1、纠正作业纠正作业P139T1(5)22lnsinlim(2)xxx 2cossinlim4(2)xxxx 2coslim4(2)xxx 21limsinxx P139T1(7)0lntan7limlntan2xxx 2021sec 77tan7lim1sec 22tan2xxxxx 07tan2lim2tan7xxx 220sec 7limsec 2xxx P139T1(9)11ln(1)()xxx 07tan2lim2tan7xxx 072lim27xxx 1 ln(1)(0)xxx tan(0)xxx 1温故知新温故知新1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别2.曲线凹凸的判别曲线凹凸的判
2、别()0,fxxI ()yf xI 函函数数在在 上上单单调调递递增增.()0,fxxI ()yf xI 函函数数在在 上上单单调调递递减减.定理定理1：()0,()fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上是是凹凹的的.()0,()fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上是是凸凸的的.定理定理2：00(),()xf xyf x 连连续续曲曲线线上上凹凹弧弧与与凸凸弧弧的的分分界界点点，.称称为为该该曲曲线线的的拐拐点点3.拐点的定义拐点的定义:注：注：拐点是拐点是曲线上曲线上的点的点,是一对有序的实数是一对有序的实数.()I设设 为为开开区区间间()I设设 为为开开区区间间2二、最大值与最小值问题
3、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节函数的极值与 最大值最小值 第三三章 三、应用举例三、应用举例31.定义定义:0()(),f xf x(1)0(,)f xx则则为为的的极极大大点点称称0()(),f xf x(2)极大点与极小点统称为极大点与极小点统称为极值点极值点.问：极值点是连续点吗？问：极值点是连续点吗？一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法00(),xU x 有有0()(),fxU x设设在在内内有有定定义义0)(ff xx称称为为函函数数的的极极大大值值；0(,)f xx则则为为的的极极小小点点称称0)(ff xx称称为为函函数数的的极极小小值
4、值；0 x极大值与极小极大值与极小值值统称为统称为极值极值.4注意：注意：极值与最值的区别：极值与最值的区别：是对整个区间而言，是对整个区间而言，绝对的、绝对的、极值：极值：最值：最值：是对是对某个点的邻域而言、某个点的邻域而言、可以不是唯一的可以不是唯一的.极大值不一定都大于极小值极大值不一定都大于极小值.如何求极值？如何求极值？观察图形知：观察图形知：是整体的、是整体的、唯一的唯一的.是局部的、相对的、是局部的、相对的、最值可在区间端点处取得最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间的而极值只能在区间的内点内点处取得处取得.oxy1x4xab2x6x5x()yf x 可导可导函数函数极值点处
5、极值点处的的导数导数是是零零.52.定理定理1(极值必要条件极值必要条件)(费马定理费马定理)00()f xxx设设函函数数在在点点处处,且且在在点点可可导导处处.0)(0 xf取得极值取得极值注意：注意：1)可导函数可导函数的的极值点极值点驻点驻点如：如：,3xy 0 x 是是驻驻点点，0.x 但但不不是是极极值值点点即：可导函数的极值点即：可导函数的极值点 驻点驻点2)在在0 x点点连续但不可导，连续但不可导，0 x也也可能是极值点可能是极值点.如：如：,xy 0,x 在在处处连连续续而而不不可可导导却却是极小值点是极小值点.13,yx 如如:也也不是极值点不是极值点.3)极值点的极值点的
6、可疑点：可疑点：(在定义域在定义域内内部的部的)驻点驻点,不可导点不可导点.即：极值点即：极值点 驻点驻点,不可导点不可导点问：如何能快速的说明一个函数没有极值？问：如何能快速的说明一个函数没有极值？xyo 0,x 在在处处连连续续而而不不可可导导oxy3yx yOx3yx 63.定理定理 2(第一充分条件，极值第一判别法第一充分条件，极值第一判别法)0,()f xx设设函函数数在在连连续续处处内有导数内有导数,0,xx当当 由由小小到到大大通通过过时时()fx(1)“左正右负左正右负”,0();f xx则则在在取取极极小小值值0()f xx则则在在取取极极大大值值；(2)“左负右正左负右正”
