1、第三节第三节 函数的函数的连续性连续性一、函数的连续性一、函数的连续性二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、函数的间断点三、函数的间断点四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质五、内容小结五、内容小结1一、函数的连续性一、函数的连续性1.1.函数的增量函数的增量0000()(,),(,),.f xN xxN xxxxx 设设函函数数在在内内有有定定义义称称为为自自变变量量在在点点的的增增量量0()(),().yf xf xf xx称称为为函函数数相相对对于于的的增增量量xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xx0 xx y y)(xfy 22.2.连续的定义连续的定
2、义0,xxx 设设),()(0 xfxfy 00,xxx 就就是是0()()0.f xf xy 就就是是3 显然这两个定义是等价的.讨论分段函数在分界点处的连续性时,通常用定义1.4例例1 1.0,0,2,0,2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解00lim()lim(2)xxf xx2 00lim()lim(2)xxf xx又又2 .0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf()0(0)2.f xxf 在在及及其其近近旁旁有有且且定定义义,0lim()xf x不不存存在在.5例例2 2.0,0,0,0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxx
3、xxf证证001lim()limsinxxf xxx 又又由定义由定义1知知,.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf0lim()(0)0,xf xf()0(0)0,f xxf在在及及其其近近旁旁有有定定义义,且且 0,63.3.单侧连续定义单侧连续定义(定义定义2)2)0000()(,lim()(),();xxf xa xf xf xf xx 若若函函数数在在内内有有定定义义 且且则则称称在在点点 处处左左连连续续定理定理00()().f xxf xx函函数数在在处处是是连连续续的的函函数数在在处处既既左左连连续续又又右右连连续续0000(),),lim()(),().xxf xx bf x
4、f xf xx 若若函函数数在在内内有有定定义义 且且则则称称在在点点 处处右右连连续续7例例3 3.0,0,2,0,2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f f(x)在在 x=0 处右连续但不左连续处右连续但不左连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf()0(0)2.f xxf 在在及及其其近近旁旁有有且且定定义义,84.4.连续函数与连续区间的定义连续函数与连续区间的定义(定义定义3)3)在区间内每一点都连续的函数在区间内每一点都连续的函数,叫做
5、在该区间叫做在该区间内的内的连续函数连续函数,或者说函数在或者说函数在该区间内该区间内连续连续.(,),().,a bxaxbfbxa 如如果果函函数数在在开开区区间间内内连连续续 并并且且在在左左端端点点处处右右连连续续在在右右端端点点处处左左连连续续 则则称称闭闭区区间间数数在在上上函函连连续续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间9连续函数的运算连续函数的运算定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数x
6、xgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx1.1.基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性102 2、反函数与复合函数的连续性、反函数与复合函数的连续性 定理定理 严格单调的连续函数必有严格单调严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数的连续反函数.例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1,1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xyarccos 1,1;yx 同同理理在在上上单单调调减减少少且且连连续续yarctanx
7、,yarccot x,).在在(内内单单调调且且连连续续即反三角函数在其定义域内皆连续即反三角函数在其定义域内皆连续.1100000(),(),(),().uxxxxuyf uuuyfxxx 设设函函数数在在点点连连续续 且且而而函函数数在在点点连连续续则则复复合合函函数数在在点点也也连连续续定理定理000lim(),(),lim ()()lim().xuf uufxf ufx 若若函函数数在在点点连连续续则则有有定理定理00000lim(),lim()lim()lim().xxuuxxuuxuf uAfxf uA 若若则则有有推论推论1 10 xxx 以以上上定定理理中中的的换换成成等等结结
8、论论也也成成立立12例如例如,),0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.),0()0,(1sin内连续内连续在在 xy例例4 42111xxlimln.x 求求2111xxln limx 原式2ln.解解1(1)xln lim x22121xxlimarcsinx 又又如如:求求22112126xxarcsin limarcsin.x 13二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1,0(aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1,0(log a
9、axya对数函数对数函数;),0(内单调且连续内单调且连续在在14定理定理 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.yx lnxe ,uye ln.ux (0,)yx 在在内内连连续续;,讨讨论论 不不同同值值均在其定义域内连续均在其定义域内连续.定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.注注:定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.yx 15 注意注意1.1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;例如例如,1cos xy,4,2,0:xD
10、这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义,即在定义域内不连续即在定义域内不连续.,)1(32 xxy01,).D 在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义,所以函数在所以函数在0 0点处不连点处不连续续,但但1,).函函数数在在定定义义区区间间上上连连续续注意注意2.2.初等函数定义区间内求极限的方法初等函数定义区间内求极限的方法:代入法代入法.16例例5 5.1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式.1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20.0)()()(lim
11、000定定义义区区间间 xxfxfxx17000(),(),()().f xxf xxxf x定定义义4 4 设设函函数数在在的的某某一一个个去去心心邻邻域域内内有有定定义义且且函函数数在在点点处处不不连连续续则则称称点点为为函函数数的的点点 或或不不连连续续点点间间断断三、函数的间断点三、函数的间断点0(),:xf x为为函函数数的的间间断断点点至至少少属属于于下下列列三三种种情情形形之之一一0(1)();f xx在在处处无无定定义义0(2)lim();xxf x不不存存在在00(3)lim()().xxf xf x 181.1.跳跃间断点跳跃间断点0000(),()(),().f xxf
12、xf xxf x 如如果果在在点点处处左左 右右极极限限都都存存在在 但但则则称称点点为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点例例6 6.0,0,1,0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解00lim()lim()0,xxf xx(0)(0),ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy00lim()lim(1)1,xxf xx192.2.可去间断点可去间断点00000(),lim()(),()().xxf xxf xAf xf xxxf x 如如果果在在点点处处的的极极限限存存在在但但或或在在点点处处无无定定义义,则则称称点点为为函函数数的的可可去去间间断断
