1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限目录 上页 下页 返回 结束 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”目录 上页 下页 返回 结束 v 引例引例割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不
2、可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽目录 上页 下页 返回 结束 R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 边形的面积边形的面积16 2n nA123,nA A AA“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”无限接近无限接近S（圆的真实面积）（圆的真实面积）目录 上页 下页 返回 结束 v数列的概念数列的概念如果按照某一法则如果按照某一法则,对每一对每一nN ，对应着一个对应着一个确定的实数确定的实数nx，则得到一个序列则得到一个序列123,nxxxx这一序列称为数列这一序列称为数列,记为记为nx，第第 项项nn
3、x叫做数列叫做数列的通项（一般项）的通项（一般项）.数列举例数列举例:(),.nxf nnN 注：注：2n，4 4，8 8，2 2，；111 111),n ，(-；数列数列 可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数 的函数的函数:nxn目录 上页 下页 返回 结束 v数列的概念数列的概念如果按照某一法则如果按照某一法则,对每一对每一nN ，对应着一个对应着一个确定的实数确定的实数nx，则得到一个序列则得到一个序列123,nxxxx这一序列称为数列这一序列称为数列,记为记为nx，第第 项项nnx叫做数列叫做数列的一般项的一般项.x1x5x4x3x2xn 数列的几何意义数列的几何意义123,.
4、nxxxx次位于数轴上的点次位于数轴上的点 数列数列 可以看作数轴上的一个动点可以看作数轴上的一个动点,它依它依次次nx，目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列
5、的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势
6、。目录 上页 下页 返回 结束 当当n无限增大时，无限增大时，1(1)1nn 无限接近于无限接近于1.v数列的极限数列的极限1(1)1nn 观察数列观察数列的变化趋势。的变化趋势。目录 上页 下页 返回 结束 例如例如v数列极限的通俗定义数列极限的通俗定义问题问题:如何用数学语言刻画它？如何用数学语言刻画它？()nxan 12n0,1(1)1nn1,当当n无限增大时，无限增大时，如果数列如果数列nx的一般项的一般项nx无限无限接近于常数接近于常数，a则称常数则称常数a是数列是数列 nx的极限的极限 或者或者称称记为记为n 1(1)趋势不定趋势不定 nx收敛于收敛于a，数列数列“当当n无限增大时
7、，无限增大时，nx无限接近于无限接近于.a”是什是什么么意思？意思？目录 上页 下页 返回 结束 分析分析 当当n无限增大时，无限增大时，nx无限接近于无限接近于.a|nxa无限接近于无限接近于0.|nxa能任意小能任意小,要多小就能多小要多小就能多小.任意给定一个正数任意给定一个正数(无论多么小无论多么小)，当当n足够大时，足够大时，|nxa 总能小于事先给定的那个正数总能小于事先给定的那个正数.当当n无限增大时，无限增大时，当当n无限增大时，无限增大时，任意给定一个正数任意给定一个正数(无论多么小无论多么小)，当当n足够大时，足够大时，|nxa 总能小于事先给定的那个正数总能小于事先给定的
8、那个正数.增大时，增大时，nx无限接近于无限接近于.a则当则当n无限无限只要只要n足够大，足够大，|nxa能达到任意小能达到任意小,要多小就能要多小就能多小多小.目录 上页 下页 返回 结束 1 只要只要n时，时，1nx 111(1),nnn 1(1)1nnxn 如上例如上例1,100给定给定1,10000给定给定0,任意给定任意给定1,1000给定给定11,100n 由由100n 只要只要时，时，11;100nx 有有11;1000nx 有有1000n 只要只要时，时，10000n 只要只要时，时，11;10000nx 有有1.nx 有有1,n 由由1 目录 上页 下页 返回 结束 v数列数
9、列极限的精确定义极限的精确定义如果存在常数如果存在常数,a对于任意给定对于任意给定总存在正整数总存在正整数,N使得当使得当 时时 nN 总有总有nxa 成立成立 则称常数则称常数a是数列是数列nx的极限的极限 或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a，记为记为lim,nnxa 极限定义的简记形式极限定义的简记形式设设nx为一数列为一数列 nxan ().或或nnxa limNN,0,当当 时时 nN.nxa ，的正数的正数目录 上页 下页 返回 结束 nnxa limNN,0,当当 时时 nN.nxa v注意：注意：1 1.的任意性：的任意性：可以任意性小，用来描述可以任意性小，用来描述axn与
10、的接近程度。但一旦给了就确定了。的接近程度。但一旦给了就确定了。2 2.的相应性：的相应性：N)(NN随着随着变化而变化，可记作变化而变化，可记作当当 时时（变化到一定时刻），（变化到一定时刻），nN 才能达到上述程度。才能达到上述程度。3 3.极限定义只能验证极限定义只能验证a是不是数列的极限，但不是不是数列的极限，但不能用于计算数列极限。能用于计算数列极限。目录 上页 下页 返回 结束 aaa ()v数列极限的几何意义数列极限的几何意义naxa ()nxaa ，1 1.任意给定的任意给定的 0,有有 的的 邻域；邻域；a NN ，2 2.存在存在当当 时时 nN nx全都落在全都落在3.3
11、.当当 时，时，nN aa (,)nx一般落在邻域一般落在邻域外边。外边。(,)aa 内部；内部；邻域邻域nnxa limNN,0,当当 时时 nN.nxa 目录 上页 下页 返回 结束 数列收敛时，其极数列收敛时，其极限值的大小与其前限值的大小与其前面的有限项无关。面的有限项无关。改变其有限项的值改变其有限项的值不改变其收敛性和不改变其收敛性和极限值极限值aaa ()v数列极限的几何意义数列极限的几何意义1 1.任意给定的任意给定的 0,有有 的的 邻域；邻域；a NN ，2 2.存在存在当当 时时 nN nx全都落在全都落在3.3.当当 时，时，nN aa (,)nx一般落在邻域一般落在邻