7、,()fx(3)“左右符号相同左右符号相同”,()fx xyoxyo0 x0 x 左正右左正右负极大负极大左负右左负右正极小正极小xyo0 x 左右同号无极值左右同号无极值xyo0 x 0()xf x则则不不是是的的极极值值点点.00(,)xx 0 0且且在在的的某某去去心心邻邻域域说明：说明：1)定理中的条件定理中的条件2)该定理适用于：该定理适用于：0 x是是驻点或不可导的驻点或不可导的连续连续点点.0()f xx在在处处“连连续续”很很重重要要，0 x若不连续若不连续,0(),fxx 即即使使变变号号也未必是极值点也未必是极值点.7解：解：:(,),D 35(1)(),31xfxx 例例
8、1.23()(4)(1).f xxx 求求函函数数的的极极值值xy y(1)0f ，3(1)34.f ()0fx 由由，1x 得得驻驻点点；1.x 当当时时,导导数数不不存存在在极极大大值值不可导不可导故故极大值极大值为：为：极小值极小值为：为：)1,(1(1,1)1),1(0 极小值极小值8求极值的步骤求极值的步骤:();fx(1)求求定义区间，定义区间，求导数求导数(2)求求驻点驻点以及以及不可导的点不可导的点(在定义区间在定义区间内内)；(3)检查检查)(xf 在在驻点及不可导点左右的符号驻点及不可导点左右的符号，判断出极值点；判断出极值点；(最好列表最好列表)(4)求极值求极值.求极值
9、的步骤与求单调区间的步骤基本相同求极值的步骤与求单调区间的步骤基本相同.9例例2.求函数求函数1()f xxx的的极极值值.解解:1)21()1fxx 2(1)(1)xxx:(,0)(0,).D 2)令令()0,fx 得得121;1xx ，3)列表判别列表判别xy y 极极小小值值极极大大值值 0 1x 是极大点，是极大点，其极其极大大值为值为(1)2f 是极小点，是极小点，其极其极小小值为值为1x (1)2.f 无导数不存在的点无导数不存在的点.(,1)1(1,0)(0,1)1(1,)0 104.定理定理3(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数,且且0()f xx设设函函数数在在点
10、点处处具具有有0()0,fx 0()0fx 0(1)()0,fx 若若0(2)()0,fx 若若0()f xx则则在在点点取取极极大大值值；0()f xx则则在在点点取取极极小小值值；证：证：(1)000()()limxxfxfxxx 同理可证同理可证(2).00()limxxfxxx )(0 xf0 00()0,0,0fxxxxx 当当时时0()0;xxfx 故故当当时时，0()0,xxfx 当当时时，由第一判别法知：由第一判别法知：0().f xx在在取取极极大大值值注意：注意：002.()0,()0,fxfx 如如果果1.第二充分条件适用于第二充分条件适用于:驻点驻点00,()0 xfx
11、 且且需用第一判别法判别需用第一判别法判别.11例例3.求函数求函数()sincos.f xxx 的的极极值值解解:1)()cossinfxxx :(,).D ()sincosfxxx 2)令令()0,fx 得得2;4xk 524xk 3)计算计算(2)20;4fk 是极大点，是极大点，其极大值为其极大值为(2)24fk 5(2)20;4fk 24xk 是极小点，是极小点，其极小值为其极小值为5(2)24fk 524xk 12例例4.求函数求函数23()(1)1.f xx 的的极极值值解解:1)求定义域及导数求定义域及导数22()6(1),fxx x 22()6(1)(51)fxxx 2)求驻
12、点求驻点令令()0,fx 得驻点得驻点1231,0,1xxx 3)判别判别(0)60f 因因(0)0f 为为极极小小值值；(1)(1)0,ff 因因故需用第一判别法判别故需用第一判别法判别.()1,fxx 由由于于在在左左右右邻邻域域内内不不变变号号()1.f xx 在在没没有有极极值值1xy1:(,).D (0)0.f 故故函函数数只只有有一一个个极极小小值值：13试问试问 为何值时为何值时,a1()sinsin333f xxxxa 在在处处取取得得极值？极值？解解:()fx 由题意应有：由题意应有：即即2a 又又()fx ()2sin3sin3333f 则则()f x取得极大值为：取得极大
