1、推广推广第九章第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同多元函数微分学多元函数微分学 下页一、平面点集 n维空间二、多元函数概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 下页 第九章 第一节第一节多元函数的基本概念多元函数的基本概念 提示：一、平面点集 n维空间 下页1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集记作 E(x y)|(x y)具有性质P 集合R2RR(x y)|x yR表示坐标平面 一、平面点集 n维空间 下页1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集记作 E(x y)|
2、(x y)具有性质P 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C(x y)|x2y2r2 或CP|OP|r 其中P表示坐标为(x y)的点|OP|表示点P到原点O的距离 注：设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的邻域记为U(P0)它是如下点集 v邻域|),(00PPPPU 或 )()(|),(),(20200yyxxyxPU 点 P0的去心邻域 记作),(0PU 即|0|),(00PPPPU 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的某个去心邻域记作 )(0PU下页下页 任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系
3、中的一种 v点与点集之间的关系 内点 如果存在点P的某一邻域U(P)使得U(P)E 则称P为E的内点 外点 如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)E 则称P为E的外点 边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点边界点内点外点提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？E的边界点的全体 称为E的边界 记作E v聚点 如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域),(PU内总 有E中的点 则称P是E的聚点 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 例如 设平面点集 E(x y)|1x2y22 满足1x2y22的一切点(x y)都是E的内点 满足x2y21
4、的一切点(x y)都是E的边界点 它们都不属于E 满足x2y22的一切点(x y)也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的边界E上的一切点都是E的聚点 下页Ev开集 如果点集E的点都是内点 则称E为开集 下页v闭集 如果点集的余集Ec为开集 则称E为闭集 举例 点集E(x y)|1x2y20 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x y)|x2y21 举例 下页222222yxazyxaz和 zaxbycv二元函数的图形 点集(x y z)|zf(x y)(x y)D称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 zaxbyc表示一张平面 举例 方程x2y2z2a2确定两
5、个二元函数分别表示上半球面和下半球面 其定义域均为D(x y)|x2y2a2首页下页三、多元函数的极限v二重极限的定义 下页 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数e总存在正数 使得当),(),(0PUDyxP时 都有|f(P)A|f(x y)A|e成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或 f(x y)A(x y)(x0 y0)APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0)也记作 注 上述定义的极限也称为二重极限 二重极限概念可以推广到多元函数
6、的极限 三、多元函数的极限v二重极限的定义 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数e总存在正数 使得当),(),(0PUDyxP时 都有|f(P)A|f(x y)A|e成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或 f(x y)A(x y)(x0 y0)APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0)也记作 下页 证明 因为 下页 例1 例 4 设22221sin)(),(yxyxyxf 求证0),(lim)0,0(),(yxfyx 222222|01
7、sin)(|0),(|yxyxyxyxf 可见e 0 取e 则当 22)0()0(0yx 即),(),(OUDyxP时 总有|f(x y)0|e 所以0),(lim)0,0(),(yxfyx v必须注意 (1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论 下页 函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在点(0 0)有无极限？（见P.8）v多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 解 例2 例 5 求xxyyx)sin(lim)2,0(),(yxyxyxxyyxyx)sin(li
8、m)sin(lim)2,0(),()2,0(),(221lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(yxyxyyxyxyxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(221lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(yxyxyyxyx 下页),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 四、多元函数的连续性v二元函数连续性定义 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去 下页 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚点 且P0D 如果则称函数f(x y)在点P0(x0 y0)连续
9、如果函数f(x y)在D的每一点都连续 那么就称函数f(x y)在D上连续 或者称f(x y)是D上的连续函数 不连续的情形：不连续的情形：无定义 不存在 存在，但不为0()()f M()0lim()MMf M()0lim()MMf M0()f M所以f(x y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续 例3 设f(x,y)sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数 证 对于任意的P0(x0 y0)R2 因为 类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的),(sinsinlim)
10、,(lim000),(),(),(),(0000yxfxxyxfyxyxyxyx 下页有洞曲面有缝曲面 设函数f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果函数f(x y)在点P0不连续 则称P0为函数f(x y)的间断点 v函数的间断点 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf的间断点为 O(0 0)函数11sin22yxz的间断点为曲线 x2y21 上的点 间断点举例 下页提示 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的v
11、多元初等函数的连续性 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的 提示 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 下页v根据连续性求极限 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则)()(lim00PfPfPP 例 7 求xyyxyx)2,1(),(lim 例4 解 函数xyyxyxf),(是初等函数 它的定义域为 解 因为P0(1 2)为D的内点 所以 D(x y)|x0 y0 23)2 ,1(),(lim)2,1(),(fyxfyx23)2 ,1(),(lim)2,1(),(fyxf
12、yx 下页v根据连续性求极限 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则)()(lim00PfPfPP 例 8 求xyxyyx11lim)0 ,0(),(例5 解)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(xyxyxyxyxyxyyxyx21111lim)0 ,0(),(xyyx )11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(xyxyxyxyxyxyyxyx 下页注性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值v多元连续函数的性质 根据性质1 若f(P)在
13、有界闭区域D上连续 则必定存在常数M0 使得对一切PD 有|f(P)|M 且存在P1、P2D 使得 f(P1)maxf(P)|PD f(P2)minf(P)|PD 性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值 下页内容小结内容小结1.区域 邻域:,),(0PU),(0PU 区域连通的开集 空间nR2.多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR下页APfPP)(lim0,0,0 时，当00 PP有)(APf3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续下页 作业作业P58 1，3，5 1，3，5 6 1，3 7结束
