 0 0 0 1M=0 3/2 2
23、1/2 0 1/2 2 3/2 1 1 1 1P=M*0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1=x rsxx rsxy trsx xy=rsyx rsyy trsy y 1 0 0 1 1 4.3.6 通用复合变换矩阵通用复合变换矩阵nBasic transformation（基本变换）（基本变换）nMatrix representation（矩阵表示）（矩阵表示）nComposite transformation（复合变换）（复合变换）nOther 2D transformations（其他变换）（其他变换）nTransformation between Coordinate Syst
24、ems（坐标系间的变换）（坐标系间的变换）nRaster method of transformation（变换（变换的光栅方法）的光栅方法）二维变换内容二维变换内容4.4 2D 其他变换其他变换 nReflections反射反射(对称对称)nReflection about x-axis X轴反射轴反射nReflection about y-axis Y轴反射轴反射nReflection about(0,0)原点反射原点反射nReflection about x=y 45度线反射度线反射nShearing错切错切nshearing in x X方向错切方向错切nshearing in y Y
25、方向错切方向错切4.4.1 Reflection反射反射about x-axis 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 yx123231X轴坐标不变Y轴坐标变反about y-axis -1 0 0 0 1 0 0 0 1 xy123132Y轴坐标不变X轴坐标变反about(0,0)-1 0 0 0 -1 0 0 0 1 xy123132X轴坐标变反Y轴坐标变反绕原点旋转180About x=y 0 1 0 1 0 0 0 0 1 xyy=x1212X,Y坐标互换位置举例4.4.2 shearing错切错切(X/Y方向的拉伸方向的拉伸)1 SHx 0 0 1 0 0 0 1 xy112 3(2
26、,1)(3,1)xy11SHx=2(1,1)1 0 0 SHy 1 0 0 0 1 xy11232(1,3)(1,2)xy11SHy=2(1,1)举例二维变换内容二维变换内容nBasic transformation（基本变换）（基本变换）nMatrix representation（矩阵表示）（矩阵表示）nComposite transformation（复合变换）（复合变换）nOther 2D transformations（其他变换）（其他变换）nTransformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换）（坐标系间的变换）nRaster meth
27、od of transformation（变换（变换的光栅方法）的光栅方法）4.5 坐标系间的变换坐标系间的变换xyxyx0y0 平移平移(x0,y0)到到(0,0)旋转旋转 轴轴x使与使与x轴重合轴重合M=R(-)*T(-x0,-y0)xyxyx0y0 y方向的单位矢量方向的单位矢量v=V/|V|=(vx,vy)V顺旋顺旋90度获得度获得x的的单位矢量单位矢量u=(vy,-vx)=(ux,uy)ux uy 0R=vx vy 0 0 0 1V二维变换内容二维变换内容nBasic transformation（基本变换）（基本变换）nMatrix representation（矩阵表示）（矩阵表
28、示）nComposite transformation（复合变换）（复合变换）nOther 2D transformations（其他变换）（其他变换）nTransformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换）（坐标系间的变换）nRaster method of transformation（变换（变换的光栅方法）的光栅方法）光栅系统的特殊能力为变换物体提供另一种方法。光栅系统的特殊能力为变换物体提供另一种方法。n光栅系统将图像信息作为像素样式存储在帧缓冲器中。一光栅系统将图像信息作为像素样式存储在帧缓冲器中。一些简单的变换可通过简单地将储存的像素值
29、的长方形数组些简单的变换可通过简单地将储存的像素值的长方形数组在帧缓冲器内从一个位置移到另一个位置而快速地执行，在帧缓冲器内从一个位置移到另一个位置而快速地执行，仅需很少的算术操作，因此像素变换特别有效仅需很少的算术操作，因此像素变换特别有效 n操纵长方形像素数组的光栅功能通常称为光栅操作，将一操纵长方形像素数组的光栅功能通常称为光栅操作，将一块像素从一个位置移到另一位置称为像素的块移动。在二块像素从一个位置移到另一位置称为像素的块移动。在二值系统中，这个操作称为位块移动值系统中，这个操作称为位块移动(bitBlt Bit Block Transfer)4.6 变换的光栅变换的光栅方法方法Tr
30、anslate将像素块直接复制到显示将像素块直接复制到显示缓冲区的新位置上缓冲区的新位置上1 2 34 5 67 8 910 11 123 6 9 122 5 8 111 4 7 1012 11 109 8 76 5 43 2 1originalR(90)R(180)Rotation 90度整数倍旋转通过操度整数倍旋转通过操纵像素块中像素所在的行纵像素块中像素所在的行列位置实现；而非列位置实现；而非90度整度整数倍的旋转，需要更多的数倍的旋转，需要更多的计算。计算。Scaling 通过缩放原始像素区通过缩放原始像素区域并映射到一组目标像域并映射到一组目标像素区域上，然后根据两素区域上，然后根据
31、两个区域的重叠情况设置个区域的重叠情况设置目标像素的亮度目标像素的亮度8x6 Sx=Sy=0.5二维变换内容二维变换内容nBasic transformation（基本变换）（基本变换）nMatrix representation（矩阵表示）（矩阵表示）nComposite transformation（复合变换）（复合变换）nOther 2D transformations（其他变换）（其他变换）nTransformation between Coordinate Systems（坐标系间的变换）（坐标系间的变换）nRaster method of transformation（变换（变换的