13、值为：()33f 例例5.coscos3,axx cos()cos 3()33a 0 2sin3sin3xx ，0 并求此极值并求此极值.它是极大它是极大值值还是极小还是极小值值？3233:1yxaxbxcx 设设函函数数在在处处练练习习取取得得极极大大值值,(0,3),.a b c且且是是曲曲线线的的拐拐点点,求求提示：提示：2363,yxaxb 66,yxa 由由题题意意知知0,1,3.abc (0)3yc ，(0)60ya(1)3630yab P163T3()03f 14观察：观察：)(maxxfbxa )(minxfbxa 端点的函数值；端点的函数值；驻点的函数值；驻点的函数值；不可导
14、点不可导点的函数值的函数值.来自于来自于 二、闭区间上连续函数的最值的求法二、闭区间上连续函数的最值的求法结论：结论：(),f xa b求求连连续续函函数数在在闭闭区区间间上上最最值值的的方方法法步步骤骤：12(1)()(,),mxxxf xa b求求在在内内的的可可疑疑极极值值点点，(2)max M 12(),(),(),mf xf xf x(),()f af bmin m 12(),(),(),mf xf xf x(),()f af boxy1x4xab2x6x5x()yf x 可可疑疑极极值值点点15例例1.求函数求函数23()(1)1,1.f xxx 在在上上的的最最值值解解:1)求导
15、数求导数23()fxx 132(1)3xx 25353xx 2)求极值可疑点求极值可疑点12()0;5fxx 令令不可导点不可导点20 x 3)计算最值可疑点处的函数值计算最值可疑点处的函数值(0)0f 2()0.335f (1)0f(1)2f 0,1xx 是最大点，是最大点，其最大值为其最大值为(0)0f 是最小点，是最小点，其最小值为其最小值为1x (1)2f 1622(32)xx 例例2.求函数求函数2()32 3,4.f xxx 在在上上的的最最值值解解:()3,4,xC 显显然然2()()xfx 令令22(3()(23)2,)xxxx 1()3,43,2xx 在在内内的的驻驻点点为为
16、(3)20,f(1)0,f 31(),24f(2)0.f(4)6,f 故函数在故函数在1,2xx 取最小值取最小值 0;3x 在在取最大值取最大值 20.231,2.xx()()xf x 则则与与有有相相同同的的最最值值点点.000()()()xyf xx f xyf x 为为的的极极值值点点时时，会会不不会会是是曲曲线线的的拐拐点点？思考：思考：17xoy2()32f xxx 2()32f xxx 结论：结论：1212000()()()xyf xx f xyf x 为为的的极极值值点点时时，会会不不会会是是曲曲线线的的拐拐点点？思考：思考：000()()()xyf xx f xyf x 可可
17、为为的的极极值值点点时时能能，是是曲曲线线的的拐拐点点.18特别特别:当当(),()f xa b在在上上增增 减减 时时,最最值值必必在在端端点点处处取取得得；就是就是最最大大(小小)值值.常用于解决实际问题常用于解决实际问题.求求()(,)lim(),lim()xaxbf xa bf xf x 在在内内的的最最值值时时,把把参参与与比比较较；如果在区间如果在区间 内可导且只有一个极值点内可导且只有一个极值点,则这个则这个极极大大(小小)值值 Ixyoab0 xxyabo0 x对于实际问题对于实际问题,若在定义区间内有若在定义区间内有唯一驻点唯一驻点,且知且知最最大大(小小)值值一定存在一定存
18、在,而且一定在定义区间而且一定在定义区间内部内部取得取得,则可则可不必讨论是否为不必讨论是否为极值极值,就可就可断定该点就是断定该点就是最大最大(小小)值点值点.19 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租套公寓要出租,当月租金定为当月租金定为1000元元时时,公寓会全部租出去公寓会全部租出去.当月租金每增加当月租金每增加50元时元时,就会多一套公就会多一套公寓租不出去寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费而租出去的公寓每月需花费100元的维修费元的维修费.试试问房租定为多少可获得最大收入？问房租定为多少可获得最大收入？解：解：设房租为每月设房租为每月x元元，每月总收入为：每月总收入为：(