13、点点例例7 7.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 20解解,1)1(f11lim()lim 22,xxf xx2)(lim1 xfx),1(f 1.x 是是函函数数的的可可去去间间断断点点注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.11lim()lim(1)2,xxf xx21如例如例7 7中中,2)1(f令令.1,1,1,10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称
14、为第一类间断点第一类间断点,它们的特点是它们的特点是:0.x函函数数在在点点处处的的左左、右右极极限限都都存存在在oxy112223.3.第二类间断点第二类间断点00 (.),()f xxxf x如如果果在在点点处处的的左左、右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存 在在 则则称称点点为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点例例8 8.0,0,0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy00lim()lim0,xxf xx .1x 为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点.无无穷穷这这种种情情况况为为间间断断点点称称001lim()lim,xxf xx 23例例
15、9 9.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx0.x第第二二类类间间断断点点为为.振振荡荡这这种种情情况况为为间间断断点点称称注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.24 ,0,1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域 R 内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间断且都是第二类间断点点.,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在 x=0
16、处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.25 ,1,1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxfo2x3xyx xfy 1x 在定义域在定义域 R 内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对但其绝对值值|f(x)|在在R 内处处连续内处处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:26例例1010.0,0,0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 ,1)(lim)(lim00 xaxfxx ,a,)0(af 00lim()lim()(0),xxf xf xf要要使使,1时时故当且仅当故当且
17、仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf1,a 27第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 x可去型可去型oyx0 x间断点的分类小结间断点的分类小结:281.1.有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理定义定义:.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在,2max y;1mi
18、n y,),0(上上在在.1minmax yy,sin1xy ,2,0上上在在;0min y,1max y四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质29定理定理(最值定理最值定理)闭区间上的连续函数必能取闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值到最大值和最小值.ab2 1 xyo)(xfy 1212(),()(),()().f xa ba bxa bff xff x 若若在在上上连连续续 则则使使得得有有注意注意:1.1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.30 xyo)(xfy 211x
19、yo2)(xfy 定理定理(有界性定理有界性定理)闭区间上的连续函数一定在闭区间上的连续函数一定在该区间上有界该区间上有界.证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxf312.2.介值定理与根的存在定理介值定理与根的存在定理(),(),().f xa bcf xMmyf xyc 设设函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续是是介介于于的的最最大大值值和和最最小小值值之之间间的的任任一一个个值值 则则连连续续曲曲线线弧弧与与水水平平直直线线 至至少少有有一一个个交交点点几何解释几何解释:
20、32定义定义:000()0,().xfxxfx 如如果果使使则则称称为为函函数数的的零零值值点点几何解释如下几何解释如下:即方程即方程 f(x)=0 在在(a,b)内至少存在一个实根。内至少存在一个实根。33a3 2 1.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy bxyo)(xfy 例例1111.)1,0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证,14)(23 xxxf令令,1,0)(上连续上连续在在则则xf,01)0(f又又,02)1(f由根的存在定理由根的存在定理
21、,(0,1),使使,0)(f,01423 即即.)1,0(01423 内内至至少少有有一一根根在在方方程程 xx34例例1212.)(),(.)(,)(,)(fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而,0 由根的存在定理由根的存在定理,使使),(ba ,0)()(fFbbfbF )()(,0.)(f即即351.函数的连续性部分内容小结：函数的连续性部分内容小结：（1 1）函数在一点连续必须同时满足的三个条件）函数在一点连续必须同时满足的三个条件;（3 3）间断点的分类
22、与判别）间断点的分类与判别;（2 2）区间上的连续函数的定义）区间上的连续函数的定义;第一类间断点第一类间断点:跳跃型跳跃型,可去型可去型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点五、内容小结五、内容小结362.连续函数的运算部分内容小结连续函数的运算部分内容小结:(1)(1)连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.(3)(3)复合函数的连续性复合函数的连续性.(4)(4)初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;定义区间内求极限的又一种方法定义区间内求极限的又一种方法.定理定理3;3;定理定理4 4及推论及推论1
23、1(2)(2)反函数的连续性反函数的连续性.373.闭区间上连续函数的性质部分内容小结：闭区间上连续函数的性质部分内容小结：四个结论：四个结论：最值定理最值定理;有界性定理有界性定理;介值定理介值定理;根的存在定理根的存在定理.注意注意闭区间、连续函数两条件要求同时满足。闭区间、连续函数两条件要求同时满足。这两条件不都满足时这两条件不都满足时,上述定理不一定成立上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用根的存在定再利用根的存在定理理;38思考题一思考题
24、一下述命题是否正确？下述命题是否正确？39思考题一解答思考题一解答不正确不正确.例如，函数例如，函数 0,210,)(xxexf)(xf在在)1,0(内连续内连续,(0)(1)20.ffe 但但)(xf在在)1,0(内内无无零零点点.40思考题二思考题二41思考题二解答思考题二解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx)()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故|)(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.42但反之不成立但反之不成立.例例 0,10,1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但|)(|xf、)(2xf在在00 x连连续续43练练 习习 题题4445练习题答案练习题答案4647