12、域外边。外边。(,)aa 内部；内部；邻域邻域nnxa limNN,0,当当 时时 nN.nxa 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,)1(,43,34,21,21nnnnnxnn1)1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,)1(,1,1,11n1)1(nnx趋势不定收 敛发 散目录 上页 下页 返回 结束 例例1.已知,)1(nnxnn证明数列nx的极限为1.证证:1nx1)1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此,取,11N则当Nn 时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn目录 上页 下页 返回 结束 例例2
13、.已知,)1()1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0)1()1(2nn2)1(1n11n,)1,0(欲使,0nx只要,11n即n取,11N则当Nn 时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx.11N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取11N目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq,)1,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln)1(qn亦即因此,取qNlnln1,则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.1n
14、q目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证:用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1,2abnax从而2banx同理,因,limbxnn故存在 N2,使当 n N2 时,有2banx1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时,2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,max21NNN 取故假设不真!nx满足的不等式目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明数列),2,1()
15、1(1nxnn是发散的.证证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取,21则存在 N,2121axan但因nx交替取值 1 与1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时,有因此该数列发散.nx目录 上页 下页 返回 结束 2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设,limaxnn取,1,N则当Nn 时,从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.aaxn)(,1axn有数列目录 上页 下页 返回 结
16、束 3.收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.若,limaxnn且,0a,NN则,时当Nn 同号。并且若axn与证证:对 a 0,取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:（保序性）设,limaannO),0(0aa,NN则,时当Nn 恒有).0(0qxqxnn,limbbnn,NN若,时当Nn 恒有nnba，则ba 目录 上页 下页 返回 结束 4.收敛数列具有夹逼性收敛数列具有夹逼性.,limlimabannnn,NN若恒有nnnbca，则acnnlim设,时当Nn 证：证：,limlimabannnn由于所以,0,NN,时当Nn 恒有aaanaban且从而得
17、abcaannn即acn，故acnnlim目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明(1)lim51nn(2)lim1nnn证证(1)51nnh 5(1)1nnnhnh(2)1nnnh 2(1)(1)12nnnn nnhh lim51nn lim1nnn nhnn411511)41(lim1limnnnnhn40nhn2022111nnnhn 2lim1lim(1)1nnn目录 上页 下页 返回 结束 例例6.计算1(1)lim1nn211(2)limnnknk解解：11(1)1111nnn 1lim11nn22221111(2)123nnnnn2nnn21nn 21limlimlim111n
18、nnnnxnnn221limlimlim1111nnnnnynn211limlim1nnnnkanknnnxaynaAlimnnaA目录 上页 下页 返回 结束 lim,limnnnnaAbB若.lim()nnniabAB.limnnniiabA B.lim,(0)nnnaAiiiBbB则证：证：lim,limnnnniaAbB0,0,NnN,22nnaAbB()()22nnnnabABaAbBlim()nnnabAB5.5.有理运算法则有理运算法则目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求222312limnnn解：解：由于2223312(1)(21)111(1)(2),66nn nnnnnn
19、根据有理运算法则得2223121111limlim(1)(2).63nnnnnn目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求525434361lim.362nnnnnnnn解解:因为根据有理运算法则得5254343614lim.3623nnnnnnnn523455432436144361limlim,6123623nnnnnnnnnnnnnnn目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求111lim.1 22 3(1)nnn解解:因为所以11111111(1)()()1 22 3(1)223111,1nnnnn 111lim1.1 22 3(1)nnn目录 上页 下页 返回 结束 三三.收敛准则收敛准