19、)(100)R xx 租出去的房子有：租出去的房子有：1000(50)50 x 套套，(70)50 x 1()(70)(100)()5050 xR xx 7225x()0R x 1800 x(唯一驻点唯一驻点)故每月每套租金为故每月每套租金为1800元时收入最高元时收入最高.三、应用举例三、应用举例(1000)x 实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)判断并求最值判断并求最值.P164T15 例例3.1000(50)50 x 20220808yxyxyxyx 由由直直线线,及及抛抛物物线线围围成成一一个个曲曲边边三三角角形形,在在曲曲边边上上求求一一点
20、点,使使曲曲线线在在该该点点处处的的切切线线与与直直线线及及所所围围成成的的三三角角形形面面积积最最大大TxyoPABC解：解：如图如图,200(,),P xx设设所所求求切切点点为为PT则则切切线线为为:0002(),yyxxx 01(,0),2Ax200(8,16)Bxx(8,0),C200011(8)(16)22ABCSxxx 0(08)x 2001(36416 16)04Sxx 令令0016,16().3xx 舍舍去去8)316(s0 0163ABCxS 时时取取得得极极大大值值，16 256()3.9故故，所所求求点点为为 0163ABCxS 则则时时取取得得最最大大值值，20 x例
21、例4.21例例5.求数列求数列nn的最大项的最大项.证证:1()(1),xf xxx设设求导得求导得12()(1ln)xfxxx ，11ln(),xxxf xxe1ln1()(ln)xxfxexx 1ln2211(ln)xxexxx1ln2(1ln)xxexx()0fx 令令xe 得得列表判别列表判别:x()fx()f x(1,)ee(,)e 01ee,xe 因此在因此在处处()f x也取也取最最大值大值.又因又因xe 23,e 33.nn故故为为数数列列中中的的最最大大项项内只有唯一的内只有唯一的极极大点大点()1,)f x 因因为为在在(22)f 且且有有68 69 33,(3)f P18
22、3T1422内容小结内容小结1.连续函数的极值连续函数的极值(1)极值可疑点极值可疑点:使一阶导数为使一阶导数为0 或不存在的点或不存在的点x.(2)第一充分条件第一充分条件:0()fxx 经经过过由由正正变变负负0()f x为为极极大大值值；(3)第二充分条件第二充分条件:00()0,()0fxfx00()0,()0fxfx 0()fxx 经经过过由由负负变变正正0()f x为为极极小小值值.0()f x为为极极大大值值；0()f x为为极极小小值值.232.连续函数的最值连续函数的最值(),f xa b求求连连续续函函数数在在闭闭区区间间上上最最值值的的方方法法步步骤骤：12(1)()(,
23、),mxxxf xa b求求在在内内的的可可疑疑极极值值点点，(2)max M 12(),(),(),mf xf xf x(),()f af b min m 12(),(),(),mf xf xf x(),()f af b特别特别:当当(),(),f xa b在在上上增增 减减 时时 最最值值必必在在端端点点处处取取得得；求求()(,)lim(),lim()xaxbf xa bf xf x 在在内内的的最最值值时时,把把参参与与比比较较；就是就是最最大大(小小)值值.如果在区间如果在区间 内可导且只有一个极值点内可导且只有一个极值点,则这个则这个极极大大(小小)值值 I24思考与练习思考与练习
24、2()()1.lim1,()()xaf xf aaxa 设设则则在在点点 处处()()0Afa 可可导导且且；()()Bf x 取取得得极极大大值值；()()Cf x 取取得得极极小小值值；().D 不不可可导导B02.()240,()0,yf xyyyf x 设设满满足足方方程程若若00()0,()()fxf xx 且且则则在在处处(A)取得极大值取得极大值;(B)取得极小值取得极小值;(C)在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少.提示提示:(),f x将将代代入入方方程程00()4()0fxf x A0,xx 令令得得作业作业:P162 1(2)(8)(9);5;6;16.预习预习:P164-17425