32、光栅方法）的光栅方法）二维观察内容二维观察内容n2D Viewing Pipeline（二维观察流程）（二维观察流程）nClipping WindownViewportn2D Clipping（二维裁剪，已讲授）（二维裁剪，已讲授）nPoint clippingnLine clippingnArea clippingnText clipping4.7 2D Viewing PipelinenDef.常规图形系统中，世界坐标系中指定的用于常规图形系统中，世界坐标系中指定的用于显示的坐标区域显示的坐标区域-裁剪窗口裁剪窗口(clipping window)或或窗口窗口(window)nDef.显示
33、设备上用于窗口映射的坐标区域显示设备上用于窗口映射的坐标区域-视视区、视口区、视口(viewport)。nDef.通常，世界坐标系中部分场景映射到设备坐通常，世界坐标系中部分场景映射到设备坐标系的过程标系的过程-观察观察(视图、视像视图、视像)变换变换。n世界坐标系世界坐标系(World Coordinates)图形定义时所采用的坐标系，坐标的大小和尺寸图形定义时所采用的坐标系，坐标的大小和尺寸由用户确定。由用户确定。n设备坐标系设备坐标系(Device Coordinates)与一个图形设备相关的坐标系叫设备坐标系。如与一个图形设备相关的坐标系叫设备坐标系。如显示器或打印机有它们自己的坐标系
34、。显示器或打印机有它们自己的坐标系。n规范化坐标系规范化坐标系(Normalized Coordinates)它是独立于具体物理设备的一种坐标系，其显示它是独立于具体物理设备的一种坐标系，其显示空间在空间在X和和Y方向上都是从方向上都是从0到到1坐标系坐标系设备坐标系设备坐标系xyv1v2v3v4视口视口xyw1w2w3w4窗口窗口世界坐标系世界坐标系111绘图仪绘图仪其他输出设备其他输出设备建模坐标建模坐标世界坐标世界坐标规范化坐标规范化坐标设备坐标设备坐标窗口窗口-视口变换视口变换xyw1w2w3w4窗口窗口(xw,yw)xyv1v2v3v4视口视口(xv,yv)保持视口与窗口中的对象具有
35、同样的相对位置，保持视口与窗口中的对象具有同样的相对位置，必须满足必须满足 (Xw-W1)/(W2-W1)=(Xv-V1)/(V2-V1)(Yw-W3)/(W4-W3)=(Yv-V3)/(V4-V3)窗口窗口-视口变换视口变换 Xv=SxXw+tx Yv=SyYw+ty缩放系数缩放系数 Sx=(V2-V1)/(W2-W1)Sy=(V4-V3)/(W4-W3)平移参数平移参数 tx=(W2*V1-W1*V2)/(W2-W1)ty=(W4*V3-W3*V4)/(W4-W3)n已知已知w1=10,w2=20,w3=40,w4=80,v1=80,v2=110,v3=10,v4=130,窗口中窗口中一点
36、一点P(15，60)，求视区中的映射点，求视区中的映射点P?n解：解：(15-10)/(20-10)=(xv-80)/(110-80)(60-40)/(80-40)=(yv-10)/(130-10)n xv=95,yv=70Example二维观察内容二维观察内容n2D Viewing Pipeline（二维观察流程）（二维观察流程）nClipping WindownViewportn2D Clipping（二维裁剪，已讲授）（二维裁剪，已讲授）nPoint clippingnLine clippingnArea clippingnText clipping例1：复合平移n求点P(x,y)经第一
37、次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*,y*）n解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x y 1)，则n经第二次平移变换后的坐标为P*(x*y*1)变换矩阵为Tt=Tt1Tt21111101000111tyxTyxTTyxyxP212211221101000110100011101000111*ttyxyxyxTTyxTTTTyxTTyxyxP例2：多种复合组合n例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。n解:设点(x,y)为线段上的任意一点,点(x,y)为点(x,y)放大后的坐标则:x,y,1=x,y,1
38、 S2(2,2)设点(x,y)为点(x,y)经平移后的坐标为：x,y,1=x,y,1T2(10,0)则：x,y,1=x,y,1T2(10,0)=x,y,1S2(2,2)T2(10,0)令：M=S2(2,2)T2(10,0)，则M即为组合变换yx(x,y)yx(x,y)yx(x,y)Tx例3：旋转变换n对参考点F(xf,yf)做旋转变换。n解：n1、把旋转中心F(xf,yf)平移至坐标原点，即坐标系平移（-xf,-yf），则n2、进行旋转变换n ffffyxTyxyxyxyx110100011111 Tyxyxyx11000cossin0sincos11221122例3：旋转变换n 将坐标系平移
39、回原来的原点n因此ffffyxTyxyxyxyx1101000111*2222ffffyxTyxyxyxyx1101000111*2222n平移物体使固定点与坐标原点重合n对于坐标原点缩放n用步骤1的反向平移将物体移回原始位置例4：通用固定点缩放例5（通用定向缩放）n比例变换中的比例因子Sx,Sy只能在x轴方向或y轴方向起作用。实际图形变换中，不仅是在x,y方向变换，往往要求在任意方向进行比例变换。通过旋转变换和比例变换的组合，可以实现任意方向的比例变换。n解：定义比例因子S1和S2。n1.使S1和S2旋转角后分别与x轴和y轴重合。n2.进行比例变换。n3.使S1和S2旋转-角，返回原始位置。n 例7：任意的反射轴的反射变换n任一图形关于任意的反射轴y=a+bx的反射变换 n解：1.将坐标原点平移到(0,a)处100100011aT例7：任意的反射轴的反射变换n2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向旋转角，使之与x轴重合 n3.图形关于x轴的反射变换 n4.将反射轴逆时针旋转角1000cossin0sincosR 1000cossin0sincosR1000100012T例7：任意的反射轴的反射变换n5.恢复反射轴的原始位置n因此n 100100013aT 321TRTRTT作业作业 4