20、则定理定理2.5 单调有界数列必有极限1.单调增，上有界数列必有极限2.单调减，下有界数列必有极限Mxxxxnn121)(limMaxnnnx1nxM1x2xxamxxxxnn121)(limmbxnnmnx1nx1x2xxb目录 上页 下页 返回 结束 证明：证明：不妨设数列为单调增加且有上界，根据确(1),nxNn(2).:,000 nnxx有则取NnnN,0界存在定理，由nx构成的数集必有上确界，满足：nnxx0因而.nx于是.lim nnx注：注：单调增有上界的数列收敛于其上确界；单调增有上界的数列收敛于其上确界；单调减有下界的数列收敛于其下确界。单调减有下界的数列收敛于其下确界。目录
21、 上页 下页 返回 结束 例例10.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证:,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx,331 x又又,3 kx假定假定kkxx 3133 ,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx目录 上页 下页 返回 结束 例例11 设,),2,1()1(1nxnnn证明数列nx极限存在.证证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2
22、)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n目录 上页 下页 返回 结束 11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大 大大 正正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又比较可知112!111(1 )(1 )(1 )nnnnn大大 目录 上页 下页 返回 结束 根据单调有界准则可知数列nx记此极限为 e,e)1(lim1nnn e 为
23、无理数,其值为2 718281828459045e.即有极限.11)1(1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n内容小结 目录 上页 下页 返回 结束*注注.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.1nx2nx1n*KnKnx2n数列的子数列（子列）数列的子数列（子列）由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，),2,1()1(1nxnn;1lim12kkx1lim2kkx发散!则原数列一定发散.目录 上页 下页 返回 结束*,axkn证证:设数列是数列nx的任一子数列.若,limaxnn则,0,N当 Nn 时
24、,有axn现取正整数 K,使,NnK于是当Kk 时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk*NKnNxKnxknx注注.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.目录 上页 下页 返回 结束 注注.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.思考：思考：上面结论反过来是否成立？即上面结论反过来是否成立？即axaxnnnkklimlim?定理定理2.7（数列极限的归并原理）数列极限的归并原理）limlimkknnnnnkxaxxxa是是的的子子列列，有有收敛数列必有界，有界数列不必收敛，但有如下结论：收敛数列必有界，有界数列不必收敛，但
25、有如下结论：定理定理2.8（Weierstrass定理定理-致密性定理）致密性定理）有界数列必有收敛子列。有界数列必有收敛子列。目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.9（Caucy收敛原理）收敛原理）数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N,使当NnNm,时,mnxx证证:“必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时,有 使当,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性”证明从略.,N有目录 上页 下页 返回 结束,0,Npnnpnxxlimnnx存在,NN对于恒有,0,n mNnmxxlimnnx存在,NN对于恒有定理定理2.9（Caucy收敛原理）
26、收敛原理）可以简记作为了应用上的方便，定理常写成另一种等价形式等价形式目录 上页 下页 返回 结束 例例12.设,131211222nan证明数列na证证:要证na收敛，只要证明它满足Caucy条件。,Npn由于npnnpnpnnnnnpnpnnnnnpnnnaanpn1)11()111()2111()111()1)(1)2)(1(1)1(1)(1)2(1)1(1222收敛。目录 上页 下页 返回 结束 所以，,0,1NNn 故原数列满足Cauchy只要取则及Np,|npnaa恒有条件，所以收敛。目录 上页 下页 返回 结束,131211nan例例13.设证明数列证：要证na,2100|mna
27、a发散，只要证明它不满足Cauchy条件，使也就是说，只要证明,00NN,Nnm就行了，对于取na,2nm 发散。,212212111nnnnnaamn由于na故不满足Cauchy条件，发散目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否
28、正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim目录 上页 下页 返回 结束 510lim,.例 中证明了其中nnaa 1lim思考：1.；nnn 221.lim;nnn31.lim,().nlnnlN目录 上页 下页 返回 结束 P39 7(1)(3),10(2),11(1)(3)(5)，*14 刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细割之弥细,所失弥小所失弥小,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:
